【乱想】【数学】形式化、哥德尔定理和哲学

作为对 http://www.douban.com/note/128640741/ 的回应。 我把数学的发展理解为发生在一个基本的直觉性的“空间/场域”X内，粗略地说，X中含有全部关于（数学意义上的）空间的秘密。这里X还未经任何哲学反思（事实上大多数数学家也从来不去想），但我们默认对X中的一些非常“简单”的直觉有共识。非但如此，在适当定义逻辑（逻辑暂且只理解为也在X中的东西）之后，那些最简单的共有直觉都可被形式化为基本命题。数学形式化的要点是我们试图用形式语言来固定X中可被发现的尽可能多的直觉性真理，这就是证明的过程。之所以能这样利用形式语言的好处，是因为数学证明一贯地坚持基本直觉和对应的基本形式命题的一致性，也就是说，原则上不存在阐释学困难和误解，时间对证明形式的影响被减少到最小。我们可能对一个事实有更好的了解或更美妙的证明，但如果我们在任一时刻仔细查看它的证明，我们可以发现任何句子的意义是前后融贯的。 在这个数学专用语境中，哥德尔第二定理的意思是：如果我们至少还坚持初等数论的正确性，那么数学家们永远不能期望有限多的基本命题及其推论可以形式推导出X中全部的真理。它的证明最终用到了矛盾律：A和非A不能同时为真。这里矛盾律有效的前提是建立在X中直觉的明晰一致上的：一物不能是这样又是那样。但如果我们承认逻辑规则的改变，比如允许超限归纳法，那么很多X中真理变得可以被有限命题推导出来。当然，如果彻底在哲学意义上改变X，那么一切现成结论都不存在了；但那样的游戏是否还能叫数学，这是有疑问的。数学的特征之一就是这个游戏需要形式前后一致的解释。 如果把X扩展到人类在此世的整个游戏空间Y（你立即可以发现，“空间”一语也只不过是基于数学这一起始点的比喻，Y没道理一定得是一个“空间”。斯宾格勒就认为这是浮士德文明独有的看法），那么我们仍然有逻辑可用，形式化的想法在一定程度上也可以贯彻。但阐释的问题，主体间性的问题，神之存在和神与人的关系……一个个就都冒出来了。这时候我们对哥德尔定理能说什么呢？纯形式方法的威力很有限了。即使我们认同初等数论，知道了有限多命题不能【形式地】推导出全部真理，那又如何呢？随便举些例子： 1.如果接受上帝，那么什么都可以容易地得到了。 2.无限多的命题仍然可能形式地得到真理，这个“无限多”也就是个比喻，可能甚至不能只在数学的X中理解和认识…… 3.如果允许对形式随便阐释、引入时间的影响、或者用辩证法思维，那么不能【形式地】得到真理并不是说我们不能在Y里得到真理，因为形式和直觉的一致性不再时时存在了。究竟说来，Y中的基本事情是在时间中的行动，而不是更单纯的思考。 4.如果我们不要全部的真理，或者根本就不要真理，那又如何？人在Y中并不是只有追求真理可做。 5.如果放弃“真理是形式和意义的一致”或“真理是形式系统的融贯”之类，那又如何？本质上超越语言之物？ 6.（还有各种各样对我根本不可思议的东西）…… 所以，在语境未明之前，我对在哲学中使用哥德尔定理持谨慎态度。