Strongart博文：谈谈初等几何中的尺规作图

记得当年我非常不喜欢用圆规，理由是每次都会在本子上扎一个洞，有时一打滑小洞就变成了大洞。后来看几何书上的尺规作图，总觉得和其他内容非常不协调，大概是由于历史原因才被收入体系的吧。 从实用上来看，不用圆规基本上也没什么影响。当年我有一把多功能塑料尺，上面有着各种不同半径的圆，画图的时候基本就用它了。如果没有这种尺的话，用硬币之类的代替也不失为一种好办法，实在找不到东西还是干脆描点作图吧，老实说绝大多数曲线图像也都是这样来处理的。有人也许会说，尺规作图可以让图形在理论上精确，但是不要忘记图形只是一个摹本，只要能够指引对理想图像的思考就可以了，况且尺规作图还不是万能的，要是遇到三等分任意角的情形，还必须使用某种近似的技术。 从理论上来看，尺规作图似乎只是人为的构造，尽管具有启发思考的所用，但并不是理论中所必需的东西。记得当时处理三角形全等公理就是用尺规作图演示的，但实际上边角边、角边角都可以直接看出来，剩下来边边边的情形可以通过假设存在两个圆来处理。实际上，圆规的作用就在于引入圆弧，但我们完全可以抽象的使用圆弧，就好像每次连接直线的时候，并不一定非要强调是用直尺连接的直线一样。这样的做法抛弃了一些从操作性的因素，将更为本质揭示直线与圆弧特征。事实上，在用解析几何证明尺规作图不能问题的时候，首先所做的也就是这样的提纯工作。 对比一下三维的情形，大概是由于人类所在空间的限制，我们似乎没有专门画球的球规，但却依然比较制造出各种各样的球状物。只是这样一来，有关球面的问题将变得非常复杂，以致于我们在立体几何中仅仅重视直线与平面这类最为简单的关系，再往后就直接转入解析几何乃至于微分几何了。因此，要构造三维甚至更高维的球规作图理论，就变成一项初等麻烦却又似乎是前景黯淡的工程。 稍微总结一下的话，平面几何中的尺规作图尽管很有启发，但无论在实用上还是理论上，都并不是必须的部分。如果想要精炼我们的几何教材，只把它们当成一种历史的纪念，留给学生课外选读也未尝不可啊！ ———— 原文地址：http://blog.sina.com.cn/s/blog_486c2cbf0100lz49.html