谢多夫《连续介质力学》——笔记

第9页：拉格朗日观点与欧拉观点的物理等价性 我们常见的火车运动，可以视为较简单的“一维连续介质”运动或变形。拉格朗日观点首先关注火车上座位号为 ξi 的乘客随着时间 t 而在空间中运动的轨迹（即“ξi 的迹线”），其次再关注不同座位号的乘客的运动轨迹，然后把所有乘客的运动轨迹集合在一起，就得到了任意时刻 t 整列火车的运动。 欧拉观点首先关注空间中设置于铁路边某处 xi 的观察点在某时刻 t 记录到经过它的乘客的座位号，其次再关注同一时刻铁路边另一个空间点的观察点记录到的经过那里的乘客的座位号，然后把铁路边连续排布的所有观察点所记录到的乘客座位号集合在一起，就描绘出了整列火车在（任意）时刻 t 的运动。 可见，这两种方法都可以得到整列火车的运动情况。即：两种方法都可以描述连续介质的运动与变形。 对于拉格朗日法，ξi 称之为随体坐标，这个坐标是标记连续介质内不同质点的参数，一旦在初始时刻标定，就不再改变。好比一旦在火车站上车完毕，所有乘客的座位号就不会变一样，无论火车怎么运动，变形，调头，前进，弯曲......乘客的座位号都不会变。 对于欧拉法，xi 称之为空间坐标，它是独立于连续介质的，不随连续介质的运动变形而变化，而仅仅只与空间本身有关，就像铁路边的观察点不会跟着火车跑掉。空间就好比一个舞台，连续介质就好比舞台上演出的演员。这是典型的经典力学观点。 第11页：雅可比行列式的直观理解 可以先从简单的一元函数的例子来类比：y = f (x)，如果说 dy/dx = 0，那么该函数的图像就是一条水平直线，此时，不同的自变量均对应着相同的函数值，任意大小的自变量增量所引起的函数值增量均为0. 这时我们无法从函数关系中反解出 x 来。 多元函数的例子是类似的，此时雅可比行列式就相当于函数值对自变量求导数，可以先来看看二元函数的例子： y1 = f1 ( x1, x2 ) y2 = f2 ( x1, x2 ) 这个二元函数把 x1—x2 平面上的区域映射为 y1—y2 平面上的区域。对自变量与函数值求微分，则根据全微分的法则，若记 dy = ( dy1, dy2 )，dx = ( dx1, dx2 )，可以得到： dy = [D]dx 其中二阶矩阵[D]即雅可比矩阵。如果雅可比行列式为0，那么矩阵D中的两行元素成比例，记比例系数为 k，[D]可以写为：[D] = [ ( a, b )，( ka, kb ) ]。稍微计算就会发现，函数值向量 dy 中的两个元素也成比例，比例系数也为 k：dy2 = k*dy1. 这说明，无论自变量向量在 x1—x2 平面上如何移动，经过雅可比矩阵的映射后，函数值向量都只在 y1—y2 平面上的直线 y2 = k*y1+b 上移动。回想一下：一元函数导数为0对应的情况是自变量可以在x轴上移动，但函数值却被限制在y轴上的一个点上。所以可以说：零雅可比行列式是一种《三体》中描述的“降维武器”，本来自变量可以在较高的维度中运动，经过映射后，函数值只能在较低的维度中运动。维度降低后，高维空间的许多信息就丢失了，所以就无法再从低维y反解出高维的x了。 如果纯粹从数学上看，就比较直接了：由 dy = [D]dx，若 |D|=0，则矩阵D奇异，无法求逆，所以无法反解出 dx。 第11页：单值连续映射 这样的映射用在连续介质力学中，就相当于设定了连续介质在运动和变形的过程中，既不会出现新的质点，旧的质点也不会消失。好比一列不经停任何站的直达火车，车上的乘客不会有任何变化。这似乎是在说明一条原则：连续介质的“质点数守恒”。 第13页：基矢量的原始定义 基矢量是整个张量分析和微分几何空间架构的基础，无论在任何坐标系中，某点基矢量原始定义为：该点沿某坐标线的基矢量，等于从该点出发而沿此坐标线的微分向量与该坐标微分的比值，由于坐标可能为角度或其他量，所以基矢量一般不是单位矢量。在三维空间中一般有三条坐标线，因此空间任意点一般有三个基矢量。 空间某个点除了该点的基矢量很重要以外，还有另一个矢量很重要：矢径，它是连接原点到该点的向量。一看之下，基矢量与矢径没什么关系，那为何某个方向的基矢量却又等于矢径对那个坐标的偏导数？这是因为根据偏导数的定义，其中包含了：矢径对某个坐标的偏导数就是：其它坐标均保持不变，只有这个坐标变化。所以首先矢径划出的曲线恰好就是这个坐标对应的坐标线，矢径只被限制在该坐标线上移动；其次矢径的变化量刚好就是该坐标线的割线（回忆两个向量的差向量），而矢径变化量比上坐标变化量，的极限——矢径对坐标的偏导数——就是过该点沿该坐标线方向的切线——也就是该方向的基矢量。这就是二者的联系之一，后面还会看到二者的另一个联系。 第16页：为何在任何坐标系中，某点的速度矢量在基矢量上的（标量）分量等于该点位移元矢量在基矢量上分量对时间求导；而该点加速度矢量在基矢量上的分量却不一定等于该点速度矢量在基矢量上分量对时间求导，而只有直角坐标系中才相等？ 这里就要说明，所谓的位移元矢量，就是以该点为起点，质点在极其微小的时间 dt 内运动到邻近的两一个点，连接这两个点的矢量就是位移元矢量，所以位移元矢量的大小就是始点与终点的距离——这就说明，位移元矢量对于始点与终点是相同的，因此它可以在始点处的三个基矢量中分解，得到三个分量；速度定义为位移元矢量对时间求导：dr/dt，而始点或终点的 dr 是相同的，因此可以在始点来投影。 而速度矢量则不同，始点的速度矢量与终点的速度矢量是不同的，因此无法用终点的速度矢量来对始点的基矢量投影，也无法用始点的速度矢量对终点的基矢量投影，加速度定义为速度对时间求导：dv/dt，而最重要的就是：dv 在始点或终点的基矢量上的投影与 v 在始点或终点的投影并不相等，在任意曲线坐标系中，各点的 v 不同，各点的基矢量也不同。 所以说到底，速度矢量是严格对应于空间每一个点的，而位移元矢量是对应于空间中的两个点的。