波斯公主

文/点名时间何峰 === 大学时的一道数学题 === 我大学的专业是数学。有一次，教授给出了《波斯公主选驸马》题「1」，如下： 波斯公主到了适婚年龄，要选驸马。候选男子100名，都是公主没有见过的。百人以随机顺序，从公主面前逐一经过。每当一位男子在公主面前经过时，公主要么选他为驸马，要么不选。如果选他，其余那些还没有登场的男子就都遣散回家，选驸马的活动也 over 了。如果不选，当下这名男子就离开，也就是 pass 掉此人，下一人登场。被pass 掉的，公主不可以反悔再从选。规则是，公主必须在这百人中选出一人做驸马，也就是说，如果前99人公主都看不中的话，她必须选择第100名男子为驸马，不管他有多么丑陋。 任务是，给公主设计选择方法，让她有最高概率选到百人中最英俊的男子为驸马。 说明一点是，没有任何选择方法能够保证公主一定选择到最帅的帅哥。对于任何选择方法，总存在某些出场的顺序，让公主与帅哥错过。所以，题目所问的，不是必胜的选法（因为不存在），而是概率最高的选法。 因为并不是要讨论数学，我这里就直接给出答案了：最佳选法是 pass 掉最开始的 100/e 名男子（e = 2.718… 是自然对数，即 100/e 约等于 37）。但是记录下这 37 名男子中最英俊者。之后鱼贯而来的男子中，出现的第一位英俊程度超越所有前 37 人者，即为驸马。如果人都走光了，也没出现这么一位 Mr. Right，那么就只好选择第 100 位男子。 这个最佳选法，后面有很有意思的数学推导。感兴趣的话，可见注「2」。 === 正解后面的思考方法 === 数学的推论且不论，这个答案背后是一个可为广泛应用的思考方法。公主选择的难处在于她不知道这百人的英俊程度是怎样分布的，是在怎样一个范围内。所以她最佳的策略是，pass 掉最初 37 位男子，但是把他们看成一个有代表性的 sample，从而了解这百人相貌的大致分布。然后在这个认知的基础上进行选择。 真实的谈情说爱当然不是一个简单的选美。普通人也不能像波斯贵族那样要谁有谁。但是思维方法共通。假如你是一位女生，第一次恋爱的时候，也许你觉得男朋友不够细腻，不解风情。但你无法判断的是，是否天下男生大多如此，还是你特别倒霉碰到这样的极品「3」。你唯有试过三个五个后，才能够对男性这个物种有个全局的判断。所以，当你和第一任男朋友分手后，大可不必悲天悯人，亦或对天下男人失望。正确的态度是：okay，我现在有一个 data point, 现在我来找些更多的 data points「4」。 === 花多长时间学习？ === 找到多少 data points 才够呢？换句话说我们学习到什么时候才能够信任自己对世界的判断？以下这个小故事中，我们可以看出大自然是怎么解决这个问题的。 1944年冬天，二战进入尾声。德国人封锁了荷兰德占区的补给。1944-1945年的冬天，被称为”hunger winter”（饥饿的冬天）。有四百五十万荷兰人遭受饥饿，一万八千人饿死。1945年，德国战败，封锁也随之解除。 但这个饥饿冬天所带来的影响却一直留存到几十年后。那些封锁期间怀着孩子的妇女，她们肚子里发育中的胚胎，虽无知觉，也经历了这场灾难。几十年后，当这些孩子成为50岁的中年人，科学家们发现他们会比之前，或者之后出生的荷兰孩子都更肥胖，更容易有心血管疾病「5」。 对此的一种解释是，还在妈妈肚子里的时候，我们的身体就在学习这是怎样一个世界：是个食物充足，衣食无忧的世界？还是一个有上顿没下顿的世界？这些荷兰饥荒那年出生的婴儿，他们的身体学习到：“这是一个食物匮乏的世界”。哪怕他们成年之后，荷兰已经是一个富余的发达国家，他们的身体还是不忘早年饥饿的经历，会尽力存储脂肪，准备着下一个饥饿冬天的到来。结果就是这个人群更容易肥胖，并且更容易患有与肥胖相关的心血管疾病。 有意思的是，对食物丰富与否的学习，在10月怀胎中完成，居然之后几十年也无法扭转。这个学习的窗口，是我们的身体，我们的基因所决定的。孩子学东西快，是因为他们的身体和大脑就是 specialized 学习机器。有研究说，人脑中负责抽象思维的前额叶在25岁才定型「6」。换句话说，25岁以前，我们的思维，特别是那些高级的认知能力，还在不断变化着。而这其中很多的变化，就来自我们的环境。这种变化，就是我们在学习我们所在的，到底是怎样一个世界；怎样的思维和行为，是在这个世界上行得通的。 从人脑的发育看来，过了25岁，至少从生理上来说，这种学习就停止了。这个 deadline 取决于基因，而基因来源于千百万年的进化。千百万年中，人类的平均寿命是徘徊在20-30岁。这可能就是为什么我们的学习，从我们身体的设计上看来，是在25岁就截止了。 我们无法影响自己生理、身体上的学习，但是有些事情的学习，却是我们可以影响的，而且应该去影响的。选择怎样的工作？居住在哪个城市？找什么样的伴侣？这些似乎不是应该匆匆忙忙，赶着一个deadline （特别是25岁的 deadline）去决定的事情。你会进行很多比较，才决定购买一辆汽车或者房子。而工作、伴侣，这些更重要的决定，你当然要更多比较比较，了解一下你是在怎样的一个世界里，才做决定。 也许你30岁了，没有婚配的对象，不喜欢正在做的工作，但有种种压力期待你“别折腾，安顿下来”。这压力可能来自于一个一直不给个人选择的社会传统，或者来自于一个预期寿命只有30岁的进化压力。但是这一切都变了：社会已经有越来越多的选择余地，我们也可以预料之中的活到80，90岁。 也许你要认真考虑一下波斯公主的问题：我是否应该继续收集 data points？还是已经到了要做终生决定的时候？ === 回到波斯公主的题目 === 波斯公主的题目至少还教了我们另一点，就是哪怕你的方法是最优，你也永远不可能是每次都得到最英俊的驸马。在最优化的选择方法下，公主也只有 40% 左右的可能性选择到最帅的男人「7」。就是说，如果这样选择十次，每次这百名男子以随机顺序出现，其中有6次，公主都会选到不是最帅的驸马。 生活就是有风险的，不可测的。这似乎是个打击，但也是一种释怀。尽人事，安天命。如果你按照一个正确的方法去做了，哪怕结果差强人意，这也并不是你的错。 我学会的另一点是，如果我是作为被选的一方（就像那100名男子），timing 是至关重要的。以下是一个简单的多的题目： 如果你是这百名男子中的一名，并且你能够决定自己出场的名次，你会选择在什么时候出场，以最大提高自己被选的概率？ 答案是第 38 名。你不会选择在 38 名之前，因为你被选的概率是零（假设我们的公主学过高等数学，知道最佳选法）。你也不会选择后于38，因为你前面每多一个人，就意味着多了一分公主选上他的机会「8」。 如果你有一位意中人，你当然要努力去追求幸福，但你可能也要想一下，这是否是最好的 timing？ 注： ================== 「1」原题是波斯王子选妃。我不喜欢题目中性别歧视的色彩，把女子描述成为被动的、被选择对象。所以在此置换的性别，变为波斯公主选驸马。 「2」这个题目在科学的松鼠会上，有人给出了推导： http://songshuhui.net/archives/57722 「3」我现在就可以做个解答：天下男生的确大多如此，但是经过训练，可以有所改进。 「4」这种方法，也就是 Bayesien 统计学的核心：根据信息的不断丰富而修正对世界的认知。 「5」“Effects of prenatal exposure to the Dutch famine on adult disease in later life: an overview”, T.J. Roseboom et al., Molecular and Celular Endocrinology, vol 185 20 Dec 2001, Pages 93-98 「6」“Why do they act that way?: a survival guide to the adolescent brain for you and your teen”, David Walsh. New York: Free Press, 2004. 「7」这个40% 左右的数字，是可以推导出来的。但也可以通过模拟估算。详见科学松鼠会文： http://songshuhui.net/archives/57722 「8」谢谢楼下 zhongyu wang 的提醒。第100名也是好位置，即如果最帅的锅出现在前37名中，那么公主必定会选第100名。所以，第100的位置至少是会有37%的概率被选中。这可能比第38名的位置还要好！