《阿基里斯追乌龟悖论试解》潜无穷与实无穷的区别
来自：hanyupinyin
芝诺对阿基里斯追乌龟事件推理的结论是阿基里斯永远也追不上乌龟。推理中的“不停”、“永远”是指时间无限长。人们用常识可以判断出阿基里斯可以追上乌龟，追上乌龟所用的距离、时间也可以用算数算出〔1〕。芝诺在论述他的阿基里斯追不上乌龟理论时把阿基里斯追上乌龟所用的那段距离分为了无限多份，也是把阿基里斯追上乌龟所用的那段时间分为了无限多份，那么有限长的无限份时间怎么转换成为了时间无限长呢？“芝诺让阿基里斯追乌龟的过程在他制造出的无穷多个起点中进行”，这一作法是为让人逐个地数阿基里斯与乌龟间的起点，在人的思维中有“数一个数要消耗一段时间”的（潜）意识，人们知道数一份距离要消耗一段时间，在有限时间内不能数完无限多的点，数不完潜无穷集元素个数，这样总长是有限的不需一一清点的无限份距离、无限份时间，如果被逐个清点每份，就要需耗时无限长，这就得出了阿基里斯永远也追不上乌龟结论。 之诺悖论的逻辑错误是偷换概念，把实无穷替换为潜无穷〔2〕，违反同一律。芝诺悖论可以不是悖论。
参考与拟定义
〔1〕芝诺第二论也涉及一个几何级数，为具体起见，设阿基里斯以每分钟100英尺的速度前进，乌龟则以每分钟1英尺的速度前进，设乌龟在阿基里斯前990英尺，问阿基里斯需要多少时间才能追上乌龟？芝诺说：永远不可能，而“常识”告诉我们，阿基里斯每分钟赶上龟99英尺，原有990英尺的距离10分钟之后完全赶上了。《数：科学的语言》 【美】丹齐克著 苏仲湘 译 上海教育出版社 p122
〔2〕实无穷：指那些完全可以确定的但包含的个体总量并非有穷的实体，如自然数全体、有理数全体、实数全体、复数全体等。 潜无穷：指那些不会在有限步内终结或完成的过程，如生成一个无穷序列、得出一个无穷级数、定义一个无穷分割等，这些过程中间的每一步之后总可以有紧接着的下一步，不会在有限步内完成。比较起来，实无穷表述的是存在的总体；潜无穷表述的是存在的局部。潜无穷依赖于实无穷。 《数学大辞典》 王元 科学出版社
也可从另一个角度观察、定义潜无穷与实无穷。 “潜无穷”是让无穷集中的每个元素与一段非无限小量的有限时间对应，无穷集的所有元素在有限时间内不能完成与非趋近无限小有限时段的对应。如，一尺之捶，日截其半，万世不竭。潜无穷中的元素不能被数尽。
“实无穷”是让无穷集中的所有元素与一段非趋近无限大的有限时间对应，如同让一个点（一只虫）在数轴上从0向1移动，只要这个点移动的速度大于无限小量，这个点（虫）一定会在有限时间内经过0与1之间无穷多的、所有的点，“数”完无穷多的点。一尺之捶，虫行其上，穷其“不竭”。实无穷中的元素可以被数尽。
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