连更常识｜【物理】力学篇4：拉格朗日力学与哈密顿力学

在牛顿力学体系建立之后，拉格朗日、哈密顿等一批数学家对经典力学的数学形式进行了深入的探索，建立了分析力学这一学科。分析力学在牛顿力学定律的基础上，对各种力学系统做了广泛、细致、总结性的研究，不但发展出了一套针对不同适用情景的有力的数学工具，而且其中拉格朗日力学、哈密顿力学等表述形式在日后发展出的统计物理学、量子力学等领域意外得到了十分广泛的应用。可以说，拉格朗日力学、哈密顿力学等理论框架在整个物理学的理论发展中一脉相承。

“没有一张图的力学书”

拉格朗日在完成了他的分析力学著作后，得意地表示这是一本“没有一张图的力学书”。如果说牛顿是从物理哲学的角度建立了力学体系，那拉格朗日则是从数学形式的角度对力学体系做了重新诠释。

拉格朗日力学

在拉格朗日力学体系中，一个力学系统（一个或多个物体）由它的拉格朗日量 L 来表征。力学系统的运动状态由一组广义坐标 q 和广义速度 q' 刻画，它们都是时间 t 的未知函数，是标量。广义坐标可以是位置矢量沿某一方向的分量，可以是沿着一条绳子或曲线的长度，还可以是角度、面积、体积等等。拉格朗日量是以广义坐标、广义速度和时间 t 为变量的函数：L(q, q', t)。常见的拉格朗日量形式是动能减去势能。

• 例1：质点 m 在势场中做一维运动，拉格朗日量为

系统的运动方程为拉格朗日方程（又称欧拉-拉格朗日方程）：

这是一个以 t 为自变量的二阶常微分方程（组）。求解这一方程，便可得到系统的广义坐标随时间的演化 q(t)。

• 例2：例1中系统的拉格朗日运动方程为

与牛顿第二定律给出的运动方程相同。

哈密顿力学

在哈密顿力学中，一个力学系统由它的哈密顿量 H 来表征。力学系统的运动状态由一组广义坐标（又称正则坐标）q 和广义动量（又称正则动量）p 刻画。哈密顿量可以由拉格朗日量导出：拉格朗日量对广义坐标的偏导数即为广义动量，这种把一个变量替换为它的偏导数的数学变换称为勒让得变换。常见的哈密顿量的形式是动能加上势能。

• 例3：质点 m 在势场中做一维运动，哈密顿量为

系统的运动方程为哈密顿方程（又称正则方程）：

这是两组以 t 为自变量，以正则坐标和正则动量为因变量的一阶常微分方程组。求解这一方程组，便可得到系统的正则坐标和正则动量随时间的演化 q(t), p(t)。

• 例4：例3中系统的正则运动方程为

第一个式子给出了牛顿力学中动量的定义式，第二个式子给出了牛顿第二定律的表达式。

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