芝诺悖论试解

hanyupinyin

2011-02-19 15:00:59 已编辑

芝诺对阿基里斯追乌龟推理的结论是阿基里斯永远也追不上乌龟。推理中的“不停”、“永远”是指时间无限长。人们用常识可以判断出阿基里斯可以追上乌龟，追上乌龟所用的时间也可以用算数算出〔1〕。芝诺在论述他的阿基里斯追不上乌龟理论时把阿基里斯追上乌龟所用的距离分成了无限多份，也是把阿基里斯追上乌龟所用的时间分成了无限多份，芝诺这样把距离、时间分份没有问题，但是这无限份时间之和是有限长时间，不是无限长时间。无限份的有限长时间怎么转换成无限长时间的呢？“芝诺让阿基里斯追乌龟的过程在制造出的无穷多个起点中进行”，这一作法没有错误，芝诺又诱导人们一个一个地数阿基里斯与乌龟间的距离份数，在人的思维中有“数一个数要消耗一段时间”的意识，人们知道在有限时间内不能数完无限多的数（点），数一份距离会消耗一段实在的时间，这样与无限份长度对应的无限份时间就转变为了无限长时间，得出了阿基里斯永远也追不上乌龟结论。 之诺悖论的理论逻辑错误是偷换概念，把有限长时间内的无限份时间换成开放实在的无限段时间（实无穷换为潜无穷）。违反了同一律。芝诺悖论不是悖论。

〔1〕芝诺第二论也涉及一个几何级数，为具体起见，设阿基里斯以每分钟100英尺的速度前进，乌龟则以每分钟1英尺的速度前进，设乌龟在阿基里斯前990英尺，问阿基里斯需要多少时间才能追上乌龟？芝诺说：永远不可能，而“常识”告诉我们，阿基里斯每分钟赶上龟99英尺，原有990英尺的距离10分钟之后完全赶上了。《数：科学的语言》 【美】丹齐克著 苏仲湘 译 上海教育出版社 p122

实无穷：指那些完全可以确定的但包含的个体总量并非有穷的实体，如自然数全体、有理数全体、实数全体、复数全体等。 潜无穷：指那些不会在有限步内终结或完成的过程，如生成一个无穷序列、得出一个无穷级数、定义一个无穷分割等，这些过程中间的每一步之后总可以有紧接着的下一步，不会在有限步内完成。比较起来，实无穷表述的是存在的总体；潜无穷表述的是存在的局部。潜无穷依赖于实无穷。《数学大辞典》 王元 科学出版社

也可从另一个角度观察、描述潜无穷与实无穷。 “潜无穷”是让无穷集中的每一个元素都与一段非无限小的有限时间对应，使无穷集的元素在有限时间内不能被数尽。如，一尺之捶，日截其半，万世不竭。潜无穷不能被一一数尽。“实无穷”是让无穷集中的所有元素与一段非无限大的有限时间对应，如同让一个点（一只虫）在数轴上从0向1移动，只要这个点移动的速度非无限小（大于零），这个点一定会在有限时间内经过0与1之间所有的（无限多的）点，数完无穷多的点。如此，一尺之捶，虫行其上，穷其“不竭”。实无穷可以被一一数尽。

2021.6.25修改

之诺的推理结论是阿基里斯就永远也追不上乌龟。不停、永远的意思是时间无限长。 阿基里斯可以追上乌龟大家都可以用常识判断出来，追上乌龟所用的时间也可以用算数算出。之诺在证明他的理论时把时间分成无限多份，但把他利用的所有时间加起来是有限时间，是阿基里斯追上乌龟所用时间，不是无限长时间，之诺悖论的理论逻辑错误是偷换概念，他把无限份时间换成了无限长时间，违反了同一律。芝诺悖论不是悖论。 【阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中，乌龟在前面跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯追到乌龟的的起点时，乌龟已经又向前爬了一定的距离，于是，一个新的起点产生了；阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟这个新的起点时，乌龟又已经向前爬了一段距离，阿基里斯只能再追向那个更新的起点。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停的奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！ http://baike.baidu.com/view/2555323.htm】

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  hanyupinyin 楼主 2011-02-20 09:10:42

  虽然逻辑可以应用到事实中去，但事实问题与逻辑问题属于不同的问题域。就好比解决芝诺悖论的最简单办法就是走两步，但这里有两个问题，一是没有一个哲学家或者数学家或者逻辑学家会认为走两步就解决了芝诺悖论，可反过来说也没有一个神智清醒的人会认为除非从理论上解决了芝诺悖论，否则我们就真的不可能穿过一定的空间了。

  赞同。 是不是可以不必走两步了。

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  hanyupinyin 楼主 2011-02-21 08:20:21

  百科名片 悖论指在逻辑上可以推导出互相矛盾之结论，但表面上又能自圆其说的命题或理论体系。悖论的出现往往是因为人们对某些概念的理解认识不够深刻正确所致。 悖论的成因极为复杂且深刻， 对它们的深入研究有助于数学、逻辑学、语义学等等理论学科的发展，因此具有重要意义。 其中最经典的悖论包括罗素悖论、说谎者悖论、康托悖论等等。

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  hanyupinyin 楼主 2011-02-28 08:45:16

  “芝诺时”。

  之诺把“芝诺时”的无限长换成了“公认时”的无限长。

  这个悖论实际上是反映时空并不是无限可分的，运动也不是连续的

  不太理解。

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  hanyupinyin 楼主 2011-03-03 19:34:05

  还是不太理解。

  之诺悖论有逻辑错误吗？

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  hanyupinyin 楼主 2011-03-06 14:40:19

  时间呢？

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  hanyupinyin 楼主 2011-03-14 08:39:48

  把无限数量放入无限时间是潜无穷，把无限数量放入有限时间是实无穷，可以被数尽。如同有一个点在数轴上从0点向1点移动，在一定时间内这个点要经过0与1之间所有的点，数完0与1之间所有的点。

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  hanyupinyin 楼主 2011-03-20 15:52:11

  可以定义乌龟身体的最后一点与阿基里斯身体的最前一点重回为追上，这两点间的距离可以无限分割。？

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  hanyupinyin 楼主 2011-03-22 10:29:54

  不停、永远的意思是时间无限长。？

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  hanyupinyin 楼主 2011-03-25 09:25:38

  阿基里斯追上乌龟的那一瞬达到了那个逻辑系统里的时间的无限远处

  不是时间的无限远处，他把无限份时间换成了时间的无限远处，他把无限份时间换成了无限长时间。

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  hanyupinyin 楼主 2011-04-06 15:46:52

  我们为什么不能将阿基里斯追上乌龟的时间规定成无穷大、并将其作为我们的时间测量标准呢？我们找不到不允许这样作的任何理由。

  我们有不允许这样作的理由。解决芝诺悖论的最简单办法就是走两步。我们生活在逻辑中也生活在现实中，现实可以修正逻辑。

  我们使用的时间测量标准已限定了我们的认识范围。--------------有同感

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  hanyupinyin 楼主 2011-04-07 09:56:25

  乌龟和阿基里斯故事内容的特点： 没有同一个开始的起跑点 没有相同的终点 那逻辑上来说，不构成我们一般理解的比赛或竞争 （不就像在比较苹果和橘子哪个比较好吃吗？！）

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  有共同的时间起始点 阿基里斯接触到乌龟是终点 应该可以比赛

  如果认为他们之间有不同之处就不能作比较，那么--。

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  hanyupinyin 楼主 2011-04-07 13:52:48

  我们常用的时间测量标准与“芝诺时钟”间是可以换算的，所以实际上只有一个时钟。之诺只是换了概念，他把无限份时间换成了无限长时间。把“芝诺时”换成了“公认时”。

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  hanyupinyin 楼主 2011-04-08 08:28:53

  我们制定的时间标准要适合人们的生活，若生活中使用之诺时，就是人们总是生活在n多个“无限长”的时间中，是不是太繁琐、效率低。

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  hanyupinyin 楼主 2011-04-08 08:32:20

  这让我想到另一个有趣的问题：1与0.999999......比较大小。

  是不是可以这样。有一个点在数轴上从0点向1点移动，要经过0与1之间所有的点，它在遇到1点之前遇到的最后一个点是无限接近1的点，如果这个点是0.99..那么0.99..不是1，如果遇到1的同时也遇到了0.99..，那么0.99..不是无限接近1的点。

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  hanyupinyin 楼主 2011-04-08 10:19:28

  0.999...是一个变化的数，有人认为0.999...与1之间不能再插入数了。

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  hanyupinyin 楼主 2011-04-08 19:27:02

  0.999...后面跟的9无限增多时，它的极限是1。

  极限是1，0.999...是1 吗？

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  hanyupinyin 楼主 2011-04-09 08:44:21

  对潜无穷实无穷的实质有点个人想法

  潜无穷是把无限数量放入无限时间中，实无穷是把无限数量放入有限时间中。实无穷可以被数尽，如同有一个点在数轴上从0点向1点移动，在有限时间内这个点要经过0与1之间所有的点，数完0与1之间所有的、无穷多的点。 在有限的时间内阿基里斯可以走完无限份距离或无限份时间。？？

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  hanyupinyin 楼主 2011-04-11 09:07:57

  0与1之间存在有无限多个点。有一个点从0点向1点移动就一定会在有限时间内移动到1点，就是数完了0与1之间无限多的点，虽然这些点与自然数不能构成一一对应、是不可数的。

  应该说，在我们现有的时间标准下，阿基里斯在有限的时间内走完了有限的距离，尽管这个有限的距离内的所有点是不可数的，有无限多个点。----------同意。

  资料上潜无穷和实无穷的概念不是这样的。但感觉它们之间的区别与时间有关。

  关于一一对应也有想法。 《自然数与自然数中的偶数一样多吗？》 如果自然数与偶数间没有某一属性联系，那么它们符合集合规则，有相同的基数，它们的个数是一样多。但这时的“自然数”与“偶数”间没有关系，“自然数”、 “偶数”与奇数间也没有关系，结果只是有两群数字，它们有相同的基数。如果自然数与偶数之间有数学关系，即在数轴上偶数到原点的距离是与它配对的那个自然数到原点距离的两倍，或偶数代表的元素个数是与它配对的那个自然数代表元素个数的两倍（2×自然数=与其配对的偶数），如果有这样的前提就不能确定自然数的个数与偶数的个数一样多。因为自然数集合中最后一个元素是∞，与它配对的偶数的元素一定是2∞，在无限大计算中2∞等于∞，那么自然数与偶数配对就不是有数学关系的一一对应，不符合自然数与偶数间有数学关系的约定，就不是自然数的个数与偶数的个数一样多。 有两个自然数集合，它们之间的元素可以完全一一对应，其中一个自然数集合中的元素又可以与另一自然数集合中的偶数一一对应，那么另一自然数集合中的奇数又与谁对应呢？自然数集合与偶数集合真是一一对应吗？自然数集合与偶数集合、自然数集合与自然数集合不应全都一一对应。

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  hanyupinyin 楼主 2011-04-28 08:33:58

  事实上他把一段距离给分成无穷项，偷换成这个距离就会有无穷远。

  同感

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  hanyupinyin 楼主 2011-05-02 08:29:41

  空间应该是可以无穷分割的吧。

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  hanyupinyin 楼主 2011-05-26 08:20:29

  人肯定能够追上乌龟，大家都这么认为。之诺从理论上提出人追不上乌龟，要指出其的问题所在，是不是应该用逻辑？

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  hanyupinyin 楼主 2011-07-05 19:32:03

  芝诺悖论的中心在于我们不可能看到那些时间和空间的片段，这些片段是由无限个成员组成的。

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  好像我们可以不必去数那些时间和空间的片段。

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  hanyupinyin 楼主 2011-07-16 08:41:07

  矩阵与芝诺悖论有关联吗？

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  hanyupinyin 楼主 2011-08-02 14:06:27

  所以处理坚离白的问题，矩阵是个好办法。

  “坚离白”的具体含义是什么？没查到，可以介绍一下吗？

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  hanyupinyin 楼主 2011-11-05 14:32:04

  我觉得这只是语言上的问题而已呢 = =！

  可以具体一些吗？

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  hanyupinyin 楼主 2012-01-16 08:14:26

  在阿基里斯追不上乌龟的故事中好像没有看出来芝诺否定了运动。

  我想这个答案将会是无穷尽的

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  hanyupinyin 楼主 2012-12-24 17:14:25

  无限接近于1的数等于1，是不是数轴上的数都相等。http://www.douban.com/group/topic/17968536/

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  hanyupinyin 楼主 2012-12-30 14:26:31

  感觉“0.999...无限接近1” ，不等于1。还不能证明。

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  hanyupinyin 楼主 2013-01-26 19:34:55

  如果逻辑对，事实不对， 还要逻辑做什么，逻辑不外乎名实之辩称 如果逻辑对，事实不对， 还要逻辑做什么，逻辑不外乎名实之辩称 谭锦权

  希望能详细指出错误点。

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  hanyupinyin 楼主 2015-02-05 08:32:24

  佛教中有关于这种悖论的分析，如《中观论》里面有关于运动不可能的论述。认为是因为太执着物体的 佛教中有关于这种悖论的分析，如《中观论》里面有关于运动不可能的论述。认为是因为太执着物体的自性。比如乌龟的的速度，和乌龟所到达的一个节点，是独立于乌龟运动而存在，并且将这个独立存在的节点，放在阿基里斯运动里面，要求阿基里斯到达乌龟的运动节点。本身就有一定的不合理。因为乌龟的运动节点不能脱离乌龟的运动存在，更加不能变成阿基里斯的运动节点。 以上只是提供东方的逻辑哲学的解答方式。 ... energy

  比如乌龟的的速度，和乌龟所到达的一个节点，是独立于乌龟运动而存在，并且将这个独立存在的节点，放在阿基里斯运动里面，要求阿基里斯到达乌龟的运动节点。本身就有一定的不合理。----------------- 不太明白这个结论的推理过程。

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  hanyupinyin 楼主 2015-02-10 09:36:03

  乌龟悖论好像没有提到运动中能产生一个静止的节点。

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  hanyupinyin 楼主 2015-02-11 10:16:10

  “就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离”，这个起点，乌龟是 “就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离”，这个起点，乌龟是静止的，还是运动的？ ... energy

  芝诺乌龟悖论没有争议在时间点上是否存在移动。 如果讨论在瞬间是否存在移动可参看批评 《飞矢不动试解》http://www.douban.com/group/topic/17871685/ 《瞬间”的矛盾》http://www.douban.com/group/topic/32025717/

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  hanyupinyin 楼主 2015-02-11 16:47:24

  打游戏暂停的一瞬间，箭是动的还是不动的，其实是只有势能没有动能，但是前提是真的能把时间孤立 打游戏暂停的一瞬间，箭是动的还是不动的，其实是只有势能没有动能，但是前提是真的能把时间孤立出来，这个悖论的前提就还是有待物理学家证明的 ... 以蒙

  现在高速摄影机可以一秒钟拍摄6亿张，但是应该永远不能拍摄到瞬间。

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  hanyupinyin 楼主 2019-02-18 04:20:45

  芝诺把无限份时间换成了无限长时间，让人们数一个“起点”消耗一段时间，把实无穷替换成潜无穷。 《试归纳潜无穷实无穷》https://www.douban.com/group/topic/75478086/

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  hanyupinyin 楼主 2020-11-02 07:04:00

  芝诺诱导他人对每份时间（无穷多的“起点”）一个一个数，数一个“起点”会消耗一段时间，使人们把时间消耗在数无限份的时间上（一尺之捶，日截其半，万世不竭。），人在有限时间内不能数完无限份时间，芝诺成功地把实无穷偷换成了潜无穷，把无限份时间换成了无限长时间。 之诺悖论的理论逻辑错误是偷换概念，违反同一律。芝诺悖论不是悖论。 《潜无穷与实无穷的区别》（https://site.douban.com/145723/widget/forum/18112630/discussion/615448546/） 阿基里斯每迈出的一步走过的距离都可以分解成无限多份长度，走每一步所消耗的时间都是有限时间，所以经过无限多份的距离不是消耗无限多时间的依据。

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