浅析反证法和归谬法的区别

作者：王世东杨毕康 摘要：反证法和归谬法都用充分条件假言推理的否定后件式，因此人们容易混淆两者的区别，在经典逻辑基础上，反证法的证明能力强于归谬法，它们中间相差一个双重否定律。归谬法的逻辑依据是矛盾律，反证法的逻辑依据是矛盾律和排中律。 关键词：反证法；归谬法；矛盾律；排中律。 反证法和归谬法是逻辑思维活动中常用的证明方法。当前提条件较少，人们在直接证明某个论题感到比较困难或者推理过程十分复杂的情况下，往往会转而求助于反证法或归谬法，从而可以化繁为简、化难为易。从理论上说，任何一个可证的命题都能用反证法和归谬法得到证明，只不过在相当多的场合没有必要这样做罢了。 反证法和归谬法在证明中的作用是明显的，但它们实质上究竟是一种证明方法还是两种证明方法，不同的书有不同的论述。一些逻辑书中有“反证法即归谬法”的说法。如果这些书是在同义词的意义上使用“反证法” 和“归谬法”两个术语，那么这种说法是无可指责的。从逻辑证明上看，这两种方法都用充分条件假言推理的否定后件式以及矛盾律，所以存在着一定的相似性。但它们也存在着一定的差别，如在反证法中假设了矛盾论题，运用了矛盾律、排中律，而在归谬法中却没有矛盾论题的假设，只运用了矛盾律，所以它们并不是两种完全相同的间接证明的方法。 一、反证法 我们通过优孟谏楚庄王葬马的故事来介绍这一方法。楚庄王养的一匹爱马死了，他十分痛心，命令群臣用大夫等级的礼节来埋葬这匹马。大臣们说不能这样做。楚庄王非常生气，下令：“有敢以马谏者，罪致死。”优孟听说此事后，去见楚庄王。要求以君王之礼来葬这匹马，并叫上各诸侯国，以便好让各诸侯都知道大王贱人而贵马的事。楚庄王听了，羞愧满面，如梦初醒。 优孟谏楚庄王所用的就是反证法。他意欲向楚庄王论证论题：“不该用重礼葬马”。为了论证这个论题，他先提出一个反论题：“该用重礼葬马”。从这一反论题引出的判断是：各诸侯都知道“大王贱人而贵马”。而这种结果对楚庄王来说是十分危险的，所以这个反论题为假。既然“该用重礼葬马为假”，那么“不该用重礼葬马”就为真的了。 《逻辑学大辞典》对反证法的解释是：“亦称逆证。通过确立与论题相矛盾的命题（即反论题）的虚假来确立论题的真实性的间接论证。反证法的论证过程是：论题p，设立反论题非p。确立反论题非p假，根据排中律，非p假，所以p真。”反证法的具体步骤是：要论证论题真，则先假定其反论题为真；然后由反论题推出应该产生的结果，而这个结果虚假，与事实矛盾；然后根据充分条件假言推理的规则，由后件假则前件必假，推知产生虚假结果的反论题必假。再根据排中律，由反论题假推出论题真。 反证法的逻辑结构是： 求证：P真。 证明过程：设立反论题非P；如果非P真，则Q真；而Q是假的；并非Q并且非Q（根据矛盾律）；所以非P是假的；所以P是真的（根据排中律）。 在进行反证中，只有与论题相矛盾的命题才能作为反论题，论题的反对命题是不能作为反论题的。为了使论题的真实性得到论证，重要的一环是确定反论题的虚假。为此通常采用归谬法。 二、归谬法 为了更直观的区分这两种证明方法，先从一个故事说起。据冯梦龙《古今笑史·塞语部》记载：东汉南昌人徐孺子十一岁的时候，有一次同太原人郭林宗出游，游毕回到郭家时，因郭宅庭中有一树，郭欲将树伐去。郭伐树的理由是：“为宅之法，正如方口，口中有木，困字不详。”徐孺子对此进行了反驳。如果宅中有树，有不详的“困”字，就要把树砍去的话，那么“为宅之法，正如方口，口中有人，囚字何殊？” 意思是：如果因“困”字不祥要砍树，岂不是要因为“囚”字不祥而把家中人杀掉吗？徐孺子对郭林宗砍树理由的反驳不是通过正面说理来进行，也不是以事实来说服郭林宗，而是顺着郭林宗的思路，以郭林宗的逻辑引出荒谬，说服郭林宗不要砍树。这个反驳就是一个归谬反驳的过程，运用的是逻辑上的归谬反驳法。 《逻辑学大辞典》对归谬法的解释是：“通过从一个命题导出荒谬的结论而否定该命题的一种方法。”归谬法的逻辑根据是充分条件假言推理的否定后件式。形式是：如果p，那么q；非q，所以非p。推断的谬误包括三种情况：（1）推断是与实际不符或与已知真理相悖的假命题；（2）推断可以导出两个自相矛盾的命题；（3）推断与其所由导出的假命题相矛盾。 归谬法的逻辑结构是： 求证P假： 证明过程：假设P真；如果P真，则Q真；而Q是假的；并非Q并且非Q（根据矛盾律）；所以P也是假的。 归谬法是一种直接反驳的方法，即由所反驳的命题直接推出蕴涵其中的假命题，从而直接断定被反驳的命题的虚假。它的特点是：先假设需要反驳的思想是真的（以退为进），再以假设为真的思想作为一个充分条件假言判断的前件，通过这个前件引出一个显然是错误的后件（引出荒谬）。按照充分条件假言推理否定后件就要否定前件的规则，要否定错误的后件就必须否定假设为真的前件，从而证明假设为真的思想是不成立的、错误的，从而达到以谬制谬的目的。 三、反证法与归谬法的区别 这两种证明方法的确很相似，都是用充分条件假言推理的否定后件式，在证明过程中都引进了一个新的前提，都利用了推出矛盾的方法，等等。但是，这两种证明方法并不因为它们之间的这种相似性就变成了同一种证明方法。它们的不同，除了表面的以外，还有更深层的逻辑上的不同。正因为这两种证明方法在逻辑上的不同，我们才认为它们是两种不同的证明方法。 反证法与归谬法实质性的区别是逻辑形式的不同，由此产生了语言表达形式上的差异。在现代命题逻辑的公理系统中，刻画这两种证明方法的逻辑结构是如下两个公式： Ⅰ（～A→B)→[(～A→～B)→A] Ⅱ （A→B）→[A→～B→～A] 这两个公式分别称为反证律（law of indirect proof）与归谬律（law of reduction to absurdity）。在自然推理系统中，表现为如下两条推理规则： Ⅰ 如果∑，～A断定B，并且∑，～A断定～B，则∑断定A。 Ⅱ 如果∑，A断定B，并且∑，A断定～B，则∑断定～A 反证律与归谬律尽管在形式上非常相近，但它们的证明能力实际上是存在差异的。通过逻辑证明，可以说明反证律的证明能力比归谬律的证明能力强。在正命题逻辑系统中若加上反证律，则可以证明归谬律和双重否定律。所以反证律和归谬律之间相差一个双重否定律。逻辑研究表明：在构造公理系统时，如果其他公理相同，那么，把Ⅰ选作公理和把Ⅱ选作公理所得到的公理系统是不同的。在有Ⅱ为公理的系统中的定理都是有Ⅰ为公理的系统中的定理。反之，则不然。 反证法假设矛盾论题，而归谬法不假设矛盾论题，这是两者在逻辑形式上的根本区别。反证法在证明时所假设的前提是与论题相矛盾的论题，论题的反对命题是不能作为反论题的，它所要证明的是命题的否定，即：如果我们要证明A，则假设非A。反证法论题的实质是通过矛盾转化而达到解决问题的目的。 归谬法在证明时并不假设矛盾论题，它所假设的前提是所反驳的论题为真，即：如果我们要反驳A（即证明非A），则假设A，而不是非（非A）。严格来说，这似乎不应看作是所要证明的命题的否定，而只能看作是与所要证明的命题具有反对关系的命题。从逻辑上看，非A的否定是非（非A）而不是A。作这种区分并不是无意义的。因为在逻辑上非（非A）与A等值与否是要证明的。而在不同的逻辑系统中，证明的结果可能是不同的。如在古典系统中非（非A）与A等值，但是在直觉主义逻辑系统中，非（非A）与A并不等值。在反证法中，由于假设了矛盾论题，运用充分条件假言推理的否定后件式，我们得到非（非A），再根据双重否定律，进行的是否定削去。而归谬法，由于没有假设矛盾论题，根据充分条件假言推理否定后件就要否定前件，进行的是否定引入。 由于反证法最后进行的是否定削去，而归谬法最后进行的是否定引入，反映在语义方面就是：反证法所证明的是一个命题的真，而归谬法所证明的是一个命题的假。正是由于这个语义上的差别，人们在逻辑思维中对反证法和归谬法有不同的应用。反证法常常用于所谓论证，是一个证明的方法，目的在于确定一个命题为真；而归谬法则通常用于所谓反驳，是反驳的方法目的在于确定一个命题为假。 对于归谬法来说，当它假设了某一命题为真而导致矛盾时，否定该命题为真从而断定它为假是不言而喻的。但是对于反证法来说当我们假设了某一命题的否定为真而导致矛盾时，我们所能直接断定的只是这一否定命题（即假设）为假，而从断定假设为假到断定所要证明的命题为真，这中间有一个思维上的跳跃。在古典逻辑中，这个跳跃由于排中律而沟通了。排中律对逻辑思维的要求是：在同一思维过程中，对于两个互相矛盾的思想不能同时加以否定，必须承认其中有一个是真的，如果违反了这一要求，就要犯“两不可”的逻辑错误。但是对于一个不承认排中律的人来说，他完全可以追问：为什么一个命题的否定为假，该命题就一定为真呢？显然，如果不承认排中律，则反证法就不能成立。一般认为归谬法的逻辑依据是矛盾律，而反证法的逻辑依据是矛盾律和排中律。 由于反证法和归谬法在逻辑语形和语义上的不同使得我们认为它们是两种不同的证明方法。当然，这两种方法之间的联系也是存在的，这就是：凡是使用反证法的地方都必定用到了归谬法的程序。这也并不奇怪，因为反证法本来就比归谬法强。只有充分认识到这两者的联系与区别，才能使我们对各种论断的论证具有科学性和说服力。【资料来源：重庆科技学院学报（社会科学版） 2010年第3期】