如何从波函数角度理解电子在磁场中做圆周运动？

来自: grafane
2014-04-29 16:29:43

宏观天体运动可以理解为引力使时空弯曲，那么做圆周运动的天体实际是在弯曲的空间走的测地线（这是按照广相的理解）。而微观上应该用量子力学来描述，所以如何从波函数角度理解电子在磁场中做圆周运动？

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grafane 楼主 2014-04-29 16:47:16

对于这个问题，我的最先理解是电子在磁场中受到lorentz 力（高中时期），后来知道电子在磁场中运动会感受到与运动方向垂直的电场（大学时期电动力学），然后学习了量子力学知道了朗道能级，知道电子的回旋半径以及能量也是分立的，可是并没有说明波函数的波包是做圆周运动的。

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屑面小银狼 (圈圈~↖(^ω^)↗) 2014-04-29 19:16:32

量子力学舍弃了轨道的概念，不过想知道一个波函数的角动量还是可以的

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Everett (╮(╯▽╰)╭~(=￣ U ￣=)~) 组长 2014-05-01 09:02:33

原因是Berry curvature 看这里： http://www.douban.com/group/topic/30294969/

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grafane 楼主 2014-05-04 16:31:36

原因是Berry curvature 看这里： http://www.douban.com/group/topic/30294969/ 原因是Berry curvature 看这里： http://www.douban.com/group/topic/30294969/ Everett

那请问组长，当矢势取为 A_x=0,, A_y=Bx, 如果让电子沿着x轴入射，此时等相面上积累的相位是相同的，所以波前不会倾斜，也就是说电子不会偏转。可实际上电子不论从哪个方向入射都会偏转啊。那感觉从波前角度解释不通了，请组长指点。

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Everett (╮(╯▽╰)╭~(=￣ U ￣=)~) 组长 2014-05-05 01:45:32

那请问组长，当矢势取为 A_x=0,, A_y=Bx, 如果让电子沿着x轴入射，此时等相面上积累的相位是那请问组长，当矢势取为 A_x=0,, A_y=Bx, 如果让电子沿着x轴入射，此时等相面上积累的相位是相同的，所以波前不会倾斜，也就是说电子不会偏转。可实际上电子不论从哪个方向入射都会偏转啊。那感觉从波前角度解释不通了，请组长指点。 ... grafane

问题很好。仍然可以从波函数解释，但是这是粒子的第二种偏转机制，叫做momentum matching。为了理解这个机制，你需要区分三种不同的动量，[;p=-i\partial_x;]是正则动量，规范联络 A是电磁动量，质量乘速度 mv 是动力学动量，它们三者的关系是 mv = p - A. 直接与波函数的相位变化相联系的是正则动量，波函数的相位没有变化就没有正则动量，但这并不意味着粒子没有偏转。比如在你的例子中，电子沿x轴入射，等相面平行于y轴，虽然等相面没有偏转，但是粒子实际上却是偏转了。这是因为在等相面上，对于正则动量来说，相位没有变化意味着p=0，但是因为沿等相面方向有非零的[;A_y;]，因此粒子的动力学动量实际上并不为0，而是与电磁动量锁定： [;mv_y = -A_y;] (注意这个锁定成立的条件恰恰是波函数的等相面没有偏转)。当粒子沿x方向运动的时候，[;A_y;]越来越大，因此[;v_y;]也越来越大，也就是说粒子具有垂直于运动方向的加速度，这就是Lorentz 力。

这段分析告诉我们，在有磁场存在的情况下，不能简单地从波函数的等相面来分析粒子运动的方向。波函数等相面的法线方向（就是相位梯度的方向）是正则动量的方向（因为正则动量算符就是梯度算符），但是正则动量的方向未必是粒子运动的方向。粒子运动的方向是动力学动量决定的，而动力学动量需要在正则动量的基础上扣除电磁动量得到。这个扣除电磁动量的过程对于波函数来说就是通过对波函数进行规范变换来消除等相面上的规范联络。因为有A的存在，因此对动力学动量来说，波函数的等相面并不是“等相”的，而是会有一个沿着[;A_y;]的相位积累，所以动力学动量看到等相面其实是偏转的，也就是说粒子的运动是偏转的。

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grafane 楼主 2014-05-05 09:47:11

问题很好。仍然可以从波函数解释，但是这是粒子的第二种偏转机制，叫做momentum matching。为了问题很好。仍然可以从波函数解释，但是这是粒子的第二种偏转机制，叫做momentum matching。为了理解这个机制，你需要区分三种不同的动量，[;p=-i\partial_x;]是正则动量，规范联络 A是电磁动量，质量乘速度 mv 是动力学动量，它们三者的关系是 mv = p - A. 直接与波函数的相位变化相联系的是正则动量，波函数的相位没有变化就没有正则动量，但这并不意味着粒子没有偏转。比如在你的例子中，电子沿x轴入射，等相面平行于y轴，虽然等相面没有偏转，但是粒子实际上却是偏转了。这是因为在等相面上，对于正则动量来说，相位没有变化意味着p=0，但是因为沿等相面方向有非零的[;A_y;]，因此粒子的动力学动量实际上并不为0，而是与电磁动量锁定： [;mv_y = -A_y;] (注意这个锁定成立的条件恰恰是波函数的等相面没有偏转)。当粒子沿x方向运动的时候，[;A_y;]越来越大，因此[;v_y;]也越来越大，也就是说粒子具有垂直于运动方向的加速度，这就是Lorentz 力。这段分析告诉我们，在有磁场存在的情况下，不能简单地从波函数的等相面来分析粒子运动的方向。波函数等相面的法线方向（就是相位梯度的方向）是正则动量的方向（因为正则动量算符就是梯度算符），但是正则动量的方向未必是粒子运动的方向。粒子运动的方向是动力学动量决定的，而动力学动量需要在正则动量的基础上扣除电磁动量得到。这个扣除电磁动量的过程对于波函数来说就是通过对波函数进行规范变换来消除等相面上的规范联络。因为有A的存在，因此对动力学动量来说，波函数的等相面并不是“等相”的，而是会有一个沿着[;A_y;]的相位积累，所以动力学动量看到等相面其实是偏转的，也就是说粒子的运动是偏转的。 ... Everett

组长讲的太好了，那组长之前举过那些例子，关于有效磁场（Berry curvature）, 其实都要考虑到 momentum matching。

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🌈 2014-05-05 13:38:05

“电子在原子中不可能以波包形式来描述”―程檀生《现代量子力学基础(第二版》38页

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seth 2014-05-05 16:06:31

要把宏观和微观统一起来，你这工程好大

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grafane 楼主 2014-05-05 19:18:30

“电子在原子中不可能以波包形式来描述”―程檀生《现代量子力学基础(第二版》38页 “电子在原子中不可能以波包形式来描述”―程檀生《现代量子力学基础(第二版》38页 🌈

为什么不能呢？

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int cmp (const void*, const void*) 2014-05-05 19:40:59

“电子在原子中不可能以波包形式来描述”―程檀生《现代量子力学基础(第二版》38页 “电子在原子中不可能以波包形式来描述”―程檀生《现代量子力学基础(第二版》38页 🌈

有了 http://www.annualreviews.org/doi/abs/10.1146/annurev.physchem.55.091602.094428 那大概就是说, 可以用激光等把氢原子中的电子激发到高能级, 在这种情况下电子可以以波包描述.

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Kane (凡真实的，终会相遇。) 2014-05-05 20:07:21

问题很好。仍然可以从波函数解释，但是这是粒子的第二种偏转机制，叫做momentum matching。为了问题很好。仍然可以从波函数解释，但是这是粒子的第二种偏转机制，叫做momentum matching。为了理解这个机制，你需要区分三种不同的动量，[;p=-i\partial_x;]是正则动量，规范联络 A是电磁动量，质量乘速度 mv 是动力学动量，它们三者的关系是 mv = p - A. 直接与波函数的相位变化相联系的是正则动量，波函数的相位没有变化就没有正则动量，但这并不意味着粒子没有偏转。比如在你的例子中，电子沿x轴入射，等相面平行于y轴，虽然等相面没有偏转，但是粒子实际上却是偏转了。这是因为在等相面上，对于正则动量来说，相位没有变化意味着p=0，但是因为沿等相面方向有非零的[;A_y;]，因此粒子的动力学动量实际上并不为0，而是与电磁动量锁定： [;mv_y = -A_y;] (注意这个锁定成立的条件恰恰是波函数的等相面没有偏转)。当粒子沿x方向运动的时候，[;A_y;]越来越大，因此[;v_y;]也越来越大，也就是说粒子具有垂直于运动方向的加速度，这就是Lorentz 力。这段分析告诉我们，在有磁场存在的情况下，不能简单地从波函数的等相面来分析粒子运动的方向。波函数等相面的法线方向（就是相位梯度的方向）是正则动量的方向（因为正则动量算符就是梯度算符），但是正则动量的方向未必是粒子运动的方向。粒子运动的方向是动力学动量决定的，而动力学动量需要在正则动量的基础上扣除电磁动量得到。这个扣除电磁动量的过程对于波函数来说就是通过对波函数进行规范变换来消除等相面上的规范联络。因为有A的存在，因此对动力学动量来说，波函数的等相面并不是“等相”的，而是会有一个沿着[;A_y;]的相位积累，所以动力学动量看到等相面其实是偏转的，也就是说粒子的运动是偏转的。 ... Everett

组长讲的太好了，赞一个！所以其实这些berry curvature 原则上来讲是和弯曲时空的curvature同样的一种东西了。只是这里，我们的规范场加的是个虚数，而时空度归加的是个实联络，这里面想的不是特别清楚，不知道组长有何看法？

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pさん (用辩证的方法去喜欢你，去爱你) 2014-05-05 20:21:43

貌似量子力学没有严格的运动概念，一般都是给定体系的势场和相互作用解波函数。当然你可以在某一个特定的时空点上计算概率。

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名字改着玩儿 (如能忘掉渴望岁月长衣裳薄) 2014-05-08 15:04:58

看到这贴我才知道原来landau能级讲得是这茬儿 = =

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