哲学与宗教（十七）：公理化方法，公理化体系

哲学与宗教（十七）：公理化方法，公理化体系 呼延论宇 人类把演绎推理方法运用到极緻是在数学的领域，而最先树起样板的，是两千多年前古希腊的数学家欧几里德，他在《几何原本》一书中，运用公理化方法构造出了欧氏几何体系。而这种方法，今天在各个科学研究的领域，被大量运用，深刻地影响着人类的思维方式。 在欧几里德之前，人们己经通过土地测量、建筑、航海等各种实践活动，积累了大量的几何知识。但这些知识是零零碎碎的，并不系统。欧几里德在掌握了大量的几何知识之后，通过整理、分类、相互比较，概括归纳出许多几何图形所具有的共通性。也发现了各种几何图形彼此之间的相互联系。例如，较复杂的图形可以分解为较简单的图形，甚至可以概括归纳到诸如点、直线这样的基本概念，以及它们应该具有的最普遍的性质。然而在叙述对这些几何图形的认知时，欧几里德则采取了由一般到特殊、由简单到复杂，而且是一环扣一环，以演绎推理来构建出整个欧氏几何的体系。具体的方法是：他先给出若干原始概念(或称不定义概念)，如点、直线；然后再给出五条公设（例如，其中之一为“任意两个点可以通过一条直线连接”），五条公理（例如，其中之一为“整体大于部分”），这些公设、公理是不证自明的，是不必怀疑其正确性的；再利用原始概念可定义出更复杂的几何概念，例如，线段、角、平行线、同位角、三角形、等边三角形、多边形、……；再然后从公理、公设、定义出发，作为已知，运用演绎推理，先证明了第一个命题，亦即关于某个几何图形的某种性质，又以此为基础，来证明第二个命题，……，如此这般，以演绎推理为粘合剂，把各种几何图形的性质，由简单到复杂，粘织成一张网。欧几里德就是这样建立起了欧氏几何体系。 这种从少量的概念、公理（判断）出发，不断地引入相关的概念，並且从公理或前面己演绎出的定理 （判断）去进一步演绎出新的定理（判断）的方法，被称为公理化方法，而如此构建出的体系被称为公理化体系。 这种方法、体系，其优点是逻辑严谨。又因为演绎方法所导出的结果正确与否，只与前提相关，最终只与公理相关，但公理的数量很少，而且公理似乎又很“显而易见”，所以人们通常会觉得这样建立的体系优美且正确性不必怀疑。现今在数学领域，基本採用这种构建理论体系的方法，犹其是在19世纪末由德国的数学家康托尔创立了集合论后，许多数学理论都想以集合论作为基础去构建自身的理论框架。是否应该如此，值得商榷。 显然，一个这样的体系，是由一组概念和一组相关的判断所组成，是人们用来表示、描述、模拟某种客观事物的。或许我们可以称之为一个对应于某种客观事物的思維模型，这思维模型便是人们对相应的客观事物的认识。当然，这种所谓的模型与物理上的粒子结构模型，化学上的分子结构模型稍有不同，我们只是借用这个名称去表明思维模型也是一种模拟客观事物形式，它为我们去改造客观事物提供了一定的依据、帮助。例如，欧氏几何体系便是一个思维模型，是人们对小范围空间的空间形式的认识。当我们在小范围空间进行活动，如修桥、建路、筑房、……时，几何知识便有很大帮助。 在其它的科学领域，也常采公理化的方法。例如，光速不变原理是爱因斯坦创立狭义相对论的基本出发点之一。哲学家们也会从诸如“万物皆动”，“万物由心生”之类的出发点去认知、解释万事万物。而在日常生活中，有些人也常用“一切天注定”，“神安排一切”这类信条去处事。这种种的思维过程，本质上同公理化方法是一样的，即先接受一个“理”——不证自明的公理，再由此演绎出对具体情形的认知。只不过有些过程，演绎链条的环节多些，有些环节少些而已。 哲学与宗教（十八）：非欧几何，矛盾的公理化体系的例子