讨论有理数与自然数等势
hanyupinyin
图1是证明正有理数与自然数等势使用的一一对应顺序图（对角线法）。对角线法中的有理数矩阵包含所有的正有理数。有理数矩阵可以一步步扩展，当有理数矩阵的横、纵坐标是有限自然数时有理数的排列是矩形，矩形有四个角和对角线，当矩阵向无穷大趋近时，其过程中的每一步横、纵坐标都存在确定的自然数，每一步有理数的排列也都是完整的矩形，如果不认为是矩形，那么就会缺少一些有理数。与有理数无穷大之间不能再插入有理数的有理数是趋近无穷大有理数，记为→∞。观察图1中有理数的分布可看出，此矩阵左上角至右下角对角线上有理数的值都是1，此对角线两侧的有理数都是分子与分母的数值只差1的有理数，这些有理数都是接近1的有理数，对角线两侧的有理数越向矩阵右下角延伸其有理数的数值越趋近1，无限趋近1的两个有理数在矩阵n行与n列交汇点1的左侧和上面（n→∞）。有理数矩阵的左下角是→∞，矩阵右上角是→1/∞。矩阵中的有理数是全部有理数，但按矩阵中箭头顺序排列有些有理数被排在→∞之后，→1/∞有理数和无限趋近1的两个有理数被排在→∞有理数之后。 图1 图1矩阵中第一列有理数就是自然数集。矩阵中每一行或每一列都有趋近无穷多的有理数，每一行或列都可以与自然数完全一一对应没有剩余，如果自然数与有理数矩阵中的一行或一列有理数作一一对应，此矩阵中的其它有理数会有余出，所以这样作对应不能证明有理数与自然数等势。采用对角线法按图1中箭头顺序有理数与自然数作一一对应也同样会出现有理数有余出的情况。 自然数与有理数按图1中箭头顺序作一一对应至矩阵左下角，有理数→∞自然数也→∞，自然数集中元素被对应用尽，但是有理数矩阵中的其它的按顺序排在→∞之后的有理数还没有与自然数对应到，存在于矩阵中的→1/∞有理数和排在矩阵右下角部分的无限趋近1的两个有理数没有与自然数对应到，无限趋近1的有理数也是有理数集中的元素，有理数集中的元素有剩余。因此对角线法不能证明自然数与正有理数等势。 图2是自然数与有理数作一一对应的一种对应方法，有理数按图2中箭头顺序与自然数对应至→∞时，自然数与之对应的也是→∞，图2中外层→∞至→-∞间还有趋近无穷多的有理数没有与自然数对应到，其中有无限趋近1、0、-1、-∞的有理数，这样作对应有理数有剩余。因此此方法不能证明自然数与有理数等势。 图2 图3是证明自然数与整数等势时整数的排列顺序。 0，1，-1，2，-2，3，-3，…，n，-n，…，→∞，→-∞ 图3 自然数与图3中按顺序排列的趋近无穷多的整数作一一对应到有理数→∞时，自然数与之对应的也是→∞，整数中→-∞有理数有剩余。因此这样对应不能证明自然数与整数等势。 自然数只有一个无限趋近方向，正有理数、有理数、整数有两个无限趋近方向，自然数只能与正有理数、有理数、整数的一个无限趋近方向作对应，无论怎样排列正有理数、有理数、整数会都有另一个无限趋近方向会余出。 以上自然数与正有理数、有理数、整数所作的一一对应中正有理数、有理数、整数都有剩余，因此不能证明它们与自然数等势。所以正有理数、有理数、整数与自然数可能不等势。
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