稳赚的投注策略与赌徒心态
前天有个同学给我打电话，说他在玩一个网游，其中有一个五行轮盘赌的游戏，他自己摸索出来了一个稳赚的策略，不过总觉得还有一些问题，想让我帮他分析分析。
于是大学之后再没有摸过网游的我，为了他描述的这个诱人的策略特地去体验了一把。这个轮盘赌游戏有五个选项：金木水火土，赔率是1：5。实际是有两个轮盘的，但为了简化问题，这里只分析一个轮盘，问题的本质都是一样的。从这个简单的规则与赔率，我可以断定系统肯定会作弊，有意压低你的选项的出现概率。因为在完全公平的博弈下，每个选项出现的概率是0.2，1赔5，期望收益是0，再加上另一个轮盘的额外奖励，无论怎么玩，这肯定是个玩家必赚的局。
于是我自己做了多次试验，固定某个选项，测试各个选项出现的概率，可以确定你的选项的概率肯定远低于20%。但这里讨论的重点不是系统的作弊，而是那个号称稳赚的策略，我同学已经屡试不爽地用它赚了大把的银子。我把他的策略移植到一个简单的伯努利过程中，大致明白了它有效性的原因，以及策略中存在的缺陷。然后再查了一下资料，如我所料，这果然是博弈论中早就已经被研究过的事物。实际中它在赌徒人群里也被广泛使用，它有一个可顾名思义的名字：加倍投注策略。
假定这样的一个现实中的伯努利过程：投掷硬币，如果正面朝上，赔你两倍，如果反面朝上，没收赌本。硬币正面朝上的概率设为p，在公平博弈的情况下，p=0.5。从概率论的直观感觉，只要试验次数足够多，这肯定是个不赚不赔的局，即期望收益为0。但赌徒们想出了一个策略，可以使得他们永远都在赚钱。下面的列表显示了随着局数的增加，如果不中，投注方式的变化。如果中了，就从第1局重新开始。
局数 赌本 累计成本 收益（赌本*2-成本）
1 1 1 1
2 2 3 1
3 4 7 1
4 8 15 1
5 16 31 1
6 32 63 1
7 64 127 1
… … … … …
看到了没！你的收益永远都是正的，虽然不多，但这意味着你只要有足够的耐心，你将肯定能赚回大把的银子。更令人难以置信的是，根据这个策略，你根本就可以无视概率p而赚钱，也就是说，无论庄家如何作弊，只p不为0，你肯定能赚到钱。
慢着！不知道你有没有注意到这样的一个事实：随着局数的上升，你的成本也在急剧地上升，你的成本公式是2^i-1，即成本随着局数i呈指数上升的趋势，又称为指数爆炸。指数爆炸意味着什么？不了解的同学至少也会听说过拿米粒填国际象棋格的故事，这里不再详述。于是，如果你那么倒霉，连续k局都不中，按照这样投注策略，你的累积成本将达到2^k-1，你下一局要付出2^k的本金才有可能把这个缺口补回来，如果这个k到达某一个其实不需要特别大的值，恭喜你，即便你是宇宙之王，这也足够你倾家荡产的了。于是很多赌徒在成功地赚取大把碎银之后，都死在了这么的一次偶然的机会里。我同学采用的策略基本也是属于这样的加倍投注策略，他觉得有点问题，这问题也正是出在某些时候他会发现赔本不够无法继续，相信我，这是所有采取类似策略的赌徒都会碰到的困境。
那么这种偶然的机会出现的可能性大吗？常识告诉我们：投硬币连续多次都是反面的可能性是极低的，实际上连续k次反面的概率是(1-p)^k。看！无论你采用多么高明的策略，最终还是绕不过这个概率p，庄家的作弊依然有效，他只要调低p的值，你遭遇到赌本困境的可能性就越大。而且，随着k的增加，虽然概率越来越小，但同时你的成本也越来越大，这时你放弃就全输了（描述性的说法是：只要你那么倒霉地碰上一次，输掉的就足够抵上你之前全部赢的），如果继续加注你会陷入指数爆炸的陷阱中。从数学期望上来说，这仍然是个取决于p才能定你赚赔的局。但赌徒的心态往往只会记住小概率事件，而忘掉高成本。
事实上如果这样的成功的策略真的存在，就会导致一个类似于永动机的悖论。这跟所有谬误性悖论一样，都有着一个衣着光鲜的外表，但却经不起仔细的推敲。
这其实还涉及一个更深入的博弈问题：在公平博弈中，是否存在着这么个策略，使你能获得比数学期望收益更高的收益，即投注策略是否可以凌驾于概率之上。虽然赌徒们想了很多办法，甚至为纯粹的概率随机事件臆想了很多的规律，但历来的研究说明这样的成功投注策略是不存在的。然而赌徒心态里总存在着这么个谬误：以为一个随机序列中一个事件发生的概率与之前的事件有关，即如果之前都没有发生，接下来它发生的概率就会变高。于是你就常常会在电视剧或现实中看到那些杀红了眼到处借赌本的人，很多时候是因为他们存在着这么个概率谬误。事实上，站在一开始的角度来看，连续k+1次反面的概率是极小的，但如果你足够倒霉，连续k次都是反面，那么第k+1次你获得正面的概率还是p，跟之前的失败没有任何关系。博弈论称这样的与之前观测无关的随机过程为鞅。这是事实，但这跟人的心理直觉严重不符合，所以人们往往不愿意去相信。这样的心态也促使了像加倍投注这样的策略的诞生，并让无数人深陷其中。
所以，跟庄家玩概率是玩不赢的，有贪必失，还是洗洗睡吧。
于是大学之后再没有摸过网游的我，为了他描述的这个诱人的策略特地去体验了一把。这个轮盘赌游戏有五个选项：金木水火土，赔率是1：5。实际是有两个轮盘的，但为了简化问题，这里只分析一个轮盘，问题的本质都是一样的。从这个简单的规则与赔率，我可以断定系统肯定会作弊，有意压低你的选项的出现概率。因为在完全公平的博弈下，每个选项出现的概率是0.2，1赔5，期望收益是0，再加上另一个轮盘的额外奖励，无论怎么玩，这肯定是个玩家必赚的局。
于是我自己做了多次试验，固定某个选项，测试各个选项出现的概率，可以确定你的选项的概率肯定远低于20%。但这里讨论的重点不是系统的作弊，而是那个号称稳赚的策略，我同学已经屡试不爽地用它赚了大把的银子。我把他的策略移植到一个简单的伯努利过程中，大致明白了它有效性的原因，以及策略中存在的缺陷。然后再查了一下资料，如我所料，这果然是博弈论中早就已经被研究过的事物。实际中它在赌徒人群里也被广泛使用，它有一个可顾名思义的名字：加倍投注策略。
假定这样的一个现实中的伯努利过程：投掷硬币，如果正面朝上，赔你两倍，如果反面朝上，没收赌本。硬币正面朝上的概率设为p，在公平博弈的情况下，p=0.5。从概率论的直观感觉，只要试验次数足够多，这肯定是个不赚不赔的局，即期望收益为0。但赌徒们想出了一个策略，可以使得他们永远都在赚钱。下面的列表显示了随着局数的增加，如果不中，投注方式的变化。如果中了，就从第1局重新开始。
局数 赌本 累计成本 收益（赌本*2-成本）
1 1 1 1
2 2 3 1
3 4 7 1
4 8 15 1
5 16 31 1
6 32 63 1
7 64 127 1
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看到了没！你的收益永远都是正的，虽然不多，但这意味着你只要有足够的耐心，你将肯定能赚回大把的银子。更令人难以置信的是，根据这个策略，你根本就可以无视概率p而赚钱，也就是说，无论庄家如何作弊，只p不为0，你肯定能赚到钱。
慢着！不知道你有没有注意到这样的一个事实：随着局数的上升，你的成本也在急剧地上升，你的成本公式是2^i-1，即成本随着局数i呈指数上升的趋势，又称为指数爆炸。指数爆炸意味着什么？不了解的同学至少也会听说过拿米粒填国际象棋格的故事，这里不再详述。于是，如果你那么倒霉，连续k局都不中，按照这样投注策略，你的累积成本将达到2^k-1，你下一局要付出2^k的本金才有可能把这个缺口补回来，如果这个k到达某一个其实不需要特别大的值，恭喜你，即便你是宇宙之王，这也足够你倾家荡产的了。于是很多赌徒在成功地赚取大把碎银之后，都死在了这么的一次偶然的机会里。我同学采用的策略基本也是属于这样的加倍投注策略，他觉得有点问题，这问题也正是出在某些时候他会发现赔本不够无法继续，相信我，这是所有采取类似策略的赌徒都会碰到的困境。
那么这种偶然的机会出现的可能性大吗？常识告诉我们：投硬币连续多次都是反面的可能性是极低的，实际上连续k次反面的概率是(1-p)^k。看！无论你采用多么高明的策略，最终还是绕不过这个概率p，庄家的作弊依然有效，他只要调低p的值，你遭遇到赌本困境的可能性就越大。而且，随着k的增加，虽然概率越来越小，但同时你的成本也越来越大，这时你放弃就全输了（描述性的说法是：只要你那么倒霉地碰上一次，输掉的就足够抵上你之前全部赢的），如果继续加注你会陷入指数爆炸的陷阱中。从数学期望上来说，这仍然是个取决于p才能定你赚赔的局。但赌徒的心态往往只会记住小概率事件，而忘掉高成本。
事实上如果这样的成功的策略真的存在，就会导致一个类似于永动机的悖论。这跟所有谬误性悖论一样，都有着一个衣着光鲜的外表，但却经不起仔细的推敲。
这其实还涉及一个更深入的博弈问题：在公平博弈中，是否存在着这么个策略，使你能获得比数学期望收益更高的收益，即投注策略是否可以凌驾于概率之上。虽然赌徒们想了很多办法，甚至为纯粹的概率随机事件臆想了很多的规律，但历来的研究说明这样的成功投注策略是不存在的。然而赌徒心态里总存在着这么个谬误：以为一个随机序列中一个事件发生的概率与之前的事件有关，即如果之前都没有发生，接下来它发生的概率就会变高。于是你就常常会在电视剧或现实中看到那些杀红了眼到处借赌本的人，很多时候是因为他们存在着这么个概率谬误。事实上，站在一开始的角度来看，连续k+1次反面的概率是极小的，但如果你足够倒霉，连续k次都是反面，那么第k+1次你获得正面的概率还是p，跟之前的失败没有任何关系。博弈论称这样的与之前观测无关的随机过程为鞅。这是事实，但这跟人的心理直觉严重不符合，所以人们往往不愿意去相信。这样的心态也促使了像加倍投注这样的策略的诞生，并让无数人深陷其中。
所以，跟庄家玩概率是玩不赢的，有贪必失，还是洗洗睡吧。
