关于高维空间中laplace算子的理解。初学数学分析真心求教。

最近开始学习pde了，学校用的是Lawrence C. Evans的书。前面讲的pde几乎都是和laplace算子有关的。麻xn教授讲这个算子在很多自然科学领域都很重要。在学电磁学的时候确实有体会。之前在豆瓣里看到一篇文章里面讲陈省身说过遇到微分要继续微分，考虑一个函数用Laplace作用之后的性质。wiki了一下这个算子，貌似确实很重要。 关于这个算子，我当然知道在一维情况下，描述的是函数曲线的凸凹程度。但是一到高维，顿感自己空间想象力匮乏。(真是弱爆了。。。) 但是在高维情况下如何呢？假设它也是用来描述凸凹程度的。如果是考虑描述一个高维曲面的凸凹情况（设这个函数用u(x1,x2,...,xn)表示），我们也许可以对每一个xi求二阶偏导，然后构成一个n维向量，用这个n维向量来描述。而实际上Laplace算子是把这些二阶偏导加起来的。 而且假如它确实是用来描述曲面凹凸程度的话，我找来一个调和函数马鞍面的例子看了看。从几何直观上感觉不出来它的凸凹性到底是什么样子。可能是我理解力和空间想象力太差了。 这个算子到底是用来描述什么东西的？如果是描述凸凹程度话，为什么可以写成这样的形式？ wiki了一下，貌似没有解决我的疑惑。或许应该找本微分几何好好学学，可是最近实在是木有时间啊！！！ p.s.最近的学习感受。这个学期数分三学到微分形式，场论部分，前半个学期在学ode，刚刚开始学习pde。通过这段时间以上内容的学习，忽然发现自己的多元微积分部分学的实在不好，第一次学的时候光注意记住公式了，但是并没有关注这些公式在空间中的几何意义，很多东西理解起来不直观。比如我初学时，对于多元微积分中的微分换元公式理解只停留在这个公式表面，最近才明白过来Jacobi矩阵描述的是曲面的切空间中的一个线性变换。诶，之前学习太不认真了。