Strongart博文：Banach空间内的Rainwater定理

最近我看到一个有意思的定理叫做Rainwater Theorem，它是说在Banach空间中，xn→x（w）iff x*xn→x*x 对任何x*∈ext（BX*)均成立。按照弱收敛的定义，我们要求 x*xn→x*x对任何共轭空间X*中的元素x*成立，现在则可以放宽到其单位球上的端点处，这里不妨称右边的收敛关系为R-弱收敛。 在展开讨论之前，我们有必要先解释一下端点的概念。向量空间内凸集的端点S就是指S的两点连线的开线段上的点，记作ext（S），直观上看端点就是所谓凸集的“顶点”。泛函分析中著名的Klein-Milman Theorem断言，局部凸空间（LCS)内非空紧凸集S的端点非空，实际上S就是其端点的闭凸壳。 先来看一下有限维的情形，假若是取通常的欧式范数，那么其单位球面上的任意点都是单位球的端点，此时R-弱收敛就是弱收敛。假若我们取绝对值之和作为范数，那么单位球实际上是单位方，端点则对应各单位向量的顶点，此时R-弱收敛就是按坐标收敛，它显然等价强与弱收敛。值得注意的是，这里的按坐标收敛有更广泛的意义。实际上，n维空间内的紧凸集K上的任何一点都是K上最多n+1个端点的凸组合，换句话说K上的任一点都由其端点的质心坐标给出，这被称为Caratheodory Theorem. 要把这个定理推广到无穷维空间，我们需要做一个视角的转换，就是点x看成是点泛函δx，这里δx在x上为1，在其余点上为零。这样一来，原先可以写成端点凸组合的点就转化为支集在端点出泛函的积分，由此就得到所谓的Choquet Theorem.它是说对赋范空间X上的非空紧凸子集K，对任何x∈K，总存在一个支集在ext（BX*）的Borel正则概率测度μ，使得对任何x*∈X*，x*x=∫x*（y)dμ（y）.注意到μ的支集在X单位球的端点上，这个积分实际有效的部分也就是在ext（BX*）上而已，这样就可以由Choquet Theorem直接导出本文的主角Rainwater Theorem（有些弱版本的Choquet Theorem还要求K可度量，此时的证明需要借助可分性过渡一下）. 下面我们看Rainwater Theorem对一些常见空间的作用，为此先给出这些空间（的单位球）的端点集（可以查阅俞鑫泰的《Banach空间几何理论》P170），结果如下： 1）c0无端点 2）l1的端点是±ei 3）lp的端点是整个单位球面 4）l∞的端点是x={xn}，xn可任取±1 5）L1无端点 6）Lp的端点是整个单位球面 7）L∞的端点是满足f^2=1 a.e.的f 其中端点为单位球面的情形是平凡的，我们只要考虑剩余的部分。 1）l1作为c0的对偶空间，其R-弱收敛关系就是按坐标收敛。 2）l∞作为l1的对偶空间，其R-弱收敛关系就是序列通项任意给定各项正负号的和收敛于某序列给定相同正负号的和。 3）L∞作为L1的对偶空间，其R-弱收敛关系就是对任意给定的可测集A，函数列通项在A上的积分值减去在A的补集上的积分值收敛于某函数在A上的积分值减去在A的补集上的积分值。 有心的读者也许会发现，这样R-弱收敛尽管在形式上稍微强一点，但在具体计算上似乎并没有太大的用处。对此我们不应该过于苛求，数学理论的主要价值在于其本身，能够对其他分支特别是计算方面有所支援，那只是一点剩余价值而已。 在处理完弱拓扑情形之后，我们有心考察一下*弱拓扑的情形，是不是也有*弱拓扑下的Rainwater定理呢？答案是否定的。在*弱拓扑之下，像c0、l1这样的空间根本就没有端点，更谈不上用端点来判断*弱收敛了。 但这里又引出一个问题，为什么Rainwater Theorem中的BX*的端点一定存在呢？回想一下，也许Klein-Milman Theorem定理是一个很好的理由，但它的前提是非空紧凸集，其他的条件都好办，可为什么单位球怎么是紧致的呢？实际上，这里我们引入的是*弱拓扑，严格的说就是空间（X，w*），它一般不是赋范空间，但仍然是LCS，好在这个端点与具体的拓扑结构无关，因此只要说明（X，w*）有端点就行。对于后者，我们有Banach-Alaoglu Theorem保证其单位球是弱*紧的，而这个定理恰恰就是非自反空间内弱拓扑与*弱拓扑之间的一个对称性破缺。这样一来，就像是侦探小说看到了结尾，所有的线索都串到一起啦！ 经过这个一番讨论，我们还能够发现Rainwater Theorem的一个剩余价值：假若一个空间存在前对偶（比如W*代数），那么它的（单位球）就一定有端点。由此可以轻松的推出，那个co与L1都是不存在前对偶的。 最后，Rainwater这个名字也很有意思，在英文词典的常见人名表里还真是找不到。对此我给出这样一个解释，那个X*的单位球端点就是rain，它可以弱收敛的意义上可以代表water，这个定理就属于那种以点带面的类型。后来在wiki上查到Rainwater实际上是一个笔名，假若读者还知道其中有什么有趣小故事，不妨来与大家分享一下。 原文地址：http://blog.sina.com.cn/s/blog_486c2cbf0102e4ha.html