关于抽象化

首先是一些题外话：最近Stein的《Harmonic Analysis》和GTM 249+250一块儿看。我忍不住说Stein不愧是2个Fields medal的老师，我从来没有看过一本教科书论述得这么清晰，读起来这么舒服的，更何况这是专著。引进definition的时候，告诉你它能做什么，证明之前，告诉你整体的轮廓，讨论一个问题前告诉你下文将采用的研究方法···这实在是最好的处理方式了。 进入今天的主题：想谈一下这个问题，因为我今天想到自己和大一时候对数学的理解，变化几乎是根本性的。一直喜欢讨论一些问题的联系，并且发现这些联系是最使我感到高兴的。08.8的时候刚开始看《教程》，那个时候我预感到了Borel lemma和闭区间上的连续函数有界这两个结论的联系，于是整晚上都致力于这个工作。这个发现，实际上是源于这两个结论的证明方法的。所以我试图统一他们的时候，也是从proof的细节开始入手的。注意到闭区间这个处理对象是相同的，我开始在上面定义一种抽象的性质P，然后添加一些细节上的约束，因为我把有限覆盖性和有界性看成是两种性质。最后记得勉强做完了这个工作，但是严格性自然是不满意的。学数学的第一年我一直用某种直觉加上某些形式推导去处理某些联系。包括PDE中常用的特征函数展开，我并不那样做，我把它分解成可数个变量可分离方程的叠加。对于常用的正交系，显然应该由对应的无限维线性空间理论把它们统一起来，然而对于Sturm-Liouville theory的论述，我所见过的书上都是不合格的。因为试图发现这些联系，我考察了Hilbert空间（当时我不知道这个名词）中的一些线性算子，但是不成功。我也不用Duhamal原理，我用原始地方法求出基本解。最令我不满意的是Fourier series和Fourier transform的联系，没有一本书上深入讨论这个课题，而我又无能为力。事实上，这需要由围绕Pontryajin duality theorem的一整套理论来给出完满的解释，也就是众所周知的Abstract Harmonic Analysis的基本结论，而我直到最近才熟悉这套理论。 那时候我所讨论的这些联系，无论成功与否，都是耗费巨大精力去独自进行几个小时的思考。它们基于一种长时间思考某个问题后注意到的细节，甚至不能称其为洞察力。大多数最初接触数学的人都会有类似的体验，这也是兴趣产生的原因。但是这样做是和现代数学的思想背道而驰的。像Riemann这样的人，甚至在19世纪就已经远远不止是这种思想了。 但是人总要成长，这就是为什么即便是像我这样天资愚钝的人也会最终改变过来。二上的时候，我意识到不能再那样悠闲地看书了，那个学期是效率最高的时候，因为阅读了1400多页的课外书（加上寒假），无一例外是那种严肃的数学。更重要的是baby Rudin。精确地说，这本书的第10章彻底颠覆了我的一些想法。这一章花了5天时间，占到总时间的1/3了。因为一开始不理解，后来觉得太美了，所以细致地整理了笔记和一些习题。这无疑是基于E. Cartan引进的外微分技术所做的一个构建体系的典范。大家熟悉的曲线积分，曲面积分，n重积分都被统一起来了。整章的核心，毫无疑问是关于k阶微分形式积分的那个定义，这个定义也凝聚着这个工作全部的思想。因为我们的目的是寻求各种积分的联系，本质上我们关心的是这些形式的联系，那么我们给出一个包含这些形式的定义也就解决了问题，下面产生的主要结果：Stokes theorem（the fundamental theorem of Calculus）当然是我们需要的最广泛的结果。一个自然的思维误区，是从这些积分的计算公式的推导开始考察，因为很多教科书上倾向于给它们一个依赖于和的极限的更原始的定义。然而实际上，这样的处理是极其有害的，因为如果我们的着眼点是理论，我们真正想知道的是各种积分在做什么（形式），而不是它们的这种做法是为了什么（几何意义）。我想，这里用what they are doing和what they are doing for这两个短语代替中文是更清晰的。 这个简单的monograph使我第一次体会到抽象化的威力。在此之前，我是一个很喜欢图的人。从此之后，我再也不想在任何一本数学书里看到图了。 机缘巧合，接下来我对mathematical logic产生了长期的兴趣。尽管我一度幻想自己的余生会致力于CH，但我后来意识到应该在更容易产出的领域工作，因为这样能够创造跟多有价值的东西。所以仅仅是业余的爱好而已，连UTM也没看完，看完了Godel‘s proof。Godel’s 1931 paper翻译了一大半，后来觉得没意思就不干了。但是这种爱好至少让我知道证明是什么，同时巩固了自己那种对于抽象化的倾向。 抽象化的例子是越来越多的，随口便能说上一大串，Lebesgue integration，topological space，comapct set，Banach space，包括最近看的Weil theory。当例子增加的时候，你就会去思考它们的分类。就我个人的观点来说，倾向于分成两类。考虑到我对于Rudin先生著作的喜爱以及为了缅怀他，我想用他在big Rudin里的两句话来阐述这个分类，这个分类是基于目的性的。 1.从而，当这种处理方式十分抽象时,这些概念之间的关系就显得最清楚不过了. 简单地说，去掉非必要的性质使自己看清对象间的联系和理论的本质。 现在考虑Riesz表示定理（正泛函的那个version）的证明，它的证明是在locally compact Hausdorff space上展开的，因为这上面能最好地表述Urysohn lemma。如果我们在n-dimensionl Euclidean space上证明，容易对于上面的度量，正交性，坐标等非拓扑性质考虑得太多而陷入误区。 2.由于正交性是一种颇为特殊的东西, Hilbert空间理论因而并不总是适合的,所有Banach空间的类却提供了更大的灵活性. 这种作为灵活性的抽象，可以很好地适应具体问题。让我们考虑C(T)，T是紧集上Fourier级数的a.e.收敛性。尽管C(T)在Hilbert空间L^2中稠密，但是考虑到这个范数没办法适应a.e.收敛性的讨论，Hilbert空间理论是不适用的。现在注意到C(T)自然地是Banach空间，并且赋予了上确范数，因此是讨论的最好环境。最后的结果是在T的一个稠密子集上发散，这是Banach和Steinhaus在一篇论文里证明的。但是由Carleson-Hunt theorem（这个定理见GTM 250 Chapter 11），这个稠密子集的测度是0。 如果愿意的话，甚至可以想象成Banach空间提供了一系列平行于Hilbert空间的结构，从而能轻易从中找到一个是适合讨论的。 总结一下：第一种抽象化的目标是数学的本质与联系，第二种抽象化的目标是数学环境。实际上对于第二种，Gelfand theory是更好的例子，但是它不初等，就不分析了。 从上述初等的例子中就可以看出抽象化这个思想的美妙之处。它是如此简洁而本质，又是如此实用。在这样一个时代，没有什么理由不接受这样美妙的事物，实际上，已经不能算是新鲜事物了。但是，这个思想可能是本质的。Grothendieck的工作，我当然不清楚，但是从传记里了解来看，他的纲领是把数学用最抽象的语言来叙述。这种抽象化，把困难都转移到构建体系的过程中去，证明就会变得简单。因为影响思考的细节都去掉了，数学证明会用一系列简单而自然的步骤来完成。 因此，我毫不隐晦地说，这两年的数学都可以不学，但产生对于抽象化的追求是本质的改变。组里的一个问题使我对于这一点的的意识完全苏醒。这个问题是：complex analysis和multivariable calculus的联系。事实上，我在半年以前思考过这个问题，任何一个学复分析的人都会思考。我现在想起在那个时候我不再坐在书桌前冥思苦想几小时了。我选择出去散步，散步的时候我在思考一个更浪漫的问题：Calculus这个理论想要展开，空间应该满足怎样的要求呢？给定两个集合E和F，现在要处理的对象是E到F之间的map。积分是好办的，只要考虑E，它作为集族具有sigma-ring的代数结构就行了，和拓扑没有关系。微分更复杂，极限过程要求E和F是metric space，常见的metric是norm诱导的，norm需要E和F有线性空间的结构。那么，不过分着眼于一般性的话，Calculus完全可以在Banach space上处理的。当我们在Banach space上操作时，所建立的理论，显然是能够统一R^2上的分析和C上的分析的某些结果的。那么这个揭示联系的工作也就随着这样一个问题的思考完成了。直到几周之后我发现了H. Cartan的《微分学》，完全证实了自己的想法。 这让我兴奋了好几天，因为我不再像从前那样笨拙地寻找联系，而是用抽象化去寻找。轻松而且浪漫，这种感觉，可能是数学带给初学者最好的礼物了。 一些附加的效果是，从前很排斥代数和算术，但是现在变得很渴望，尽管近期都被Harmonic Analysis占据了，但是我隐隐预感到某些更加美妙的东西正在等待着自己。另一个想法是：关于教学，分析能直接从baby Rudin开始的话，就从它开始，尽管对于第一年的学生会有点辛苦。但是一开始确立正确的思维总比经历漫长的改变要好。然后是Banach空间上的微分学，然后是微分几何。这两门课程，法国是在大二和大三讲的。可是这边的大二学生，还完全不知道什么是Banach空间，这是可笑的。这又直接导致微分几何课程限制在一个很低的观点上处理，甚至比法国的微分学课程还要简单。 代数！抽象代数一定要早讲，要讲满一年，要讲Galois theory和representation theory！我觉得自己没有早点学抽象代数吃亏太大了··· 苏联式的教学法是完全没有出路的，他们的教学致力于让更多的学生产生畏惧心理从而更早离开这个美妙的领域。你看看他们领先的那些分支，很少有主流的。 希望大家自学的时候不要重蹈我的覆辙。 用P. R. Halmos的一句话作为结束吧：It is a mathematical truism, however, that the more generally a theorem applies, the less deep it is. >只看 >高亮 >忽略 >复原 >直播模式 >电梯助手 已收藏 35人推荐 推荐 eulen 1楼 2010-10-26 11:02:32 eulen (好吧我承認哥是個重*口味怪蜀黍) 关于教学，分析能直接从baby Rudin开始的话，就从它开始，尽管对于第一年的学生会有点辛苦。但是一开始确立正确的思维总比经历漫长的改变要好。然后是Banach空间上的微分学，然后是微分几何。这两门课程，法国是在大二和大三讲的。可是这边的大二学生，还完全不知道什么是Banach空间，这是可笑的。这又直接导致微分几何课程限制在一个很低的观点上处理，甚至比法国的微分学课程还要简单。 代数！抽象代数一定要早讲，要讲满一年，要讲Galois theory和representation theory！我觉得自己没有早点学抽象代数吃亏太大了··· 苏联式的教学法是完全没有出路的，他们的教学致力于让更多的学生产生畏惧心理从而更早离开这个美妙的领域。你看看他们领先的那些分支，很少有主流的。 =========================== 陳天權就是這個思路，但是他的教材也就能在北大用。。。 或許每個學校有個別愛學之人，但大部份學生都是混碗飯吃，何必擠兌人家。。。 上學，特別是大學，本來就是自己的事兒，學成啥樣都是自己負責~ 教材什麽的都是浮雲，學得好的誰不是泡圖書館看過N本書？ 當你要求每一個都是某種學法的時候，這本身就變成了另一種專制~ 還有一點，關於Stokes公式的證明~歷史上觀點，很不幸被你言中了。就是先從積分形式推導出來，才看清他的幾何意義的~你要知道Euler早先的文章看起來都是基本的公式搞來搞去~但是真正深邃的思想就蘊含其中~ 對於教學來講，一般的分析書是不會講，或者只是一筆帶過，微分形式的Stokes公式的。所以指望能講清楚他的幾何意義是不可能的。所謂講明白也只是科普的講，而不是嚴格的講。 從效果上講法國的那套講法並沒有比俄國人的好哪去。。。只不過79之前國內全盤俄國人+法國，之後的潮流又反過來全盤米國人，批判法國太抽，俄國繁重。忽左忽右似乎成了中國人的傳統~ 反正俄國人的扎實，法國人的抽象，米國的又很飄~我個人還是很偏向Arnold的觀點的，直觀很重要，非常的重要~但是沒了抽象也就不是數學了~所以我堅信對比著兩種風格看還有些裨益的~ 畢竟我們每天都在抽象的文字中徘徊，爲了不迷失方向，終究還是要冒出頭來直觀一會兒的~ 個人觀點，僅供參考，謝謝~ >回 引只 亮 略 原 2楼 2010-10-26 12:05:06 [已注销] 谢谢eulen。我是那种理想主义者，眼睛里容不得沙子，自己坚持的东西，也会去要求别人。但是追求功利和生存，还是精神上的完美，还是有优劣之分的。前者会因为过分自私而伤害到别人，而后者却可以做到清白和坦然。 有些伤害甚至是没法察觉的。比如作为一个教师，看似神圣，却在应试体制之下伤害着同学的快乐和青春···即使是尽量表现得善良而本分也是这样。 我不愿意自己做出任何细微的伤害别人的事情，尽管有时会事与愿违，但是性格就是这样。 混口饭吃当然没错，但是大多数职业还是会避免不了良心上的谴责。有些谎言是阴暗的，有些奉承是令人恶心的··· 从小到现在一直没有改变这些想法，每个人都有每个人所珍视的东西，哪怕为此颠沛流离，甚至为此做不了数学。 >回 引只 亮 略 原 Strongart 3楼 2010-10-26 13:33:32 Strongart (网络哲学家与宅男大学教授) 等你什么时候讲讲读Stein的心得体会啊~ >回 引只 亮 略 原 eulen 4楼 2010-10-26 13:53:06 eulen (好吧我承認哥是個重*口味怪蜀黍) 極端的理想主義者與極端的現實主義者只有一線之隔~ 自己怎麼做是一回事兒，別人如何是另一回事兒~ 子曰：己所不欲勿施於人。 其實反過來：己之所欲也勿強加於人~ 人都有各自的活法，國家大義，科學真理，歷史哲學，商海沉浮不過都是浮雲！浮雲！ 並不因為做了數學，或者自然科學就比作別的事情的人高貴~ 人這輩子要瞭解的事兒太多，很多事兒覺得不合理並不是因為他不合理，而是因為自己不瞭解~“大多數職業免不了良心上的譴責”？不知道你這個結論哪裡來的。報紙，BBS？你認識多少從事別的職業的人？那些職業真的做了很多“不合理”的事兒嗎？事例有多少，中全行業比重又是多少？下結論總是簡單的，求證卻總是異常艱難。 真要改變那些“不合理”事件不是吾等凡人可以為之的。 知道太多不是啥好事兒。 所以還是老老實實的看自己的書吧，牢騷就免了，耽誤你時間的。 >回 引只 亮 略 原 knight_stalker 5楼 2010-10-26 18:30:08 knight_stalker (我摘了耳机,你却戴了头套!) 图什么的真讨厌呢 拉格朗日也在他的分析力学里得意的写： The reader will find no figures in this work. The methods which I set forth do not require either constructions or geometrical or mechanical reasonings: but only algebraic operations, subject to a regular and uniform rule of procedure. >回 引只 亮 略 原 序 6楼 2010-10-26 19:00:35 序 回复楼上，拉那本书不用图，炫耀的成分多余实用，况且你不知道他是否在脑子里画了草图。我很赞同阿诺德的观点。 >回 引只 亮 略 原 喜爱小田 7楼 2010-10-26 20:23:11 喜爱小田 你好，作为一个工科的研究生，我越来越感觉到数学的重要性，最近打算学一下俄罗斯数学家卓里奇的数学分析。看了你的几篇大论，发现你很推崇Rudin，我想请教一下你觉得卓里奇的侧重点和Rudin的哪个更适合非数学专业的学生呢？ >回 引只 亮 略 原 8楼 2010-10-26 20:30:55 [已注销] 哎呦喂，LS高抬我啦，我这水平不配人请教的。 Zorich的书很好啊，观点现代，也很扎实。Rudin使用编排去写作的人，读过他的书就知道他的英文不是很好的。他的书里一般只有essential的东西，强调的是对整个学科一种整体性的把握。 工科生还是看Zorich。有英文版的，找找看。这两年的读书经验告诉我：千万别读中文版，浪费时间。 >回 引只 亮 略 原 喜爱小田 9楼 2010-10-26 20:38:31 喜爱小田 呵呵，谢谢你的意见！ >回 引只 亮 略 原 楚天舒 10楼 2010-10-26 21:37:13 楚天舒 我觉得对工科生，补习代数可能更优先。 >回 引只 亮 略 原 喜爱小田 11楼 2010-10-26 22:08:29 喜爱小田 对，需要一些工程数学类的，线性代数、矩阵论、微分方程数值解，不过那些都是为计算服务的。我是想增加一些数学修养，提升一下层次，建立些数学思想。我本人也比较喜欢数学，若能亲自把一些先进的数学理论引入工程，我会非常享受 >回 引只 亮 略 原 浴火重生 12楼 2010-10-29 00:10:27 浴火重生 (花开堪折直须折，莫待无花空折枝) 工科的，我感觉柯朗的或许更适合 >回 引只 亮 略 原 13楼 2010-10-29 00:21:36 [已注销] 想起来一本书《重温微积分》，也许有用？ >回 引只 亮 略 原 mathitme 14楼 2010-10-29 00:22:36 mathitme (准备开始突破) 楼主你好，其实我想问问，那1400页是些什么？我正好是二上，虽然有点自己的计划，但很想了解一下过来人的经历和建议。另外，嘉当的微分学是不是讲泛函分析，如果是的话是不是大二看有点早？分析这一块我刚开始看stein的傅里叶导论，以前看过apostal的分析。这学期学校在开常微和抽代。最近也找了本微分几何的书（by Shigeyuki Morita），看了一点儿，不谦虚的说能看明白。语无伦次了半天就是想问问楼主这么些分支大体的流程或者依赖啥的，或者具体点的建议：先读什么书，然后是什么。多谢啦！ >回 引只 亮 略 原 15楼 2010-10-29 00:35:01 [已注销] 1400页是baby Rudin，施利亚耶夫的《probability》（看到Kolmogorov的公理化），《代数学引论》第一卷，菲赫金戈尔茨的教程（第2卷看完，第3卷一部分），一点数论···比较杂。 实际上受用的就是baby Rudin啦！ Cartan的《微分学》文章里说的清楚，主要处理Banach空间中的微分和微分方程，还有微分形式以及变分学和他老子的那个活动标架法。这个书可能有点早，因为它默认了你知道Banach空间的一些基本拓扑性质。可以先看big Rudin。 流程么···如果要学代数，就找本含有Galois theory和Lie groups的书读。如果是分析，就看Rudin的书呗，然后就可以读一点专著。在GTM里找找喜欢的话题···现在几何和数论远比纯分析流行···