初等数学之旅

《An Excursion through Elementary Mathematics（初等数学之旅）》

该书的第一卷

也不知道你的数学底子在哪里，如果你英语好的话，这本书应该是完美符合你要求的。这本书有三大卷，共1800多页，囊括了国内几乎所有的中学数学基础知识（包括竞赛）。不过唯一的缺点就是目前没有中文版，要是英语不错的话，算是最好的选择。

第一卷讲的是实数和函数，第二卷把欧式几何全讲完了（仅入门平面几何而言肯定比《几何原本》，第三卷主要讲离散数学和多项式代数。而这本书的内容肯定是要比我说的这些要更为广阔（毕竟我只是背了书名，大雾.JPG）

（链接就给大伙放下面了）

https://pan.quark.cn/s/483803fa00fd

另外再分享一本书——《数学的雨伞下：理解世界的乐趣》。一本足以刷新观念的好书，从超市到对数再到相对论，娓娓道来。对于思维空间也给出了一个更容易理解的角度。

这本书没有一个公式，却讲透了数学的本质！

原文完整版PDF：https://pan.quark.cn/s/a17b0252603b 备用链接：https://pan.xunlei.com/s/VNgU5wuaDrnVcvQAU-bXmN3WA1?pwd=gv69#

这本书只有短短的五章，涉及十几个问题。无论从话题的有趣性，还是没什么数学基础读者的可读性都非常不错，我觉得将读书的过程称之为一场美妙的数学之旅非常合适。它非常好，好到什么程度，就是我看前面想到了一些可能补充的点，但是读到后面发现全都被囊括进去了。唯独的小遗憾可能是整本书的插图都非常“复古”，没那么精美又好像有点糊。不像一些书以没有公式作为卖点，附录中展示了每章真正的数学公式可供参考。

第一篇本福特定律，是个非典型的数字统计规律，我很惊讶它居然能被证明，且可用于检测一些数据造假。从生活中的超市开始的一个小发现，应用范围大的离谱。作者以绝对数值的大小比较，和人类相对感知之间的矛盾说起，将数字按照等间距的乘法进行排布，实际上得到了对数的分布——因为它能将乘法变成加法，还有我们熟知的纳皮尔的白皮书加速了世界的进程的故事。在没有数感的原始人或是动物身上做实验，也得到了类似的结果，从而得到世界可能是乘法的，常用如分贝、pH值等。这个定律也不会因为量度的变化而改变，因为本质上的相对关系是不变的。

第二篇可能有点跑题，海拔是如何定义的？数学里的反例思考有点像抬杠一样，尝试攻击每一个不严谨的地方，这样下去，“所有试图将现实梳理出头绪都可能复杂的令人绝望”。数学在做的事就是将包括数字在内的东西抽象成概念，以至于我们可以用不存在的东西去思考，书名雨伞是贯穿所有问题的思考方式。

海岸线有多长？或是书中所说的边境长度，从各地的数据中发现巨大的差异，此时曼德勃罗（书中译为曼德博）写下了那篇经典文章。在讲无穷大时作者没用经典的希尔伯特旅馆例子，用买巧克力来举例。讲到分形几何就不得不先提到维度，再次呼应了对数的尺度部分。

书中有一句话我很喜欢，“数学不在乎什么是显而易见的，它只想知道什么是真的。”从主观上我不太能接受数学是模糊的，当然这与模糊数学的分支无关，它定义应当是清晰准确的，作者又确实说服了我。他用非常容易的例子逐步引入球面几何。最后一章从光速不变理论到无穷，你可能感觉没学到什么知识，这个例子也许会在你未来学习的时候潜移默化的浮现，这样就足够了。

研究数学，就是创造想象的世界，在这些世界中，我们的思维可以自由漫步，不必担心现实的妨碍。这种思维方式虽然涵盖的范围要广得多，但和尼普尔人在加法世界中用来简化乘法的思维方式非常相似。当你碰到一个科学问题时，下面这种解决方法往往会很有效：

1. 创造一个数学世界，你可以在这个世界里把问题模型化；

2. 在这个数学世界里解决问题；

3. 把结果转回到现实世界中。

比如说，这种通用的方法就被天文学家用来了解行星的轨迹或预测日食（图 2.8）。

这种解决问题的模式叫作“雨伞定理”。如果你在雨天想要在不被淋湿的情况下从一个地方前往另一个地方，请按照以下步骤操作（图 2.9）：

1. 撑开你的雨伞；

2. 开始你的行程；

3. 收起你的雨伞。

步骤 1 和步骤 3 的操作是相反的，如果你能够在雨伞为你打开的特定世界中达成预期的目标，那么你在操作结束时就会恢复到开始时的状态。负数的雨伞为地理学家测量海拔提供了研究上的便利。对数的雨伞让淹没在乘法中的天文学家得以进入加法的世界。而更广泛地说，抽象的雨伞为所有科学家进入数学世界提供了可能。

在接下来的路途中，我们还会用到很多雨伞。雨伞，是观点的改变，是差异，是从另一个角度看待事物的艺术，一种更适合、更有效的角度。

走得更远，并不总是意味着长久而乏味的努力，而是首先要找到解决所面临的问题的正确方法。如果我们以正确的方式看待问题，那么最错综复杂的问题也会在一瞬间变得简单明了。伟大的智者能尽显其才，首先是因为他们拥有在正确的时间发明正确的雨伞的能力。

在 18 世纪，古怪的作家和旅行家乔纳斯·汉韦（Jonas Hanway）是第一个使用雨伞的伦敦人。这是一把真的雨伞——挡雨的伞。他为此遭受了很多白眼和伦敦马车夫赤裸裸的恶意，因为在当时，搭乘马车一直是在糟糕天气出行而不会被淋湿的唯一方法。毫不畏惧旁人眼光的汉韦继续自豪地使用了三十多年的雨伞，并慢慢看到他的同胞们也开始使用雨伞。在他去世后几个月，第一批商业化雨伞出现在英国，并获得了我们今日所知的成功。

不要惧怕与众不同，这就是雨伞的智慧。让我们无所畏惧，既不感到羞耻，也不抱有偏见。一旦接受在头顶撑起抽象的雨伞并进入数学的世界，我们就不会再全然依赖现实。不必让自己陷在无用的限制或令人尴尬的既有观念之中。你想要一个 4 月 34 号吗？拿去吧！你想要负数吗？拿去吧！你想要无穷吗？拿去吧！如果所有这些想法不会干扰你组织思维，甚至还有所帮助，那为什么要剥夺它们呢？你是自由的！

如此自由，甚至容易让人头晕目眩。在这一点上，数学和一大盘点心有着异曲同工之妙——选择太多，就难以做出选择了。懂得如何在数学世界里自我驾驭，是一种需要实践和直觉的能力。

为此，数学家制造出很多导航工具，其中有两个指南针：一个名叫“实用”，一个名叫“优雅”。“实用”引导我们创造出最贴近现实的抽象世界，在这些抽象世界中进行的研究能够轻松地转化为关于我们宇宙的知识。“优雅”告诉我们要完全抛开现实，并沉醉在抽象世界的奇观中。那里有许许多多美丽的事情要做——如果一件事是无用的，那它就更美了。

每个人都能以自己的方式使用这两个指南针。有些人偏爱其中的某一个，有些人则两个一起用，并不断在两个指南针指示的方向之间寻找完美的平衡。但世界充满奥秘，因此，探索实用之人和探索优雅之人常常会在走过不同的道路之后，在同一个地方不期而遇。看到大自然如此喜爱按照优雅的数学原理运转，真是既让人目瞪口呆，又让人不知所措。