挖个坑，由建构主义谈如何学数学

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  Fay (Enjoy my life) 管理员 楼主 2010-10-28 21:24:25

  数学是研究数量关系和空间关系，这种关系和属性脱离了具体事物，是排除了具体内容以后的抽象。

  数学之难或者之美，就在于它的高度抽象。举个例，小学生学数数，1，2，3......这个数的发明，来自人类经历了漫长岁月，从各类纷繁复杂中抽象出共通的概念。世界上没有一个叫“1”的东西，但是“1”能附属任何一种事物，单单想想这个，就能感觉出数字简洁明快的美，提纯得没有丝毫内容，只有纯“数”。

  数学中还有许多思维的产物，如虚数，n维空间，离真实世界非常遥远，那就更加抽象了。抽象中的抽象，概念中的概念。

  如果谁家娃小学初中的数学成绩很好，别高兴太早，真正的数学是从高中开始的。之前的数学只不过是些数学常识，具体思维占绝大部分，抽象概念只略微涉及。

  有很多男孩小学初中数学成绩一般，到了高中却一下子上去了，原因就在于男生抽象思维能力普遍强过女生。高中的课程与他们的思维一接触，马上相应。当然现在数学好的女孩也多了起来，特别是每年的理科状元，女生的人数似乎要超过男生。理科状元的水分话题以后再说（暑假朋友的孩子就读高二，我顺便了解到了现今理科状元大致状况）。俺觉得，女生理科状元是一回事，女生实际数学能力又是另一回事了。这里说事实，在数学领域，越往高，越是男性的地盘，到顶尖数学家的地界儿，会当凌绝顶的寥寥几人而已，而且是女性止步。

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  Fay (Enjoy my life) 管理员 楼主 2010-10-29 17:24:48

  为什么要学数学？

  不知道有没有人认真思考过这个问题，我是稀里糊涂读到大学才明白点的。前面提到，真正进入数学理论研究领域最终寥寥无几，有些人也极端讲过，长大了，又没有谁会用sin cos买菜，可见数学不好也没什么，基本上生活中用不到嘛。

  数学，我们学的应该是一种严谨的思维，一种观念。出了学校门，如果我们还能经常使用数学的眼光来观察周围事物，那么，这个数学才没有白学。

  大家耳熟能详的哥德巴赫猜想，这个猜测是归纳法，是根据观察的结果产生的，至今不能证明，也不能驳倒。在数学领域，不能被证明就不能形成公理。而我们生活中，处处充满猜测，太多的事无法证明，如果能吸取点数学的思维方法，不仅能帮我们清晰扑捉问题的本质，不被细节干扰。而且，也能培养出一些谦逊，看问题不会那么独断。

  不说那些理论了，举个例，比如某人在工作单位没获升职，他开始猜测一定是某某在领导面前说了自己坏话，而现实中确实也有这方面的迹象支持他的猜测。于是，他便对与此猜测相反的迹象视而不见，笃定地相信自己的判断，从不怀疑，坚持到底。虽然我们可以从性格上心理学角度去分析这个事件，但是，如果他稍微有点数学思维，知道猜测不能被证明即不能认定，那么，或许他能跳出自己的猜测寻找相反的迹象了。

  缺乏数学思维的人，一般非常憎恶严格的思维检查，特别喜欢玩弄些模糊的概念。在网络上，现实中，崇尚感觉型的人，往往缺乏数学思维，喜欢把一些无关的个人因素拉进问题中。

  中国的数学成绩好的学生或学理工科的，不一定有数学思维。暑假看了一位很红的理科状元大谈提高高考成绩心得，还出了书，名字我就不提了。看了他的技巧演示，那叫一个汗哪，数学能学成那样，还得了状元称号，不由感慨我国的数学教育，这么多年，还是没多少进步。

  我一直觉得，如果你把函数真学懂了，对已知和未知的依存关系就会特别敏感，社会上的许多看似纷繁复杂的事件，在你眼里就能看到关键因素，形成函数式。你会有另一种看待万事万物的视野。

  孩子学数学，目的是学解题技巧？是挤进名校的砝码？还是将来能谋份不错的职业？数学的发源地在希腊，注定数学的性格就是超越的，我们把它作为换取利益的工具时，一开始这条路就走岔了。所以，要培养好孩子学数学，最初就要培养孩子有良好的数学素养，求真，求美，求善。

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  月光之下 组长 2010-10-29 17:58:50

  拜读，学习学习。超出我的能力范围了，只有听课的份:)

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  莫与春风便 2010-10-31 10:37:13

  唉，数学不好的人进来留名。：（

  （ 我爸是数学系毕业的，怎么有我数学这么不好的女儿？）

  不过还好，我发现即使数学不太好，果行上面提到的“严格的思维检查”，也是可以通过后天培养得到的。撰写学术论文就是一个很好的长期训练。其实“学术论文”不一定非得真是正经的本科/研究院论文，国外很多中小学要求孩子写的论文，就已经是雏形。如果老师善于启发，让孩子自己发现假设、论证当中的疏忽，到高中毕业时就可以形成良好的思维习惯了。

  不过把这种研究客观事物的思维习惯运用到自己的生活里来，又是另一回事。尤其是人际关系和自我反省方面。：）

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  Fay (Enjoy my life) 管理员 楼主 2010-10-31 17:59:55

  春风眼尖哈，你提到的论文正是我想说而没说的，其实不论文科、理科，逻辑思维能力都是共通的，逻辑能力表现在文科，一般就是论文，表现在理科，一般就是论证。

  其实我还有很多想说的，但又有点懒得动笔。比如直觉，如果观察一个数学很好的人，你会发现一个共同现象，那就是他们在小时候做题时，先是很直觉地得出答案，然后再由答案反推出过程。更有甚者，答案正确，却说不出解题过程，用术语的说法，就是数学语言表达不清晰。他们的答案似乎是从天上掉下来的。

  这个现象的关注，曾经让我感觉非常奇特，按常理，答案正确就应该能写出思维过程，除非这个答案是蒙的。如果是蒙的，一个孩子不可能次次运气这么好，每次都蒙对。后来看过一些数学、物理大家谈起往昔的课题研究，竟然发现他们都提到直觉。他们首先对研究对象有直觉，然后再去探求，探求印证直觉后，论证就是给别人看的了。这里我不得不提到右脑了，知觉辨认，情绪直觉，艺术想象，右脑侧重于形象思维。

  爱因斯坦说：“在我的思维机构中，书面的或口头的文字似乎不起任何作用。作为思维元素的心理的东西是一些记号和有一定明晰程度的意象，它们可以由我‘随意’地再生和组合。……这种组合活动似乎是创造性思维的主要形式。它进行在可以传送给别人的、由文字或别的记号建立起来的任何逻辑结构之前。上述的这些元素就我来说是视觉的，有时也有动觉的。通用的文字或其他记号只有在第二阶段才能很费劲地找出来。”

  不仅仅爱因斯坦如此，一个直觉出来，很多科学家都是如此。孩子小，开始动用的首先是右脑，直觉强的孩子，答案就是迅速的右脑信息组合后的结论，而要表达成语言的逻辑能力这块，还未发达起来，所以会出现表述不清的现象。

  俺家的娃，6岁前我真的没教过她数学，幼稚园教的那些我觉得基本可以了，不需要我另教，因为我并不急于提前开发她的左脑。数学是不是年龄越大学越好，我不能肯定，因为数学还包括了几何空间这些形象思维，但逻辑思维应该是越大学越合乎成长的自然。小学生如果看起来逻辑能力很强，我私下觉得那是人为的产物，窃以为不值得夸耀，弊端严重也未可知。

  直觉的创意在诗词歌赋中也常见到，西方经典音乐中会有它的身影，巧夺天工的画境会流露出凌空的美感。相对逻辑思维培养，这些倒是最最难的了。

  《孙子兵法》中的一句话比较喜欢：善守者藏于九地之下，善攻者动于九天之上。孩子嘛，多多善守内功培养，吸收含藏于九地之下的内力，三、四十岁的时候，才有动于九天之上的才能。当然，天赋异禀者除外啦~~

  瞎扯这么多，数学学习的方法还没提一个字呢，后面再说说建构主义下的具体操作，免得像裹脚布，又臭又长还没入正题：）

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  Fay (Enjoy my life) 管理员 楼主 2010-11-01 16:42:50

  其实很不喜欢自说自话，孟子曰：人之患在好为人师。所以也很不愿意扮演好为人师的角色，以至于每每谈论一个话题，总有些惴惴不安的感觉。这个坑挖了就得填些内容，怎么说呢，我理解问题的角度确实有点别扭，朋友们担待着看哈。

  新课标出来后，数学教材就是以模块的形式编撰，与老教材相比，优点是内容丰富，编排生动。缺点是打乱了数学的系统性，连贯性。这么编撰教材是深受建构主义的影响，与西方教育模式接轨进行的改革。

  建构主义提倡，新的认知是由主体与客体相互作用逐渐构建的。新知识深受原有知识的影响。那么，因为每个个体原有认知体系不同，那么教材和教学方法就应该是启发式。新课标的内容就是力图接近生活，使学生从日常生活中发现与之相符的内容，逐渐构建新知识。这是教材编写的进步，值得肯定。而教学方法要与教材相匹配，所以出现很多针对老师的培训。如果仅仅教材改变，而教育方法仍停留在灌输，那么学习效果就会比用老教材还差。

  构建主义不仅仅是强调构建的过程，同样考虑到人的记忆模式，心理学家们公认，短时记忆容量为7±2个信息单元，而形成长期记忆的方式最好是把新信息与原有信息建立联系和组块，形成信息网络。这是一个重视过程胜过结果的学习方法。

  暑假里，我给朋友的孩子制定了一个数学自学试行方案。一个新章节开始之前，先简略浏览一遍，好比去书店买书，我们一般会先看目录，然后看些小标题，再在感兴趣的小标题中看前面一小段话。这种做法就是一个很模糊的架构了解，这时候，头脑会很自然地用原有知识解读新知识。这个时间很短，10分钟以内就可以了，但是会很快建立在长期记忆模块中增加联络。

  接下来按照小标题讲述一下自己的理解，按照建构主义的说法，个体遇到新刺激时，总是试图用原有的知识结构去同化它，以求暂时的平衡。那么，这个讲述一般都是用旧知识来解读新标题。这个阶段有趣的是，原有的知识理解得透，新知识建构得就很快，原有知识不利索，新知识的解读就非常陌生。个体的差异就涌现出来，而且是学生自己能体会到的。这也是为什么老师同样讲课，而有的孩子懂有的不懂。不懂的学生，老师就算掰烂揉碎了讲，学生还是不懂。因为新知识构建是在个体自己原有体系下的构建，俗话说就是这孩子基础差，数学教学按部就班，前面的不懂，后面的就无法进行。这个原因，跟孩子怎么讲他也不是很明白，他所感受的就是挫败感。而自己讲述的话，孩子自己就能体会到哪些知识原来没有掌握。

  第一轮讲述完毕，不懂的做记号，然后通读一遍书。读书可以一边看书一边上网查资料，什么资料都可以查，视频、文本、图片。。。涉及到原有知识薄弱的地方，这时候可以补上来一起查找。这一遍通读是把书越读越厚的过程。这里可以提醒一下，新课标对概念的理解编撰得不是很好，一般是用例题来帮助理解概念，这个非常不利于数学思想的建立。所以这里应该添加些对数学历史、数学背景的了解，知道原来课本上精美严谨的概念原来也是数学家通过猜测、放弃、组合、试算等等一系列正常思维过程而来，课本上的定理只是最终结果。数学家也跟常人一样犯错，也跟孩子一样在凑答案。这个背景的了解，能减轻对数学的恐惧，加强兴趣。

  通读完毕，自己编写小标题，进行第二轮讲述（也可以自我讲述），这个阶段很生涩，术语会频繁出现，可以说只有自己听得懂，别人会听得稀里糊涂。讲的过程能帮助自己梳理和检查漏洞。

  第二轮讲述完，再看书，再查资料，如此反复四轮。如果效果好，到第四轮的时候，就能讲得绘声绘色，会有生活中的例子，会有幽默段子。这时候让家里的保姆听他的课都能听懂，因为他会把理解的内容换成保姆应对的生活来举例比喻讲述，比如，集合的概念，他会用菜篮子比作集合A，萝卜是一个子集，白菜是一个子集。。

  讲述到这种程度，书本上的题几乎不用做，甩一眼就会。书本知识有基础性，而考试，特别是高考是选拨性的，不可能那么容易。但基础打得很牢，做题就不是被动的了。学数学是一定要做题的，但也不用采取题海战术，要学会自己总结出经典题型和思路，这个话题这里就不多谈了。

  学数学看起来是智力活动，而实际上，非智力因素不参与，智力因素就不怎么起作用。数学家波利亚说过：当一个学生错误百出或迟钝得令人恼火时，原因几乎都是相同的：他们根本不想解题，甚至不愿正确理解这个问题，所以教师首先要挑起他的好奇心。

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  Fay (Enjoy my life) 管理员 楼主 2010-11-01 17:04:01

  我很不在行的讲了一大通，放上来也不知道合不合适，也并非其他孩子也喜欢这样学，我姑妄说之，朋友们姑妄看之吧。纯属聊天哈。

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  月光之下 组长 2010-11-01 23:18:33

  果行把新课标分析得很透哈。

  数学书上的知识点，每一年大体类似，差别只在深入的程度。这和我看到的美国教材是一样的。具体怎么编的，例题如何，我就没注意过了。因为我们现在基本不用这个教材，以前看过的都丢在脑后了。每学期发的新课标我现在基本都直接送废品站了。

  我儿子还小，你这种学数学的方法对他来说怕是难了点。等他大一点了，让他自己参照你的方法试试。

  我见过一次儿子的老师讲课，乘法。 当时老师分解了12，提问12可以由哪两个数相乘。2、6；3、4。。。 然后老师又让孩子们注意2和4、6和3之间的关系。 这样讲其实很慢，但我觉得比直接要求孩子背乘法口诀更好。 这是外国老师的教法。 中国老师好像还是有口算练习卡什么的要求孩子当堂完成。幸好并不算太多，而且对速度的要求也不是很高，我们不需要给他额外练习他也能得满分卡。——当然他也宣布过他最喜欢的是数学课。

  我看他们学校的数学学得不深，集体买了一个习题网站的使用权，让他们上网去做题。——老师会布置一些，很少。你要是想做，也可以去拿铜章、银章、金章。每周可以拿一个铜章，集N个铜章得一个银章，集N个银章得一个金章。。。得到银章老师就会帮你打印证书，以示表彰。 另外，每周还会发一页稍难的习题给有兴趣的孩子做，但并不硬性要求。我儿子是每次都做的，好像有一个公认超级聪明的女孩子也做，其他人就不一定人人都做了。 由此可见，数学这玩意儿，大概怎么也离不开做题。熟能生巧嘛。他见得多了，做得多了，自然就会有亲切感，而且慢慢也会去总结其中的规律（假如他用心其中的话，不喜欢的，做题就成了苦差事，与其让他只求完成，还不如给他多一些时间发展其他方面的爱好呢）。

  为了不让果行一个人自言自语，我可是勉强把我知道的有关低年级数学的“事实”，一五一十的通通讲出来啦。

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  月光之下 组长 2010-11-01 23:20:55

  我个人感觉，数学是个很重要的工具，但并不是人人都能学好学通的。

  有个研究国际关系的朋友曾经感叹，连研究国际关系也要学数学啊，要用数学建模。因此即使从功利的角度来看，至少在一定程度上掌握数学还是很有必要的哈。——当然，我不知道我儿子将来要不要从事研究工作，所以也无法预设什么。好在他自己喜欢数学，我在这方面也就不需要用太多的脑子了。

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  Fay (Enjoy my life) 管理员 楼主 2010-11-02 14:40:05

  哈哈，多谢月光捧场^_^

  我刚用豆瓣小组还很不习惯呢，字体太小，又没有颜色调整，还不方便贴图、视频。。。不过泡的时间长一些，又发现比论坛好用，可以参加感兴趣的专题小组，有很多书、电影的推荐。比较适合我这种不喜欢热闹又好广交朋友的人。

  你儿子的学校很不错嘛，他能那么开心的学，你是不用操这方面心的。也是机缘吧，要不是朋友的孩子明年参加高考，我也不会去关心目前的新课标。为了迎接高考，按国内惯例，他们学校在高二就把所有数学课本教完了，高三就开始总复习。我的这个方法可能还只适合他，还没在其他人身上试验过。O(∩_∩)O~

  话说新课标很有意思，初中到高中的教材，中间没有任何衔接，进入高中，教材径直迈向抽象。建构主义有多具体，你那个外国教师的小学授课方法就可以看出来，我们目前的小学、初中几乎也在朝这条路走，可一到高中，全幅的抽象开始了，好多学生开始手忙脚乱。我想，国外的东东直接嫁接过来会不会水土不服？只把建构主义的方法搬进来，而考试制度没有变，教学方法夹在分数的追赶与能力培养的夹缝中，行吗？再有，人家小学就开始有论文写作，分析思维很早就开始，我们的中文，这只脚是跛的，而高中数学教材，分析这只脚又伸得老长，你要人家孩子脑子怎么转的过来呢？所以，一线老师也懒得研究这么多了，学校考核和家长，要得还是分数，那些个能力什么的，娃小的时候还关注这些，真到了高考棒前，俺们来不及操那份闲心，有了奥数金牌牌，有了名校的金圈圈，能力也不会差到哪里去吧。想起了佛教里提的大势至菩萨，大势到来，佛都怕它。

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  Fay (Enjoy my life) 管理员 楼主 2010-11-02 14:46:01

  我国当年的奥数冠军，现在在干嘛？我很关心，这里有篇数学系研究生的小文，也是我的疑惑：

  如果陶哲轩在国内求学 能和数学一起玩吗？

  8月22日，在马德里开幕的2006年国际数学家大会当天宣布，数学界的最高荣誉———菲尔茨奖由4人分享，其中包括澳大利亚华裔数学家陶哲轩。31岁的陶哲轩，也成为继1982年首位华裔数学家丘成桐教授获菲尔茨奖后，获此殊荣的第二位华人。（《东方早报》8月23日）

  天下华人一条心，在高兴之余，就想，如果陶哲轩在国内求学，他会获得如此巨大成就吗？

  陶哲轩出生在澳大利亚，自小就被人称为神童，他8岁上中学，12岁已读大学三年级。这样的经历对我们并不陌生，在国内一些神童身上常常可见。更让我们熟悉的是，陶哲轩也曾参加过奥数，1986年、1987年和1988年，陶哲轩三次成为国际数学奥林匹克最年轻的参赛者，分别赢得铜牌、银牌和金牌。奥数神童陶哲轩成了菲尔茨奖的得主，而我们那么多星光闪耀的神童、奥数金牌得主呢？

  笔者注意到陶哲轩的几句话，“我想培养对数学的兴趣最重要的一点，就是有能力和自由跟数学一起玩——给自己找些小挑战，设计一些小游戏”。陶哲轩鼓励人们“跟数学一起玩”，他自己也是如此。可是国内的学生，能做到这一点吗？很多人学习奥数是被逼的，是带有极强功利性的，如此沉重压力下，他能享受到数学中的乐趣，能做到“跟数学一起玩”吗？

  如果陶哲轩在国内上学，他能“有能力和自由跟数学一起玩”吗？我想，很难。环境能改变人，很多东西不是由他、由他父母所能决定的。可环境对人的改变是潜移默化的，正如“温水煮青蛙”一样，在点滴之中，即使勇士也未必能幸免。

  笔者还注意陶哲轩的一个经历，他24岁就成为加州大学洛杉矶分校的终身数学教授。在国内大学圈子里，能够容忍一个24岁的年轻人，成为终身数学教授吗？“我劝天公重抖擞，不拘一格降人才”，可当人才到来时，我们的勇气、魄力却常常缺失。

  历史不可假设，我们也不能判断陶哲轩如果在国内求学，是否会取得今日之成就。我们只知道，陶哲轩不是在国内求学的，丘成桐也不是在国内求学的；我们还知道，我们拥有若干的神童，曾经有很多人夺得过奥赛金牌，可是在科学最高峰，没有见到他们的身影。

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  jasmine(如果) 2010-11-02 14:48:34

  数学很重要。 但我真的不太理解高中以上的数学，呵呵。。。

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  candyxiao020 2010-11-03 09:50:43

  这个话题，我只有学习的份，天生就是数学“白痴”，看见数字就头疼的人。不过关于新课标，感受很明显，确实如果行所说，在概念的讲述上实在太差了，其实根本就很少明确讲述概念，这点突出表现在小学三年级开始的几何初步知识上。以例证来代替概念，让孩子们很晕，如果老师的讲课功力再不过关，那这基础就很成问题了。我家女儿不幸就碰见一个不负责任的老师，结果平行四边形、长方形、正方形全班的孩子都一塌糊涂，费了好大的劲来纠正她脑子里的错误概念。

  现在女儿正学奥数，目的也不外乎开拓思维，培养兴趣，顺便为小升初做点准备。奥数老师的授课也方法各异，一部分属于自顾自做题型，老师在黑板上自己做自己的，下面孩子自己玩自己的，让人看着起急。很少有老师达到从兴趣出发加以引导，从而让孩子爱上数学的水平，大部分孩子也谈奥数色变。小升初的制度不变，奥数学习永远只能是功利的。

  昨天一个朋友提到，她女儿一年级，数学就让人头疼。令她不解的是，小学以前就开始教女儿背加减法，为什么孩子依然不上道？我感觉就是这个“背”出了问题，“背”的行为严重干扰了孩子理解加减的意义和抽象思维的建立。我建议她让孩子忘记背过的东西，花点时间先从凑数开始，不知道行不行得通呢？

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  书香泥香 (我们在山那边修地球) 2010-11-03 20:53:07

  我是本组第一个会员，看到果行在说数学，某想大笑！！

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  书香泥香 (我们在山那边修地球) 2010-11-03 21:40:36

  辛苦果行了，你说到后来的时候，说到了社会文化对人的创造与思维的影响了，其实逻辑也好，创造力也好，社会文化影响都是很大的，影响创造力的三大因素的其中之一就是社会文化。

  数学这个东西是个沉重的话题，累了，也怕了，先不想理它。

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  Fay (Enjoy my life) 管理员 楼主 2010-11-03 21:40:41

  绿野，不许笑！再笑罚你读论语一万遍。

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  书香泥香 (我们在山那边修地球) 2010-11-04 07:55:57

  我的天，一W遍？太多了噢，真是累杀了小生。

  不过昨晚后来仔细思考了一下，从个人切身体验来看，很多时候，上面说的直觉，也就是有些人知道答案却说不出过程，不是语言表达问题，而是他们自己也不知道为什么突然答案就来了，是一种没有过程的，没有表达的瞬间就抓到答案了。

  也许这是人的灵感，也许这是人的潜意识，从很多精神动力学派的人来看，人应是潜意识与无意识占主导的，而意识处在次要却显性的地位。

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  Fay (Enjoy my life) 管理员 楼主 2010-11-04 21:04:52

  背加减法？candy的朋友比较有趣哈，我赞同你的观点，机械的背诵根本与数学思维背道而驰。

  我小时候最讨厌的就是大人叫我在一堆人面前表演背诵，背诗词和口诀表之类，那种行为让我觉得好傻，呵呵。

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  Fay (Enjoy my life) 管理员 楼主 2010-11-04 21:20:36

  仙爷，俺不太懂心理学，以前猛攻过一段时间佛教唯识宗，然后就觉得西方的心理学比起印度原始宗教差远了。后来一了解，发现弗洛伊德和荣格深受佛教影响，而佛教的密宗在西方很受欢迎也是有渊源的，于是释然。

  不过西方心理学有所发扬的是分科研究，有实验统计依据，这点值得学习。像儿童心理学这块，我就缺失了细微的、多元的了解，这几年正想补补课，你能否给些提点？^_^

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  书香泥香 (我们在山那边修地球) 2010-11-06 08:10:10

  回果姐，我也帮不了你哦，水平不够，努力的学习中，其实你已是个水平很高的家长了啊。

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