十字交叉在数学运算和资料分析中的应用

一、十字交叉法的原理 （这个有的前辈和大侠有比较详细的讲解，简单易懂，在这里就直接用前辈写的东西来说明了，但是为了符合我的一些习惯，还是做了一定的修改） 首先通过例题来说明原理。 某班学生的平均成绩是80分，其中男生的平均城市75分，女生的平均城市85分，求该班男生和女生的比例。 方法一：搞笑（也是高效）的方法。男生一人，女生一人，总分160分，平均分80分，男生和女生的比例是1:1。 -------------------------------------------------------------------------------- 月月讲解：这个就是咱常用的特殊值法吧，不过思路稍微特殊一点。 -------------------------------------------------------------------------------- 方法二：假设男生有X,女生有Y。有（X×75+Y×85）/（X+Y）=80，整理有X=Y，所以男生和女生的比例是1:1。 -------------------------------------------------------------------------------- 月月讲解：这个就是常用的列方程法 -------------------------------------------------------------------------------- 方法二：假设男生有X,女生有Y。 男生：X 75 85-80=5 80 女生：Y 85 80-75=5 男生：女生=X：Y=1：1。 -------------------------------------------------------------------------------- 月月讲解：这一步前辈说的不是很清楚，补充修正了一下，其实说白了，十字交叉的左侧是各部分的量，右侧是混合后的量。 -------------------------------------------------------------------------------- 总结一下， 一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。平均值为C。求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。 假设A有X，B有（1-X）。 AX+B（1-X）=C X=（C-B）/（A-B） 1-X=（A-C）/A-B 因此：X：（1-X）=（C-B）：（A-C） 上面的计算过程可以抽象为： A C-B C B A-C 这就是所谓的十字相乘法。 -------------------------------------------------------------------------------- 月月讲解：这个是大侠的，不过我个人觉得，十字交叉法用溶液问题来讲解更加浅显易懂，怎么说呢，我们还是通过例题来讲解。 有两种溶度浓度的溶液A、B，其浓度为x、y，现将这些溶液混合到一起得到浓度为r的溶液，那么这两种溶液的浓度之比为多少？ 假设A溶液的质量为X，B溶液的浓度为Y，则有： X*x+Y*y=（X+Y）*r 整理有X（x-r）=Y（r-y）； 所以有X：Y=（r-y）：（x-r） 上面的计算过程就抽象为： X x r-y r Y y x-r -------------------------------------------------------------------------------- 这样就看着清楚多了吧，知道是哪个比哪个等于什么值了。 十字相乘法使用时要注意几点： 第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。 第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。 -------------------------------------------------------------------------------- 月月讲解：这个尤其需要注意，因为在资料分析中运用的时候，好多时候都会忘记得到的值是基期的，而感觉到十字交叉法应用错误，不过十字交叉法在资料分析中的用法，我们会在下面有更加详细的讲解。 -------------------------------------------------------------------------------- 第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。 说了这么多，基本原理是肯定懂了，那就废话不多了，直接上例题。 二、十字交叉法在数学运算中的应用 后面的这些试题可是月月本人好不容易搜寻到的呀，具有一定的代表性，速速的呈现给大家了。 例1：要将浓度分别为20%和5%的A、B两种食盐水混合配成浓度为15%的食盐水900克，问5%的食盐水需要多少克？ A．250 B．285 C．300 D．325 【答案】C 【解析】这个很简单吧，就是咱们上面讲解到的内容。 假设20%和5%的食盐水分别为x、y克，则有： 20%的食盐水 x 20% 15%-5%=10% 15% 5%的食盐水 y 5% 20%-15%=5% 所以x：y=10%：5%=2：1，则5%的食盐水占900的1/3，也就是300克。 -------------------------------------------------------------------------------- 月月讲解：这个就很简单，不用想到底应用那个等量关系来算式，列出算式后又怎么求，反正是节省了一大笔的时间，心里面很舒服的。 -------------------------------------------------------------------------------- 例2：某高校2006年度毕业学生7650名，比上年度增长2%。其中本科毕业生比上年度减少2%，而研究生毕业生数量比上年度增加10%, 那么，这所高校今年毕业的本科生有（ ）。 A．3920人 B．4410人 C．4900人 D．5490人 【答案】C 【解析】这个题就有一定的难度了，我们必须要注意到，求出来的比值是基期的值，这会肯定就会有人犯嘀咕了，为啥会是基期的量呢？嘿嘿，先卖个关子，我们在资料分析中详细的讲解，在这就好好的记住这点吧。 假设2005年本科毕业生和研究生毕业生人数分别为x、y人，有： 2005年本科毕业生 x -2% 10%-2%=8% 2% 2005年研究生毕业生 y 10% 2%-（-2%）=4% 所以x：y=8%：4%=2：1， 2005年本科毕业生有：7650/（1+2%）*2/3， 2006年本科毕业生有：7650/（1+2%）*2/3*（1-2%）。 -------------------------------------------------------------------------------- 月月讲解：这个题目是有一定的难度，而且还需要我们进行一定的计算，7650/（1+2%），差不多应该是7500，7500*2/3=5000，5000再乘以剩下的，也就接近5000，但是应该小于5000的。 再计算7650/（1+2%）的时候，我们可以用乘除转化法，也就是7650*（1-2%），7650的2%差不多就是150，7650-150肯定是等于7500。 所以月月和各位说，这些技巧在数学里面都是通用的，所以大家不要把数学运算里面和资料分析里面的技巧分的很清楚。 -------------------------------------------------------------------------------- 再给几个例题给大家练习吧！ 1000块玻璃，好的利润是40%，坏的亏30%，最后总的利润是28.8%，问打坏多少块？ A．160 B．840 C．100 D．320 答案：A 解析：设打坏了x块，好的是y块，则有 x -30% 11.2% 28.8% y 40% 58.8% 所以有x/y=11.2/58.8，所以坏的有1000*11.2/（11.2+58.8）=160 其实这个选项设置的比较傻，A+B选项的和是1000，且有总利润是正值，所以打坏的一定少，即使我们不会也会选A。 有浓度为4％的盐水若干克，蒸发了一些水分后浓度变成10％，再加入300克4％的盐水后，变为浓度6.4％的盐水，则最初的盐水是（ ）。 A．200克 B．300克 C．400克 D．500克 答案：D 解析：设10%的盐水有x，则有： x 10% 2.4% 6.4% 300 4% 3.6% 所以x=200，那么4%的盐水有，200*10%/4%=500。 其实，我们也可以采用十字交叉计算最后一步，就是让10%的盐水和清水混合来得到4%的盐水。 这个如果你具有足够的敏感的话，可以直接选答案的。 一批手机，商店按期望获得100%的利润来定价，结果只销售掉70%。为了尽早销售掉剩下的手机，商店决定打折出售，为了获得的全部利润是原来期望利润的91%，则商店所打的折是（ ）。 A．六折 B．七折 C．八五折 D．九折 答案：C 解析：设商店是打x折出售的， 70% 200% 191%-20%x 191% 30% 200%x*0.1 9% 有191%-20%x=21% x=85，也就是八五折。 这个一定要理解打折是什么意思。 三、十字交叉法在资料分析中的应用 在这解答月月在上面留下来的问题，为什么十字交叉后得到的数值的比例是基期的比值呢？ 我们什么时候采用基期和现期呢，肯定是在涉及到增长率的时候，关于增长率里面暗含着一个公式，也就是部分的增长量的和等于整体的增长量，在这我们就以上面的例2为例子来讲解。 某高校2006年度毕业学生7650名，比上年度增长2%。其中本科毕业生比上年度减少2%，而研究生毕业生数量比上年度增加10%, 那么，这所高校今年毕业的本科生有（ ）。 -------------------------------------------------------------------------------- 从这个例子来说，等量关系是： 本科毕业生的增长量+研究生毕业生的增长量=毕业生的增长量 增长量怎么求？就是增长量=基期*增长率（如果这个都不知道，那就回去好好复习去吧，认真的看书） 此时将上面的等式化成十字交叉的形式，得到的比值就是基期的比值了，这个问题就顺利的解答了。 -------------------------------------------------------------------------------- 此外，在资料分析中，往往是给出了各部分（一般是两部分）现期的值以及增长率，让求解整体的增长率。 其实我们从十字交叉法中就可以很快的得到，整体的增长率必然处于部分的增长率之间。这又出现了几个问题： 1、比较仁慈的考官呢， 在四个选项中只给出了一个选项的值处于部分增长率之间，这样我们看看增长率就能得到答案； 2、稍微有点变态的考官呢， 在四个选项中给出了两个选项的值处于增长率之间，这会我们就需要分析一下在基期时代，那部分的值占整体的比重大，那么整体的增长率必然偏向于这部分的增长率。 这会我们还是不怎么需要计算的，分析分析就好了。 3、最佳变态的考官呢， 把四个选项都设置在这个范围呢，让我们选择一个正确的选项，这会就有好多考生已经放弃了这道题，这么难得题不是让我们得分的，直接放弃算了，还浪费时间，其实就月月来看，这样的试题也未必是难题啊，有时间也很简单滴。 材料中的信息我们可以得到基期的比值（这个比值你也不要算，一会月月告诉你怎么分析得到），那么这个比值等于部分增长率与整体增长率差的比值，这个就很容易计算了吧，从而也就很容易得到答案了。 好了，不说了，咱们用试题来验证吧。 例1： 全社会客运运输量（2008年9月） 指标 单位 9月 比上年同月增长% 1~9月 比上年同期增长% 客运量： 铁路 亿人 1.25 12.8 11.20 11.8 公路 亿人 18.47 11.4 163.06 7.4 水运 亿人 0.20 -2.1 1.73 -2.7 民航 亿人 0.16 0.7 1.41 1.7 例：2008年1~8月，公路客运量比上年同期增长（ ）。 A．6.9% B．7.4% C．7.9% D．11.7% 【答案】A 【解析】试题问的是1~8月公路客运量的增长率，1~9月的公路客运量包括1~8月的和9月的两部分，所以说1~9的是整体，1~8月和9月的是部分。 整体的增长率必然在部分的增长率之间，所以选啥，A选项吧。 -------------------------------------------------------------------------------- 月月讲解：我们看下材料中的两个数值就得到答案了吧。 -------------------------------------------------------------------------------- 例2：2008年，某省农产品进出口贸易总额为7.15亿美元，比上年增长25.2%。其中，出口额为5.02亿美元，增长22.1%；进口额为2.13亿美元，增长33.2%。 例：2008年，该省农产品外贸顺差比上年增长了（ ）。 A．5% B．15% C．25% D．35% 【答案】B 【解析】这个可是不折不扣的国考题啊，国考都考这样的，我们还能不复习吗？ 我们来看，进出口顺差=出口-进口，那么出口就是整体，进口和进出口顺差就是部分了，根据整体增长率必然处于部分的增长率之间，所以我们排除C、D选项。 2008年进口额占出口额的比重小于1/2吧，这个口算就行，且进口额的增长率要大于出口额，所以2007年的比重比1/2更小（这个要是不懂，可以看一些大侠写的文章，再这我就不多说了）。也就是进出口顺差占出口的比重要大，所以出口的增长率偏向于进出口顺差。 出口与进口增长率差为11%，所以出口与进出口顺差的差值要小于11%，排除A选项。 -------------------------------------------------------------------------------- 月月讲解：这个题算下来也就只要我们口算一下，根本就没有涉及到计算，所以我们不要总是拿着笔在哪算啊算的，方法不对。 -------------------------------------------------------------------------------- 例3： 表二、西部部分省市区固定资产（2006年1～10月） 省市区 单位 年内本月止累计 比上年同期增长（%） 重庆 亿元 1531.12 28.00 四川 亿元 3120.84 32.50 贵州 亿元 786.02 21.20 内蒙古 亿元 2893.05 34.6 例：2006年1～10月，四川、重庆两地的固定资产投资总额比上年同期增长了约百分之几？ A．29 B．30 C．31 D．32 【答案】C 【解析】看到这样的试题有啥感觉呢，会不会有一种蒙的感觉呢？ 由于计算的是四川和重庆的和的增长率，所以四川和重庆的和为整体，四川、重庆为部分，整体增长率必然在部分增长率之间，所以四川、重庆的和的增长率在28.00%到32.50%之间。 2006年1~10月四川是重庆的大约2倍，他们的增长率差不多，所以2005年同期两者的比这也差不多是2。 四川和重庆的增长率相差4.5%，所以整体的增长率就等于28.00%+4.5%*2/3=31%。 -------------------------------------------------------------------------------- 月月讲解：最后一步要是不清楚的话，那就好好的看看原理，一定要把原理给吃透。 -------------------------------------------------------------------------------- 给几个练习题供大家试试手吧， 2007年我国对主要国家和地区进出口额及其增长速度 单位：亿美元 国家和地区 货物出口额 比上年增长% 货物进口额 比上年增长% 韩国 561 26.1 1038 15.6 俄罗斯 285 79.9 197 12.1 印度 240 64.7 146 42.4 中国台湾 235 13.1 1010 16.2 例：2007年我国对韩国货物进出口总额约比上年增长： A．15.6% B．19.1% C．26.1% D．44.2% 答案：B 解析：这个题目比较简单 整体：进出口总额 部分：出口、进口 所以增长率在15.6%到26.1%之间。 最后一题是从一帖子里面看到的，感觉还不错，拿来给大家练习练习 2006年8月我国进出口贸易方式总值 单位：亿美元，% 出口 当月 1至当月累计 金额 同比增长 金额 同比增长 总值 907.7 32.8 5 996.3 25.9 其中： 一般贸易 405.0 40.7 2 601.9 28.3 加工贸易 459.6 25.1 3141.5 23.1 保税区仓储转口货物 14.0 39.3 90.7 21.5 保税仓库进出境货物 13.6 93.9 77.7 68.1 进口 当月 1至当月累计 金额 同比增长 金额 同比增长 总值 719.7 24.6 5 049.8 21.6 其中： 一般贸易 305.1 27.3 2 162.7 20.4 加工贸易 289.3 18.6 2 029.2 19.9 保税区仓储转口货物 50.9 25.7 339.8 23.2 外商投资企业作为投资进口的设备物品 23.5 1.8 185.4 3.2 保税仓库进出境货物 31.7 75.8 188.0 59.7 边境小额贸易 4.6 -0.2 43.0 15.5 租赁贸易 6.9 115.1 50.4 132.9 1．2005年8月份一般贸易出口额占同期进出口额的（ ）。 A．49.8% B．22.8% C．32.1% D．42.1% 答案：B 解析：一般贸易出口405，同期进出口1620，比重差不多是25% 一般贸易出口增长率40.7%，同期进出口（十字交叉）小于32.8%，所以2005年的比重小于2006年，选B。 很简单的，不用计算。 2．2005年1~8月份，我国加工贸易出口额较同期加工贸易进口额高（ ）。 A．1450亿美元 B．523亿美元 C．860亿美元 D．1112亿美元 答案：C 解析：加工贸易出口3141.5，进口2019.2，差值1112（D，排除）； 出口增速：23.1%；进口：19.9%；差值的大于23.1%； 剩下B、C，差值如果523，增速就超过100%，太大了，排除。 3．2005年8月我国边境小额贸易进口额约占同期贸易进口总值的（ ）。 A．一成 B．0.6成 C．0.8% D．0.6% 答案：C 解析：2006年比重4.6/719.7，口算0.6%多，进口-0.2%，总进口24.5% ，2005年的比重大于2006年，并且也不会大很多的，选C 4．2005年8月保税区仓库转口货物进出口额约为同期保税仓库进出境货物进出口额的（ ）。 A．一倍 B．二倍 C．三倍 D．四倍 答案：B 解析：2006年 转口货物： 进口额： 50.9 ，增速：25.7% 、 出口额： 14.0 增速：39.3% 进出口额 65 增速差不多是30%（十字交叉， 进口比重大） 进出境货物：进口额： 31.7 ，增速：75.8% 、 出口额： 13.6 增速：93.9% 进出口额： 45 增速差不多是80%（十字交叉， 进口比重大） 倍数关系就是65/45*（1.8/1.3 ），差不多就是2。 5．2006年8月份哪种贸易方式进出口值增长幅度最大？ A．一般贸易 B．加工贸易 C．保税区仓储转口货物 D．保税仓库进出境货物 答案：D 解析：A：27.3%-40.7%；B：18.6%-25.1%；C：25.7%-39.3%；D：75.8%-93.9%。选D