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老是发问题都不好意思啦 正定矩阵我一直没搞懂，为什么要发明这个东西？
讨论线代的人好多啊
特征值都大于零，多好看啊
是啊 我的悟性比较差，如果大家都来讨论的话，就会比较清楚点
没想过为什么要发明，但是满秩的东西就是很好嘛，算起来也很好算，看着就爽
为什么？其实矩阵这套东西，就是先发明出来，然后才发现有用的
谢谢ls的关注，我想知道这样做的目的和意义是什么
如果我们认为正定二次型是椭圆，那么这种说法不知道是否能赋予你意义？
楼主很有想法，希望能将这些问题整理一个答案出来。本来我有一点笔记，今天找了一下，想起来前几天认为可能没有用，将它删除了。 后悔中……
[内容不可见]
一个欧氏空间的本质？判定后，可以就对矩阵作其它分析，结果就能给出此空间中的规律，并且可以信任结果是此空间内普适的？
特征值反映了矩阵的很多本质东西， 正定矩阵在计算上有很多很好的性质。
物理上有应用
数学上就按定义理解,正定矩阵,就是正定的矩阵,很清楚么~~~
LS的，不对称咋定义的正定？
我来说一个正定矩阵在物理上的应用。
物理上有个定理叫做最小作用量原理，这是力学的基础。这个定理说，粒子总是沿着作用量极小的那条路径运动的。
作用量说白了就是粒子的动能和势能的差。大家都知道动能正比于速度的平方。但是你考虑粒子未必只有一个独立的速度分量，特别是那些由许多粒子构成的系统，可能会有成千上万个速度。所以一般来说，动能是速度的二次型。也就是说，可以写成中间一个矩阵，速度矢量夹在两边。中间那个矩阵地位与质量相当，有时就称为质量矩阵。
好了，现在我们有一个很重要的要求，就是质量矩阵必须是正定的。 为什么呢？因为正定矩阵的二次型也是正定的，也就是说最少最少也要是0. 作用量要极小化，如果质量矩阵不是正定的，那么动能就可以是负的。这样我们如果使某些速度无限地增大，动能就越来越负，作用量就没有底了，怎么极小化呢。所以质量矩阵的正定性是能够实现作用量极小的要求，一切物理上合理的系统都应该具有正定的质量矩阵。
嗯，还有一个例子，就是量子力学。
量子力学的数学基础之一是Hilbert空间。Hilbert空间是一个内积空间。向量和自己的内积也是二次型，一般都是正定的。更装逼一点地说，就是Hilbert空间的度规是正定的。但是在相对论性量子力学里，我们发现Hilbert空间再也不能完备所有的波函数了，我们必须引入非定度规的线性向量空间。在非定的度规下，波函数和自己的内积可以是负的，整个量子力学的测量理论都要为此而改写。
一个向量的模方还可以是负的？不要感到诧异，这有着非常重要的物理意义，这代表了反物质的出现。描写正常物质的波函数的模方是正的，而描写反物质的波函数的模方是负的。从物理上说，反物质的出现是一种狭义相对论的量子效应，而其数学基础与度规的正定性有着密切的关系。
以后学了高维概率论就知道了，有些重要分布（e.g.正态分布）一般必须定义于正定矩阵，最次也得是非负定的。
2009-01-25 01:08:47 瘦头陀|我在顺义有棵树 (北京) 2009-01-24 22:11:14 eulen≡猫头鹰枭|人在天津 (天津) LS的，不对称咋定义的正定？ 嗯？我记得定义是说一个矩阵，对于任意非零向量，左右分别乘上向量的转置和向量本身，永远大于零，这就是正定了，不需要对称的。
我看到的定义是对称阵然后才分别左乘再右乘。。。。
平稳随机过程的自相关函数也是正定的
正定矩阵的重要性看来是在实践中发现discovered，而不是发明invented的。一切人为的东西都难免有斧凿的痕迹，只有上帝创造者乃自然天成。
我建議從雙線性函數的角度來看, 因為不論是二次型還是正交變換, 實際上都可以統一的理解到雙性性函數來, 而進一步的, 我們就會想到會不會和算子有關? 會不會有空間的理論有關, 那麼由此引出用特徵值來描繪一下: A正定 iff. 其每個特徵值均為正數! 為什麼呢? 比如\lamda是特徵值, 那麼\alpha^{'}A\alpha=\alpha^{'}\lamda\alpha, 整理成\lamda的式子就得到了. 好了, 再進一步, 我們又知道, 對於對稱矩陣而言, 一定正交相似於diag{\lamda_1,\cdots,\lamda_n}, 那麼對於正定矩陣呢? 首先, 可以看到正定矩陣正交合同於diag{\lamda_1,\cdots,\lamda_n}; 然後, 再看看, for each k\ge2, 一定有A=B^k, 其中B為正定矩陣
當然, 如果你還記得矩陣的QR分解, 那麼除了你先前明白的正定陣可以表為P^{'}P, P為可逆陣, 還可以進一步的發現正定陣可以表為R^{'}R, R為正線上三角陣
至於說到應用, 別的不說, 就來談談比較兩個簡單的數學應用好了: 1.分析裡講到的多元函數極佳法的原理; 2.解析幾何對二次曲線的分類討論 etc...
如果你是念數學科的, 建議你多看看泛函方面的知識, 如果實在不行, 看看矩陣論之類的書應該也行
正定二次型的一个典型例子，隐形眼镜，其零点是唯一的。 半正定的二次型的一个典型例子是鸭舌帽的帽舌，其零点是一条线。 不定型的典型例子，工作中的护翼型卫生巾。护翼部分在零下，其他部分在零上。
线性代数的理论在历史上发展的比较晚。而线性几何则很久了。
这个讨论我喜欢。
2009-12-21 09:23:51 楚天舒 (Google on a surface) 正定二次型的一个典型例子，隐形眼镜，其零点是唯一的。 半正定的二次型的一个典型例子是鸭舌帽的帽舌，其零点是一条线。 不定型的典型例子，工作中的护翼型卫生巾。护翼部分在零下，其他部分在零上。
這個比較有趣。
good!
对多维函数的极大值和极小值的判断有用。
@Everret, E大，“从物理上说，反物质的出现是一种狭义相对论的量子效应，而其数学基础与度规的正定性有着密切的关系。” 貌似闵氏度量是负定的。特征值的trace才是正定的。前者表明时空是不一样的，后者说明因果律只在小于或等于光速下适用。这个例子有点欠妥。
正定矩阵其实物理上的地位还远不如幺正和厄米（厄米的exponential是幺正，或者说幺正的生成元是厄米，所以这俩焦不离孟）。其实正定矩阵本身就是厄米矩阵的一种，只不过其本征值都是正的实数。厄米矩阵的本征值是实数。因此类比数域的话，在矩阵中，正定矩阵相当于正实数，厄米矩阵相当于实数，而幺正就相当于复数了。所以一般学习的话都是先学正定矩阵，随后推广到厄米，再推广到幺正。
都讲了好高深 我粗俗的以为线代一本书都在讲解方程
是的，一阶Hermitian矩阵其实就是实数，一阶正定阵就是正数，半正定就是非负数
xTAx > 0嘛，正定矩阵就是这么来的吧，是说左边的式子一定是正的。
建议你去读一下《高等几何》，或是有关射影几何的书籍，就会对正定矩阵乃至高代中的许多概念会有更形象、深刻的认识。^_^
才看到这个帖子。这个比喻真是通俗易懂
正定矩阵必须是对称的，这是常识好吧…
试想若某不对称矩阵A，假设其特征值全部为正，则
一定存在某不全为零列向量x，使得
x' A x < 0。
这种向量只要找到一个就行。证明方法也很简单。对于任意随机生成的矩阵A，保证其特征值全部是正的。然后随机生成一系列向量x，进行乘积运算，很快就能找到负的。
从理论上讨论，若A不对称则无法保证 x' A x 永远为正。
虽然感觉阁下的比喻十分贴切，但是我是学物理的，并没有怎么看懂。
有限维实向量空间上的内积都是由有一个正定矩阵诱导的。
把它想象成 “正数”到多维空间下的推广。
优化里的多元函数的极值存在的二阶必要条件是： 若其二阶导的Hessian矩阵是半正定的，则该点是局部极小值；
在这里发现跟你一样特别的人，并与之交流...
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