fvm与fvc及说开来的离散化数学基础
来自：闻久(孩儿立志出乡关，学不成名誓不还)
随着求解器构建的深入，许多不够扎实的代码和数学基础逐渐暴露出来，需要时常地回顾一下。本着“用到什么学什么”的原则，就不再系统性地回顾了。
OF代码
以连续性方程为例
1.fvc: finite volume calculus
fvc本应是一个class，但是在openfoam里被声明成了一个命名空间namespace，因为fvc不需要有自己的数据成员，都是成员函数。这些函数显式地对volScalarField, volVectorField, volTensorField进行操作，映射结果返回仍是场量。
2. fvm: finit volume method
fvm则是返回一个矩阵fvMatrix，需要将场离散化为线性代数方程组。而fvMatrixScalar和fvMatrixVector两种数据类型，都挂着矩阵的名义，却分成了标量和矢量。
经过查问，我得到了这么一个解释
在OF中，耦合方程组地处理都是采用“分离算法”，即便建立方程的时候，我们可以采用矢量表达，但是真正求解的时候，OF却将矢量分为各个分量方程，再线性处理，逐个求解。而我们以数学思维来处理的时候，一般都是写成矢量方程。
3. ddt
时间项，对时间求偏导
4. div
对流项，分别对xyz求偏导
路径case/system/fvSchemes有格式选择
可以定义控制方程中的离散格式
数学基础
更深一些，要说到离散化和差分方程，以及显式/隐式等数学概念
1. 离散化
有许多角度来解释什么是离散化：
（1）把无限空间中有限的个体映射到有限的空间中去，以此提高算法的时空效率（有限差分/有限体积/有限元）
（2）离散化实质是用另外一个类似的表达式来近似（动词）连续封闭的数学表达式（如微分方程），连续特征和离散特征
离散化可分为有限差分、有限体积、有限元三种，而我们计算流体力学则用的是有限体积法，可以理为积分形式方程的离散化，一般是体积积分
从知乎@兔子牙齐不齐 专栏文章获得启发，总结地很接地气，但应该主要是面向deep learning来说的，仅摘抄cfd用得到的留存。本人在将来应该也会适度参与cfd solver的deep learning吧，很期待
在实现某些算法时，只看到结论说有的连续特征需要离散化，离散化后效果会更好，但是为什么要离散化还一直是云里雾里，今天特意研究了一下，记录如下：
a.离散特征的增加和减少都很容易，易于模型的快速迭代；
b.稀疏向量内积乘法运算速度快，计算结果方便存储，容易扩展；
c. 离散化后的特征对异常数据有很强的鲁棒性；
模型是使用离散特征还是连续特征，其实是一个“海量离散特征+简单模型” 同 “少量连续特征+复杂模型”的权衡。既可以离散化用线性模型，也可以用连续特征加深度学习。
2. 差分
原函数 f(x) 映射到 f(x+a)-f(x+b)上
分类：一阶差分/二阶差分
近似：泰勒展开法/多项式逼近法
格式精度：常数/线性/乘法定则/除法定则/级数
迎风（差分）格式：尽可能多利用上游信息构造差分格式（上游是依赖区）
3. 显/隐式
CFD的差分方法可以分为两种：
显式格式
显式格式中每一个差分方程只包含一个未知数。方程和代码简单，如果超过某个值（即超出稳定性条件的限制），计算就会发散。
隐式格式
隐式格式的方程并非彼此独立，相互耦合。但是方程和代码较为复杂，瞬态追踪不如显式精确。
4. 时空离散
以我的理解，将基本分为 xyzt 四维，xyz为空间，t为时间
独立离散：即时空导数独立离散，分两步方程
耦合离散：即时空耦合，一步偏导方程，cfd一般都用这个
例如连续性方程的 LHS fvm::ddt(rho) + fvc::div(phi) 即为耦合离散
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