费马帕斯卡系统

阿子组长
2020-08-22 11:06:11

假设有两个赌徒，每一盘里，他俩的赢的机会相等。有一天，他俩各拿出相同金额的钱作为赌注，约定谁先赢到某个（假设是10）盘数，赌注就全部归谁。不料，这时发生了某事，他们必须结束赌局并离开。此时，两个人谁也没赢到10盘，那么这个赌注的钱应该怎么分呢？当然，此时赢得多的人应该相应地拿的赌注多。可是，多少才算是公平呢？

当时有两种说法：

有人提出用按比例来分赌注。比如，当时比分是8 - 5，那么一个拿赌注的8/13,另一个人则拿赌注的5/13；

另外有人对上面的办法提出质疑，如果赌徒要离开时只玩了一盘，比分是1 - 0，那么赢了1盘的人就要拿走全部赌注了啊。很明显是不公平的啊！反驳的同时，这个人也提出了自己的办法，那就是以两人比分的差距和游戏的总盘数的比率来分配赌注。这个办法也不太靠谱，如果是比分65 - 55和 99 - 89的话，分配方式是一样的。可是，65 - 55 的情况中，如果继续玩下去，翻盘的几率很大啊。还是不公平。

后来，费马和帕斯卡通过书信的形式讨论这个问题。他们一致认为，不应该按已经完成的赌局盘数来计算赌注分配，而是应该把目光放在赌局中断时，后面应该继续进行的盘数上。总数10盘的 7 - 5 和总数20盘的 17 - 15，领先的赌徒最终的赢的机会是一样的。所以，已经完成的盘数不重要，重要的是赌徒们如果要最终赢得赌局，需要去完成的盘数。

1. 费马的计算

费马假设：费马和帕斯卡一起玩一个抛硬币的游戏，每一次「头」（head）和「尾」（tail）的机会一样大。两人各出50法郎，凑成一共100法郎做赌注。两人谁先赢10盘，谁就拿走100法郎。抛出的硬币，如果是「头」，就是费马赢，记为「h」；如果是「尾」，就是帕斯卡赢，记为「t」。

当赌局进行到 8 - 7、费马领先的时候，这个赌局因为一些突发状况，必须结束，且两人都要离开。100法郎该怎么分，才算公平呢？费马认为，假设两个赌徒各还需要 r 局和 s 局就能赢得最后赌注，那么赌局还需要进行 r + s - 1 局就能得出胜负。这样的话，每局都有2种可能的结果 —— 费马赢或帕斯卡赢，那就还需要2+3-1=4局才能得出胜负，进而这4局就有2的（2+3-1）次方，也就是16种不同的结果：

费马赢帕斯卡赢 1、hhhh tttt 2、hhht ttth 3、hhth ttht 4、hthh thtt 5、thhh httt 6、tthh 7、thth 8、thht 9、htth 10、htht 11、hhtt

费马赢的情况有11种，那么概率是11/16=68.75%。相应地，最终离开时，费马应该拿100法郎 X 68.75%=68.75法郎。

2. 帕斯卡三角

帕斯卡发现，可以用他发现的「帕斯卡三角」来解「赌注分配问题」。

帕斯卡三角

这个三角形的「塔尖」是一个「1」，这一行称为「0」行。下面依次是1、2、3、4、5、6...行。每一行的左右两边数字都是1，每行里的数字是它上面两个数字之和。我们回到费马和帕斯卡那个抛硬币的赌局里。8 - 7，刚才说了，还需要4盘才能决出胜负。好，我们看上图中的第4行，「1,4,6,4,1」。

这里有一点需要注意的是：费马现在赢了8局，再赢2局就可以赢得整个赌局。那么前两个数字「1,4」就代表了帕斯卡赢的概率；同样的，帕斯卡再赢3局就能赢，那么「6,4,1」则代表了费马赢的概率。前面算过，最后4盘有16种不同的结果，正好是「1+4+6+4+1=16」。费马赢的概率：6+4+1=11，11/16=68.75%。这个结果和费马的一致。

帕斯卡的三角计算法，好处是省事儿。你想想，如果每次计算都像费马那样，把可能的结果一一列出，16个结果还好说，要是数字再大些呢？费马帕斯卡的故事是概率论的起源，在他们互相通信以及著作中建立了概率论的基本原则——数学期望的概念。

在生活中，充满了各种诱惑，人们根据经验和各种心理倾向做决定，从而掉入了很多的陷阱。通过费马帕斯卡系统的学习理解，我们要从认知上明白，事情的实际概率是多少，在有了清晰的认识之后，再做决定将更加理性。

再拿彩票这个事情来举个例子，很多人都觉得自己能中奖，特别是对自选号码情有独钟，这个也是查理芒格提到的人类误判心理学中，自视过高倾向导致的，觉得自己选的就能增加中奖概率，但绝大部分是不可能的，自选的号码和机打号码中奖概率是完全一样。我们使用概率论来分析一下彩票这个事情：

双色球头奖概率：1/17721088 双色球投注号码由6个红色球号码和1个蓝色球号码组成。红色球号码从1-33中选择6个；蓝色球号码从1-16中选择1个。头奖可能性情况：(33×32×31×30×29×28)/(1×2×3×4×5×6)×16=1107568×16=17721088，由此可计算出双色球的中奖概率为1/17721088

大乐透头奖概率：1/21425712 超级大乐透是指由购买者从01—35共35个号码中选取5个号码为前区号码，并从01-12共12个号码中选取2个号码为后区号码组合为一注彩票进行的基本投注。头奖可能性情况：前区=35×34×33×32×31/5×4×3×2×1 =324632，后区=12×11/2=66，由此可计算出超级大乐透的中奖概率为1/324632×66=1/21425712

七乐彩头奖概率：1/2035800 七乐彩采用组合式玩法，从01—30共30个号码中选择7个号码组合为一注投注号码。头奖可能性情况：(30×29×28×27×26×25×24)/(1×2×3×4×5×6×7)=2035800，由此可以计算出七乐彩头奖概率为1/2035800

体彩22选5中奖概率：1/26334 22选5是指从01-22共22个号码中选取5个号码进行的投注，一组5个号码的组合称为一注。头奖可能性情况：(22×21×20×19×18)/(1×2×3×4×5)=26334，由此可以计算出22选5头奖概率为1/26334

从以上概率统计的分析来看，中头奖的几率是非常低的，而且稍微用脑子想想都知道，发行彩票的机构是稳赚不赔的，虽然偶尔有中大奖的出现，凭什么你认为你有这个幸运呢？买彩票中奖只能是狗屎运，跟能力、分析基本是无关的，如果有清晰的头脑，就应该根本不会去碰彩票的事情，因为花掉的钱基本上都是打水漂的。

所有的思维模型，了解其背后原理之后，都需要在生活中来运用，费马帕斯卡系统给我们的启示就是要按照实际的概率去分析和决策，不能凭已有的一些表面现象来理解，或者根据自身的经验直接下结论。正如查理芒格所说的，需要把这些基本的有些不自然的基础数学概率方法，变成我们生活中的一部分，才不会将自己的优势拱手送给别人。

数学之美：杨辉三角(帕斯卡三角)的奇特性质

杨辉三角（也称帕斯卡三角）相信很多人都不陌生，它是一个无限对称的数字金字塔，从顶部的单个1开始，下面一行中的每个数字都是上面两个数字的和。

杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。在欧洲，帕斯卡（1623—-1662）在1654年发现这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的发现比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。