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同样的道理：要承认在平面上(而非曲面），两条非平行的直线会相交于一“点”，也必须以存在不可划分（分割）的“点微空间”为前提，如果“点”是没有部份（内部）的点，又怎么会找得到两直线的“相交处”？！
总结推演思路：1.在对“点”存有或不存有最接近“点”的存在考察中，用归谬法掲示出认为“线段可无限分割”所必然会面临的逻辑悖谬宭境，从而使存有不可分割的“点微空间”进一步在逻辑上得到支持确认。 2.用反证法证明：因存有不可公度的“线段”，所以“点微空间”必存有“互质”的不均匀性。 3.设想构造出“互质”的“点微空间”可能存在的“交合为直线”之简洁圆满模式，并证明此一“模式”，完全吻合直线中随处都存有可公度和不可公度“线段”的现象，并证明 所谓的有理数与“无理数”以及“实数”，无非反映的是直线中的每一“线段”必会表现出的：与具有“同质因”和“不同质因”线段间可通约和不可通约的多重关系。 4.从而以此证明：所谓有理数与无理数并非是构组直线的实在要素，而只是构组直线的实在要素：“线段”间所必表现出的多重关系。所以，“直线连续统”的存在，与在“整数集”与“实数集”之间是否存有其它的“数集”毫无关系，反而是一切的“数集”形式，都得以“直线连续统”的存在作为前提。所以：康托尔的“连续统猜想”问题，是一不是问题的问题。
“0.9+0.09+..的级数和是0.999……还是1？” 你在对反对者提出的这个问题中，已无可辩驳的证明，0.9999.…无限的趋近于1，但永远也不可能等于1。
有一个问题可思考下：在一定几何尺寸的海面监视屏中，一望无际的平静海面上从只有海平面，到在屏中出现有船只黑点的那一瞬间（这一瞬间可假定为无穷小的时间量，这一黑点对任何的观测者必然都迟早会存在），这一黑点是否是有内部的点？这一黑点是否说明了：它便是广延空间，对所有的观测者而言， 不能再划分分割的点？。
数学中的点与现实中的点不同，数学中的点没有内部的点，现实中人可观察到的点都有内部的点。
是的我知道。犹如数学中的线，是没有宽度的线。但数学中的点与线，这只存在于我们的想象中，还是能在现实空间中显示给我们呢？如果只存在于想象中，那它们只属于柏拉图的理念世界；如果也能在现实空间中显示给我们，那它们就只能依存于现实几何空间中的“面”，而显示自身，犹如数学的“线”，显示为现实几何空间特定“面”的“边缘”。所以在考察现实几何空间时，脱离认定存在有最小的几何空间“面”，去说现实几何空间中存在最小的数学点，是毫无基础依据的。
点”有与它最接近的“点
点的数学意义是人为的，即使拥有高超的表面智，搞定非逻辑的，也就那点离散东西。点的物理意义，必须是连续的，绝对的，即使是量子的也必须是建立在连续的根基之上，否则一切复观皆不生其玄，只有死尸，枯木与顽石！，剩下的只有说不清，没有听不明的烂愚充数。
在这里，群里有数学大神的话，我想请教：如果数学上的 “一维”，被设定为“没有宽度”的线，而不是有“无穷小量”宽度的线，卡拉比丘空间能被证明吗？？
关于“线段”不可能分割（划分）为“无限多”的无限小“线量”的第二证明（因自我审视了下，前面以“切线与圆”“相交直线”作例的所谓第二证明感觉有瑕疵，不算是证明）：
如果“线段”能够分割（划分）为“无限多”的无限小“线量”，那么这无限小“线量”，彼此应该相等。如果不相等，则各“线量”有大小，故有些“线量”必然不是无限小“线量”，所以“线段”也决不可能是由“无限多”的无限小“线量”所组成。而数学几何“不可公度线段”的发现，则证明了“线段”是由无限多“彼此相等的无限小线量”所组成的非存在性。
所以，“线段”不可能分割（划分）为“无限多”的无限小“线量”！
：“极微空间”，其不可分割性，如何既得到逻辑证明，另一方面，又于我们“自然本性”的直觉和想象不抵触相违呢？我猜想是否有这种可能：“空间本身”在进行“极微”的“极速震荡”。这“极速震荡”是“多维”的，其震荡的“极微”尺度，便是空间不可能再分割的尺度。
空间本身“在进行“极微”的“极速震荡。
有这种奇怪的想法，不奇怪，奇怪的是数学想象力本是受到物理时空严格管控的离散思维，离散是展示高超表面智的舞台，是有以观其獒的笼式箩辑作品。天网恢恢，疏而不失，人脑慧慧，密而有失。只要，那怕是稍有点深层智根的残存，就会发现，一切数学的奇怪说词在穿越了并行时空之下，皆是名可名，非常名的名空存在。离散之舟难以当下度彼岸，所谓极微极速震荡，都是旋之又悬的悬观，悬棺不是复观，比科学更苛学的唯一复观之说是，时空的时空必须是连续的，只有连续的连续，才能有那个极微的急不可耐分割毫取的相对空间。照尽一切是空悬，取之绝对是相对，相对不在今又在，看似不格胜似割，割断时空是莫测，裂开宇宙是万骨，这点道不难懂，难懂的是在懂中找到不懂，恒不懂，不懂恒山又一境，这就上3了，上了3，就差不多了，会当临绝顶，一揽众3小，才能理解1+1的伟大，理解1+1=2的伟大，最终理解麦克思维方程组的伟大，行深层智辉，照尽一切是空玄。
“无理数”与“有理数”，在空间几何上的意义，无非是表明：作为空间广延的“线段”，彼此间存在“可公度”（有理数）和“不可公度”（无理数）的关系。 若线段间，在“一维”上虽不能公度，表现为“无理数”，但它们却能在或“二维”、“三维”、“n维”（如果存在的话）空间上可以公度，那它们则可以由此“高维”上的“可公度”为基础和中介，彼此与“有理数”建立起“量上的”统一代数关联，其“无理数”满足整系数代数方程，能由整系数代数方程（n为正整数，≠0）来表达，是一“代数数”。 而“超越数”的意义却在于表明：有些线段间，不仅在“一维”上不能公度，在“二维”、“三维”、“n维”空间上都不能公度！（凡是在具有广延性质的存在上都不能公度，它们只能被超然于空间广延之外的本源“1”所公度）。所以彼此不能和有理数建立起“量上的”统一代数关联，其“无理数”不满足整系数代数方程，不能由整系数代数方程（n为正整数，≠0）来表达，不是一“代数数”。
那空间广延之外“本源”的“一”，即是“一”的同一，又具有展开为“多”的自由。而它将自身“映射”到我们的时空世界时，也彰显为既有不同层次“可公度”的同一与秩序，又有超越一切可公度的自由。由此，我们的世间万象，才既具有规则与一致性，又如此风采多姿，展露出自由与独异……
老哥回答这么直白
1+1=2.0
1+1=2，最伟大的回答之一。
以上的几位，感觉对数学史有些无知，伟大的数学发现，几乎大多是由有哲学思想的数学家发现的：毕达哥拉斯、笛卡尔、牛顿和莱布尼斯、罗素、哥德尔… 你们就这样讥讽你们的数学老祖宗吗？？
现有数学教材：“线段存有无穷多的点”，是发生在现实的数学事实里吗？由上面的证明可引伸知：这不尽正确的观点该在数学教材上修正了！
“这“极速震荡”是“多维”的，其震荡的“极微”尺度，便是空间不可能再分割的尺度。…”
而有限空间在一维上存有彼此不可公度现象(不可公度线段的存在)，可进而作一大胆的猜想： 空间的“极速震荡”不仅是“多维”的，其震荡的“极微”尺度也是多变的……
无限接近不就没有最接近吗？
从1+1=2看，无限接近就是没有最接近。从1+1≠2看，就不一定了。不能线性思维，时空并不直观。只向老鸡问死活，莫向数学问无穷。
我想所谓“无限接近”的设想依赖于“无限分割”的想象，而一切操作性的“想象”，首先应奠基于对其对象“存在性”的考察。有限线段不可能存在无穷多的“无限小”线量，证明了其无限的分割不可能性，也证明了无限的接近却不能抵达的“极限”，其实只是存在于我们观念上的想象，而并非在真实的空间中。
再次作一大胆的猜想： 空间的“极速震荡”不仅是“多维”的，其震荡的“极微”多尺度也是多变的…… 正是空间的如此“多维”、“多尺度”的“极微震荡”，荡涌出无限多“不可分割”的各种“极微粒子”，并是它们具有“测不准”等特性的一大原由，并融组成了我们的“物象世界”……
那个，可以了解一下拓扑空间与豪斯多夫空间的定义
不可分割，加上个测不准，还马马虎虎说的过去，有点上第的影子。 人言难以第语，数学智大，6点到12点混合智，似乎很周全，若不看准智根瞎掰，一切痴顽愚昧皆不出其左右。还不如儿戏之说，不可分割且可分割。智根断并无特效，割与不割要看准智根，如割出个不惑之或，大复发，大崩漏，大数学，弄到最后还要割。儿戏无智，智大必割。
是啊。现在的前沿物理，如“超弦理论”等，将物理的“基本粒子”，用不同n维拓扑空间中极微的“弦的震动”来描述哈……
正是空间的如此“多维”、“多尺度”的“极微震荡”，永远地荡涌出无限多“不可分割”的各种“极微粒子”，并是因它们的“测不准”等特性，使我们观测到的“基本粒子”也具有“测不准”等特性的一大原由，它们构建出我们观测到的“基本粒子”，并融组成了我们的“物象世界”……。空间本身不是呆板死寂的，它是有活性的，悄然灵动地……。所以热力学第二定律对它不成立，世界永远会在生生不息中！！
看一下，我的文章，《小数的分辨率》上面刚刚发布的。就可以解决你的疑惑。
确实，点并不是最初的概念。 最初的概念是距离。刚开始，都是离散的，可数的概念，连续喝概念是对实数的猜想，从而研究连续函数。
但是，这与无理数无关。循环小数，和无理数的存在，是因为，进制的问题。 比如，1/3，这是个静态的数值，它对应一个点，或者一段距离。 但是，0.33……这个无限小数，它不是通常的数，它是个动态的东西，只能说，它的极限是1/3这个点，但是，它本身并不指向数轴上的一个点。
0.9999……≠1，认同。 就直觉想象而言，在线段上，无论分割出任何微小但有确定差异的刻度，其刻度间都有“漏存的线量”，就意味可再分割为更微小的刻度……这样我们的直觉和想象被迫陷入了一种永无止境的恶循环。 而无理数的发现，其几何上的重大意义是表明有不可公度线段的存在。 我正是由此逻辑地证明了有限线段不可能无限地分割为无穷小线量。(不从逻辑来讲，退一步就时间上而言，此种直觉想象的分割需要无穷的时间，也是不能完成的)
怎样解决这一我们本然直觉想象和逻辑证明所产生的尖锐矛盾冲突？ 我想空间本身在进行多维多尺度的极微极速震荡，可化解这一冲突。
就直觉想象而言，在线段上，无论划分(分割)出任何微小但有确定差异的刻度，其刻度间都有“漏存的线量”，就意味可再化分(分割)为更微小的刻度……这样我们的直觉和想象被迫陷入了一种永无止 境的恶循环。 (此种恶循环，就如追着自己的影子奔跑，但其实永远也追不上 )
我们永远追不上自己的影子，能说是因为影子有无穷长吗？ 同理，我们陷入划分(分割)不尽的恶循环，也不能说是因为线段有无限多的无穷小线量。
现代数学的微积分理论，以及康托学派集合论的核心“无穷集”概念，正是在这里，其逻辑基础显出破绽。
设存在一点a，存在最接近a点的一点为b。
对。可再作一补充： 存在这样的一些“点”，它们既是“有内部”的，又是不可分割的。
想请教下楼主，2.中如果点不存在最接近的点，为什么任何的两“点”之间的线段中，将不可能有“点”的中介存在？有没有可能是任何足够近的两点构成的线段中任然有点存在呢？这样说也可以说不存在最接近的点啊？
这里还想请教一下楼主，如果微空间的存在，那么不妨考虑任意两个微空间之交。 1.若其为空集，那可以构成对空间的一种划分，若用整体的空间商去微空间，从而得到的商空间是否可以与原来的空间建立某种相同的性质（比如同胚或者同构）？依照楼主的定义微空间由距离最近的点诱导而出，那上述相同的性质就会存在，那这个新的空间是否“消灭”了微空间呢？ 2.如果任意两个微空间之交非空，那是不是可以构造出，比这个微空间更“小”的微空间呢？那么自然的微空间就不是良定义的。
谢谢你的提问。 “点”的存在与“点的中介”存在不是一个概念。 “点的中介”： 是指“此点”可通过一系列的“中间点”而过渡到“彼点”。由此，“点”的运动方成为可能。 若“点”没有“最接近”的点，“点”的运动不可能完成。
1.若其为空集，由于“不可公度”线段的存在，所以“点微空间”相互会具有“互质性”。 所以若用整体的空间商去微空间，从而得到的商空间也不可能与原来的空间建立某种相同的性质（比如同胚或者同构）。
2.如果任意两个微空间之交非空，则意味要将“微空间”重叠， 这只能是主观想象中的。 “点微空间”既不可能分割，重叠也该是不太可能的。
我感觉：空间本身是绵延的，但其多维多尺度的“极微极速”震荡，是造成不可分“点微空间”的缘由。
再猜想： 空间“极微极速”的“多尺度”震荡，源于Δx。微积分所设想的Δx,应作辩证地理解和把握：Δx既不具恒久广延，但也不为无广延，具有广延的生成性。Δx是空间在极微处表现出的Δx在“无广延”与“始有广延”间的震荡。所以：Δx既可看作为0，又可看作为>0。Δx的这种震荡，体现出空间所具有的勃勃生机，万象从空间的这种勃勃生机中喷涌而出…。
空间“极微极速”的“多尺度”震荡，源于Δx。微积分所设想的Δx,应作辩证地理解和把握：Δx无固有广延，但也不为无广延，具有广延的生成性。Δx是空间在极微处表现出的Δx在“无广延”与“始有广延”间的极速震荡(而各Δx“始有广延”的极微尺度是相异并“互质”的)。所以：Δx既可看作为0，又可看作为>0。Δx的这种震荡，体现出空间所具有的勃勃生机，万象从空间的这种勃勃生机中喷涌而出…。
Δx的此“无广延”与“始有广延”间的极微极速震荡，在宏观上并不能测度到空间在极速的“收缩与膨胀”，尤如“七色陀螺”的高速旋转，我们看到的却是固定的“白色”，尤如高速旋转桨叶上的光点能显示为完满的光圈。 然而，空间却是有“空隙”的。正是这种“空隙”，将“有广延的存在”与“非广延的存在”得以联系和转换，一些特殊的存在，可在“非广延”与“有广延”间来回变幻穿梭。 在这样的情形下，一些平素看来难以理解的事情，例如“量子”的“超距作用”等，就可以得到解释。
空间在“极微处”进行的“无广延”与“始有广延”Δx的极速震荡，既是“此消彼长”似“波的起伏”一样的震荡，又是以“球点”的消失与生成而进行的。以无数Δx为直径的“多微互质”极速震荡，形成了空间生机勃勃，生成万象的海洋……。
贝克莱曾认为：
微积分是因两个错误的相互抵消而获得的正确结果。这两个错误一是Δx=0, 二是≠0。 显然，要将这两个错误抵消的“理想建模”，可将Δx看作为：在广延为0与“始有广延”间的极速震荡。如此，微积分的逻辑基础问题，微积分为何得出的值是精确并正确的问题，将得到一个满意的诠释。
这里，我们还有否定康托尔“无穷集”的核心佐证：有限线段包含“无穷多点元素”的一个证明：
若线段含有“无穷多的点”，那么，设横坐标上任一有限长度的线段S，可看成是无穷多的点横向组成的无穷集S'。那么，我们要问：该无穷集S'中的某一“点”元素x，有无在该集合中“最相近”的“点”元素y？ 若x无“最相近”的“点”元素y，则意味着还有被遗漏的“更相近”的点元素y'，而这与该S'集合是“点”的无穷集相矛盾。 若x有“最相近”的“点”元素y，因“点”被设定为仅标明位置的“无内部”的“点”，则意味着联接该x、y两点的“微线段”s是不可再划分(分割)的线段。而这又表明：有“微线段”不可再划分(分割)，即：线段不可能被无限的划分。这又因此还是得出：线段不含有无穷多的点！ 所以：有限线段未含有无穷多的点！
现今我们数学上所有的“数”，都是按形式逻辑的“排中律”来设定：即数A=B,或≠B,两者必居其一。这意味着，两不同的数，在量上必存差异。所以，所有的有理数之间，无理数之间，有理数与无理数之间，既然都存在差异，那么显然，它们的这“差异之量”，对应在直线上，必表现为“间距”(无论这“间距”是多么微小)。所以，无管我们“现今设定”的所有实数，还是今后“还会扩展”出的所有实数，只要其设定，还是按形式逻辑的“排中律”来设定，将其对应在直线上，都不可能将直线完全覆盖！所以，康托尔的“连续统假设”不可能成立！
所以，我们应设想并扩展出：有这样的“无限非循环”的无理数，它们容许“排中律”：既相等，又不相等。它们空间度量上“微小的差值”为ΔX。ΔX在无广延与“始有广延”间震荡，当ΔX收缩为0时，它们重合相等，当ΔX从0扩展出广延时，它们又分离而不相等…。
所以，我们当今的所有表达直线或曲线连续的函数式，x任取什么样的实数值， 一旦固定设定x₁≠x₂ ,它们都表达的是直线或曲线的间断点，不可能完全表达出直线或曲线的连续。
“数”，在直线上被确定为某“点”，而直线上的这一“点”，却又被规定为：只是标示直线上某一位置的“无内部”的“点”。那么，就引出一个问题：直线上的这一“点”，将直线分成了“以这一点为端点”的两条射线a和a', 那么，因这一点是“无内部”，它就没有“自身的属于”，应该同时属于a和a'。由此也就可以看出：“点”是依附于“线”和“线段”而存在的！(由此我们也可进一步明了：“线”是依附于“面”而存在。)“点”的存在是以“线”和“线段”的存在为前提的！ 由此，我们就不难得知：一切尊循“排中律”有差异的“数”，既然在直线上被确定为“无内部”的“点”，而一切的“点”，都要以“直线”和“线段”的存在作为前提。 所以：一切尊循“排中律”有差异的“数”，无论它是现今所有的“实数”，还是今后又创生出来的“新数”，都不可能对应在“直线”和“线段”上将其完全覆盖，“连续统假设”，将永远不可能成立。 上述的观点，也适用于所有的“曲线”。
谢谢，我们都有自己对数学的思想，非“教材云亦云”。有些认识也是一致的。
在这里发现跟你一样特别的人，并与之交流...
