2B小孩跳方格：石头、剪子、布

在这个水贴里，我们来说一个跨粒子、宇宙、凝聚态、数学……多个领域的话题——经典场的拓扑孤子。什么是孤子呢？这里拓扑意味着什么呢？所谓孤子就是经典场的“稳定”、“非奇异”、“不弥散”的解；而拓扑，这里指的是同伦分类，在下面你们会看到，根据体系的真空简并，可以在时空与场的真空构型之间建立一种映射（或者说成场的构型在无穷远的边界条件），这就是进行同伦分类的基础。除此以外，拓扑是相对非拓扑来说的，对于拓扑孤子，体系的守恒荷是拓扑性的，这与非拓扑孤子中诺特守恒不同，而且产生拓扑孤子需要体系出现简并的真空，而非拓扑孤子则不需要。 【剪刀】 我们从最简单的扭绳（kink）开始。考虑（1+1）维时空的纯 Higgs sector，很显然这个理论会有两个简并的真空。所谓扭绳解，就是满足当时空坐标趋于无穷（$\{+\infty, -\infty\}$）时，场的构型趋于真空值（$\{+v, -v\}$）的解。可以用李雅普诺夫方法判断，这样的解的确是稳定的，而且其能量集中在一个很小的范围内（其尺度具有“经典粒子”的康普顿波长的量级）。满足上述条件的解形成了四个相互独立的同伦类，即 $\{+\infty, -\infty\}$ 与 $\{+v, -v\}$ 之间建立了四种映射，由于任何两个场的构型之间的过渡都需要无穷大的能量，因此四种映射是彼此独立的。为了形象的“看到”解，我们不妨想象一条红色的绳子放在“势井”中，看图

扭绳

当绳子竖直放在“势井”的一侧时，即 $\{+\infty \rightarrow +v, -\infty \rightarrow +v\}$，或者 $\{+\infty \rightarrow +v, -\infty \rightarrow +v\}$，所对应的就是场的真空。而绳子搭在“势井上”时，即 $\{+\infty \rightarrow +v, -\infty \rightarrow -v\}$，或者 $\{+\infty \rightarrow -v, -\infty \rightarrow +v\}$，就分别对应着扭绳和反扭绳。 【布】 我们跳过域墙（domain wall）来说涡旋，因为域墙与扭绳的差别只是“背景”空间的维数不同而已（场的变量还是一个）。但是在说涡旋之前，我们先来说一个限制定理——Derrick 定理。这个定理陈述的是这样一个事实，对于传统的 Higgs sector，不存在维度大于一的拓扑孤子解，然而对于二维的情况有一列外，即体系的势函数为零（存在约束），比如在二维球面上的n-标量场模型；另一方面，对于有规范场耦合进来的模型，存在静态的拓扑孤子解条件是 $d=2$ 或 $d=3$ （2对应的就是涡旋，瞬子是4维的非静态解）；而对于纯规范sector，只要维数不是4，体系便没有拓扑孤子解。 ok，我们来说涡旋。考虑一个 $(2+1)$ 维具有局域 $U(1)$ 规范的对称破缺模型。所谓涡旋，就是体系满足边界条件 “当 $|x|\rightarrow \infty$ 有 $|\phi|\rightarrow v$” 的静态解。很显然这个体系的真空是简并的，其真空的集合具有 $U(1)$ 对称，于是根据同伦群我们有$\pi_1 (U(1))=\mathbb{Z}$，这是我们进行同伦分类的基础，即所有具有有限能量的场都可以用一个整数 $n$ 来表征。为了能看出这种同伦分类，我们理想一个可以变形的圆胎往一个不可形变的铁环上贴，看图

涡旋

其中a对应着真空；b中根据方向的不同就对应着用 $+1$ 和 $-1$ 标识的拓扑解；c是将园胎绕成一个“8”字贴上去的，对应着 $n=2$ 的情况。 【石头】 第三个，我们来说刺猬。刺猬就是“泊利亚科夫——霍夫特”磁子。刺猬这个名字是泊利亚科夫取的，因为对于一个给定的时空点，场（同位旋空间的向量，Higgs sector）都沿着径矢的方向。 考虑一个 $SU(2)$ 自发破缺的模型，这就是 Georgi-Glashow 的统一模型。$SU(2)$ 破缺到 $U(1)$ 使得四个规范场中的三个获得质量，而剩下的那个的质量依旧为零（光子），简并真空的集合具有 $U(1)$ 对称。这个体系的同伦群为 \[\pi_2 (\text{the set of vacuum})=\pi_2 (SU(2)/U(1))=\pi_1 (U(1))=\mathbb{Z}\] 也就是说，我们同样可以用整数来标识这个模型的解。其实对于一般的情况（任何一个大统一模型），只要体系对称破缺之后仍保证一个电磁的 $U(1)$ 对称，那么这个模型就具有拓扑孤子解。这就是磁子，对于大统一模型，存在普遍性。 想看图嘛？自己画吧，lz累了。