斜拉桥几何非线性分析方法综述
斜拉桥概述：
斜拉桥是一种由塔、索、梁三种基本构件组成的高次超静定结构体系。它是一种桥面体系以加劲梁受压（密索）或受弯（稀索）为主、支承体系以斜拉索受拉及桥塔受压为主的桥梁。其结构特点是从索塔上用若干斜拉索将梁吊起，使主梁在跨内增加了若干弹性支点，从而降低主梁截面弯矩，减轻自重，提高了梁的跨越能力；同时，斜拉索拉力的水平分力对主梁起着轴向预应力作用，增强了主梁的抗裂性能。其结构体系形式多样，按塔的数量，可分为单塔、双塔和多塔；按索面可分为单索面和双索面；按塔、梁和墩的相互联结方式，可分为塔墩固结、塔梁固结、塔梁墩固结和漂浮体系等。最典型的孔跨布置形式为双塔三跨式与独塔双跨式。
斜拉桥几何非线性分析理论：
非线性问题可以分为三类：几何非线性问题、材料非线性问题以及接触问题。
几何非线性问题是指大位移问题，几何运动方程为非线性。在绝大多数大位移问题中，结构内部的应变是微小的。因为应变是微小的，对线性问题一般是根据变形前的位置来建立平衡方程。但对几何非线性问题，由于位移变化产生的二次内力不能忽略，荷载一变形关系为非线性，此时叠加原理不再适用，整个结构的平衡方程应按变形以后的位置来建立。
几何非线性理论一般可以分成大位移小应变即有限位移理论和大位移大应变理论即有限应变理论两种。
实际上，只有在材料出现塑性变形时或在结构上应用较少的类似于橡胶那样的材料才会遇到大的应变。对于斜拉索这样的钢材，在设计荷载下不会出现大的应变。因此，斜拉桥的几何非线性问题是属于大位移小应变问题。而材料的应力应变关系是线性的。桥梁工程中的柔性桥梁结构的恒载状态确定问题；柔性结构的恒、活载计算问题；桥梁结构的稳定分析问题等均属于几何非线性问题范畴。
斜拉桥的结构分析与传统的连续梁和刚构桥的结构分析相比，几何非线性的影响显著，特别是特大 跨径的斜拉桥，几何非线性效应尤为突出。 斜拉桥几何非线性影响因素概括为3个方面：
（1）垂度效应：斜拉索自重垂度引起的拉索拉力与变形之间的非线性关系；
（2）大变形效应：大位移产生的结构几何形状变化引起的几何非线性效应；
（3）弯矩和轴力的组合效应：由于斜拉索的拉力作用，主梁和索塔不仅承受弯矩而且还将承受巨大的轴向力，在主梁和索塔变形过程中，由于轴向力和弯矩相互影响，而产生所谓的梁-柱效应（P-Δ效应），使整个斜拉桥结构表现出几何非线性行为。
1、垂度效应
斜拉索总是存在自重的，在自重作用下一般呈悬垂状态，它不能简单地按一般拉伸杆件来计算，而应考虑垂度影响。所以在两端拉力的作用下，斜拉索的变形由两部分组成：一部分是斜拉索材料应变引起的弹性变形；另一部分是斜拉索自重引起的几何形状的改变，即自重垂度。尤其是施工阶段，由于拉力不大，垂度影响较大。
索受力后发生的弹性应变受材料的弹性模量控制。索的垂度变化与材料特性无关，完全是几何变化的结果，受索内张力、索的长度和重力控制。抗拉刚度随轴力变化而变化，索的拉力若为零或受压，则抗拉刚度变为零。垂度变化与索拉力不成线性关系。在荷载作用下，索中各股钢丝作相对运动，重新排列的结果使横截面更为紧密。这种变形引起的伸长叫构造伸长，大部分是永久持续的，它发生在一定的张力以下，所以，可在缆索的制作过程中，采用预张拉的办法予以消除。而非永久性的伸长可以通过折减的有效弹性模量来考虑。
2、大变形效应
斜拉桥是一种柔性的悬挂结构，其刚度较小，在正常的设计荷载作用下，其上部结构的几何位置变化就非常显著，因此，平衡方程不再是线性关系，小变形假设中的叠加原理也不再适用。因此在计算应力及反力时需要计入结构位移的影响，也就是位移理论。由于结构大位移的存在，荷载与位移呈非线性关系，力的叠加原理也不再适用。整个结构在不同阶段的平衡方程，应该由变形后的位置来建立，再通过不断地修正节点坐标，在新的位置建立新的平衡方程，如此循环，最后找到一个变形以后的平衡位置以及相应的内力。
结构大位移的存在会产生与荷载增量不成正比的附加应力。附加应力的计算可以采用逐步逼近的方法。根据结构初始几何状态，采用线性分析的方法求出结构内力和位移，使用带动坐标的混合法对几何位置加以修正，这时各单元的刚度矩阵也相应有所变化。利用变形后的刚度矩阵和结点位移求出杆端力。由于变形前后刚度不同，产生了结点不平衡荷载，将此不平衡荷载作为结点外荷载作用于结点上再次计算结构位移，如此迭代直至不平衡荷载小于允许范围为止。每个荷载增量加载期间假设刚度矩阵为一常数，即增量区间的左端点处对应的刚度矩阵。求解平衡方程，得出该荷载增量下的位移增量，由此可以在该荷载增量区间末对结构的几何位置进行修正，用于下一个荷载增量计算。这样，每次荷载增量下的结构刚度矩阵和杆端力都与当时的几何位置相对应，虽然在各荷载增量加载过程中作了线性假设，但只要荷载分得足够细，迭代次数足够多，就可以用这种分段线性来代替大位移引起的非线性。
3、弯矩和轴力的组合效应
斜拉桥的斜拉索拉力使其它构件处于弯矩和轴向力组合作用下，这些构件即使在材料满足虎克定律的情况下也会呈现非线性特性。构件在轴向力作用下的横向挠度会引起附加弯矩，而弯矩又影响轴向刚度的大小，此时叠加原理不再适用。但如果构件承受着一系列横向荷载和位移的作用，而轴向力假定保持不变，那么这些横向荷载和位移还是可以叠加的。因此，轴向力可以被看作为影响横向刚度的一个参数，一旦该参数对横向的影响确定下来，就可以采用线性分析的方法进行近似计算。
有两种方法可以处理这种由压一弯共同作用引起的非线性问题：一是引入稳定函数，得到梁体单元刚度矩阵元素的修正系数，然后用修正系数在迭代中不断地对小位移线弹性刚度矩阵进行修正；或者在计算单元刚度矩阵时考虑几何刚度矩阵的影响。二是从实际的应变出发列出压弯共同作用的总应变方程，通过虚功原理，得到梁体单元的整体刚度矩阵。
斜拉桥的几何非线性有限元平衡方程，有全量列式和增量列式两种方法。其实质都是非线性方程。目前，解非线性方程是方法主要有：增量法、迭代法、增量迭代混合法。
几何非线性有限元方法：
1、完全的拉格朗日列式法（T.L.Formulation）
在整个分析过程中，以t=0时的位形作为参考，且参考位形保持不变，这种列式称为完全的拉格朗日列式（T.L法）
对于任意应力-应变关系与几何运动方程，杆系单元的平衡方程可由虚功原理推导得到：
式中各量分别为：应变矩阵，是单元应变与节点位移的关系矩阵；单元的应力向量；杆端位移向量；V是单元体积分域，对T.L列式， 是变形前的单元体积域；单元杆端力向量；
直接按上式建立单元刚度方程并建立结构有限元列式，称为全量列式法。在几何非线性分析中，按全量列式法得到的单元刚度矩阵和结构刚度矩阵往往是非对称的，对求解不利，因此多采用增量列式法。
将式（1）写成微分形式变形后得：
这就是增量形式T.L列式的单元平衡方程。
式中为：单元弹性刚度矩阵、单元初位移刚度矩阵或单元大位移刚度矩阵、初应力刚度矩阵、三个刚度矩阵之和，称为单元切线刚度矩阵。
2、修正的拉格朗日列式法（U.L.Formulation）
在建立t+∆t时刻物体平衡方程时，如果我们选择的参照位形不是未变形状态t=0时的位形，而是最后一个已知平衡状态，即本增量步起始的t时刻位形为参照位形，这种列式法称为修正的拉格朗日列式法（U.L列式）。
增量形式的U.L列式结构平衡方程可写成：
3、T.L列式与U.L列式的比较
T.L列式与U.L列式是不同学派用不同的简化方程及理论导出的不同方法，但是它们在相同的荷载增量步内其线性化的切线刚度矩阵应该相同，这一点已得到多个实际例题的证明。
T.L列式与U.L列式的不同点
比较内容 | T.L列式 | U.L列式 | 注意点
计算单刚的积分域 | 在初始构形的体积域内进行 | 在变形后的t时刻体积域内进行 | U.L列式必须保留节点坐标值
精度 | 保留了刚度阵中所有线性与非线性项 | 忽略了高阶非线性 | U.L列式的荷载增量不能过大
单刚组集成总刚 | 用初始时刻各单元结构总体坐标系中的方向余弦形成转换阵，计算过程不变 | 用变形后t时刻单元在结构总体坐标中的方向余弦形成转换阵，计算过程中不断改变 | U.L列式中组集荷载向量也必须注意方向余弦的改变
本构关系的处理 | 在大应变时，非线性本构关系不易引入 | 比较容易引入大应变非线性本构关系 | U.L方法更适用于混凝土徐变分析
从理论上讲，这这两种方法都可以用于各种几何非线性分析。T.L列式适用于大位移、中等转角和小应变的几何非线性问题，而U.L列式除了适用于上述问题外，还适用于非线性大应变分析、弹塑性徐变分析，可以追踪变形过程的应力变化。目前，桥梁非线性分析一般都采用U.L列式法。
几何非线性方程组的求解：
1、 增量法
增量法指荷载以增量的形式逐级加上去，在每个荷载增量作用过程中假设结构的刚度矩阵是不变的，在任一荷载增量区间内结点位移和杆端力都是由区间起点处的结构刚度求出，然后利用得到的结点位移和杆端力求出相对于增量区终点变形后位置上的结构刚度，作为下一个荷载增量起点的结构刚度。在任一荷载增量i级作用下的平衡方程为：
式中各量为：荷载增量区间起点处得结构整体刚度矩阵；荷载增量引起的结点位移变化量；结点荷载增量的大小。
荷载增量法就是把荷载与位移之间的曲线关系用被划分足够小的直线段来代替。因此，对于增量法而言，荷载增量的划分大小，直接影响到结果的精度，如果荷载增量取得足够小，误差虽然是累积的，但还是可以收敛到工程允许的范围内。但是对于荷载增量的大小却不易掌握。
2、 迭代法
迭代法是将整个外荷载一次性加到结构上，结点位移用结构变形前的切线刚度求得，然后根据变形后的结构计算结构刚度，求得杆端力。由于变形前后的结构刚度不同，产生结点不平衡荷载，为了满足结点平衡，将这些不平衡荷载作为结点荷载作用于各结点上，计算出相对于变形后的结点位移量，反复迭代过程，直至不平衡荷载小于允许值为止。
迭代过程中，如果刚度用的是前一步的切线刚度，则为切线刚度法，即Newton-Raphson法，如果在迭代过程中用的是割线刚度，则为割线刚度法。
与增量法相比，迭代法可以控制精度，但迭代法的位移、应力、应变是对应于总荷载的，不能得到结构在加载过程中各量变化的关系。
3、 混合法
采用增量法和迭代法综合运用的混合法可以加快收敛速度，对于大跨度斜拉桥桥这种迭代次数要求较高的结构是很适宜的。混合法中初始荷载和每次循环后的不平衡荷载都以增量的形式施加，在每个荷载增量后对结构刚度作一次调整。
假如两次迭代。第一次迭代的作用荷载为P，荷载增量为P/2，第一次迭代后的不平衡荷载为P-P’，第二次迭代的荷载增量为(P-P’)/2。
斜拉桥是一种由塔、索、梁三种基本构件组成的高次超静定结构体系。它是一种桥面体系以加劲梁受压（密索）或受弯（稀索）为主、支承体系以斜拉索受拉及桥塔受压为主的桥梁。其结构特点是从索塔上用若干斜拉索将梁吊起，使主梁在跨内增加了若干弹性支点，从而降低主梁截面弯矩，减轻自重，提高了梁的跨越能力；同时，斜拉索拉力的水平分力对主梁起着轴向预应力作用，增强了主梁的抗裂性能。其结构体系形式多样，按塔的数量，可分为单塔、双塔和多塔；按索面可分为单索面和双索面；按塔、梁和墩的相互联结方式，可分为塔墩固结、塔梁固结、塔梁墩固结和漂浮体系等。最典型的孔跨布置形式为双塔三跨式与独塔双跨式。
斜拉桥几何非线性分析理论：
非线性问题可以分为三类：几何非线性问题、材料非线性问题以及接触问题。
几何非线性问题是指大位移问题，几何运动方程为非线性。在绝大多数大位移问题中，结构内部的应变是微小的。因为应变是微小的，对线性问题一般是根据变形前的位置来建立平衡方程。但对几何非线性问题，由于位移变化产生的二次内力不能忽略，荷载一变形关系为非线性，此时叠加原理不再适用，整个结构的平衡方程应按变形以后的位置来建立。
几何非线性理论一般可以分成大位移小应变即有限位移理论和大位移大应变理论即有限应变理论两种。
实际上，只有在材料出现塑性变形时或在结构上应用较少的类似于橡胶那样的材料才会遇到大的应变。对于斜拉索这样的钢材，在设计荷载下不会出现大的应变。因此，斜拉桥的几何非线性问题是属于大位移小应变问题。而材料的应力应变关系是线性的。桥梁工程中的柔性桥梁结构的恒载状态确定问题；柔性结构的恒、活载计算问题；桥梁结构的稳定分析问题等均属于几何非线性问题范畴。
斜拉桥的结构分析与传统的连续梁和刚构桥的结构分析相比，几何非线性的影响显著，特别是特大 跨径的斜拉桥，几何非线性效应尤为突出。 斜拉桥几何非线性影响因素概括为3个方面：
（1）垂度效应：斜拉索自重垂度引起的拉索拉力与变形之间的非线性关系；
（2）大变形效应：大位移产生的结构几何形状变化引起的几何非线性效应；
（3）弯矩和轴力的组合效应：由于斜拉索的拉力作用，主梁和索塔不仅承受弯矩而且还将承受巨大的轴向力，在主梁和索塔变形过程中，由于轴向力和弯矩相互影响，而产生所谓的梁-柱效应（P-Δ效应），使整个斜拉桥结构表现出几何非线性行为。
1、垂度效应
斜拉索总是存在自重的，在自重作用下一般呈悬垂状态，它不能简单地按一般拉伸杆件来计算，而应考虑垂度影响。所以在两端拉力的作用下，斜拉索的变形由两部分组成：一部分是斜拉索材料应变引起的弹性变形；另一部分是斜拉索自重引起的几何形状的改变，即自重垂度。尤其是施工阶段，由于拉力不大，垂度影响较大。
索受力后发生的弹性应变受材料的弹性模量控制。索的垂度变化与材料特性无关，完全是几何变化的结果，受索内张力、索的长度和重力控制。抗拉刚度随轴力变化而变化，索的拉力若为零或受压，则抗拉刚度变为零。垂度变化与索拉力不成线性关系。在荷载作用下，索中各股钢丝作相对运动，重新排列的结果使横截面更为紧密。这种变形引起的伸长叫构造伸长，大部分是永久持续的，它发生在一定的张力以下，所以，可在缆索的制作过程中，采用预张拉的办法予以消除。而非永久性的伸长可以通过折减的有效弹性模量来考虑。
2、大变形效应
斜拉桥是一种柔性的悬挂结构，其刚度较小，在正常的设计荷载作用下，其上部结构的几何位置变化就非常显著，因此，平衡方程不再是线性关系，小变形假设中的叠加原理也不再适用。因此在计算应力及反力时需要计入结构位移的影响，也就是位移理论。由于结构大位移的存在，荷载与位移呈非线性关系，力的叠加原理也不再适用。整个结构在不同阶段的平衡方程，应该由变形后的位置来建立，再通过不断地修正节点坐标，在新的位置建立新的平衡方程，如此循环，最后找到一个变形以后的平衡位置以及相应的内力。
结构大位移的存在会产生与荷载增量不成正比的附加应力。附加应力的计算可以采用逐步逼近的方法。根据结构初始几何状态，采用线性分析的方法求出结构内力和位移，使用带动坐标的混合法对几何位置加以修正，这时各单元的刚度矩阵也相应有所变化。利用变形后的刚度矩阵和结点位移求出杆端力。由于变形前后刚度不同，产生了结点不平衡荷载，将此不平衡荷载作为结点外荷载作用于结点上再次计算结构位移，如此迭代直至不平衡荷载小于允许范围为止。每个荷载增量加载期间假设刚度矩阵为一常数，即增量区间的左端点处对应的刚度矩阵。求解平衡方程，得出该荷载增量下的位移增量，由此可以在该荷载增量区间末对结构的几何位置进行修正，用于下一个荷载增量计算。这样，每次荷载增量下的结构刚度矩阵和杆端力都与当时的几何位置相对应，虽然在各荷载增量加载过程中作了线性假设，但只要荷载分得足够细，迭代次数足够多，就可以用这种分段线性来代替大位移引起的非线性。
3、弯矩和轴力的组合效应
斜拉桥的斜拉索拉力使其它构件处于弯矩和轴向力组合作用下，这些构件即使在材料满足虎克定律的情况下也会呈现非线性特性。构件在轴向力作用下的横向挠度会引起附加弯矩，而弯矩又影响轴向刚度的大小，此时叠加原理不再适用。但如果构件承受着一系列横向荷载和位移的作用，而轴向力假定保持不变，那么这些横向荷载和位移还是可以叠加的。因此，轴向力可以被看作为影响横向刚度的一个参数，一旦该参数对横向的影响确定下来，就可以采用线性分析的方法进行近似计算。
有两种方法可以处理这种由压一弯共同作用引起的非线性问题：一是引入稳定函数，得到梁体单元刚度矩阵元素的修正系数，然后用修正系数在迭代中不断地对小位移线弹性刚度矩阵进行修正；或者在计算单元刚度矩阵时考虑几何刚度矩阵的影响。二是从实际的应变出发列出压弯共同作用的总应变方程，通过虚功原理，得到梁体单元的整体刚度矩阵。
斜拉桥的几何非线性有限元平衡方程，有全量列式和增量列式两种方法。其实质都是非线性方程。目前，解非线性方程是方法主要有：增量法、迭代法、增量迭代混合法。
几何非线性有限元方法：
1、完全的拉格朗日列式法（T.L.Formulation）
在整个分析过程中，以t=0时的位形作为参考，且参考位形保持不变，这种列式称为完全的拉格朗日列式（T.L法）
对于任意应力-应变关系与几何运动方程，杆系单元的平衡方程可由虚功原理推导得到：
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式（1） |
式中各量分别为：应变矩阵，是单元应变与节点位移的关系矩阵；单元的应力向量；杆端位移向量；V是单元体积分域，对T.L列式， 是变形前的单元体积域；单元杆端力向量；
直接按上式建立单元刚度方程并建立结构有限元列式，称为全量列式法。在几何非线性分析中，按全量列式法得到的单元刚度矩阵和结构刚度矩阵往往是非对称的，对求解不利，因此多采用增量列式法。
将式（1）写成微分形式变形后得：
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式（2） |
这就是增量形式T.L列式的单元平衡方程。
式中为：单元弹性刚度矩阵、单元初位移刚度矩阵或单元大位移刚度矩阵、初应力刚度矩阵、三个刚度矩阵之和，称为单元切线刚度矩阵。
2、修正的拉格朗日列式法（U.L.Formulation）
在建立t+∆t时刻物体平衡方程时，如果我们选择的参照位形不是未变形状态t=0时的位形，而是最后一个已知平衡状态，即本增量步起始的t时刻位形为参照位形，这种列式法称为修正的拉格朗日列式法（U.L列式）。
增量形式的U.L列式结构平衡方程可写成：
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式（3） |
3、T.L列式与U.L列式的比较
T.L列式与U.L列式是不同学派用不同的简化方程及理论导出的不同方法，但是它们在相同的荷载增量步内其线性化的切线刚度矩阵应该相同，这一点已得到多个实际例题的证明。
T.L列式与U.L列式的不同点
比较内容 | T.L列式 | U.L列式 | 注意点
计算单刚的积分域 | 在初始构形的体积域内进行 | 在变形后的t时刻体积域内进行 | U.L列式必须保留节点坐标值
精度 | 保留了刚度阵中所有线性与非线性项 | 忽略了高阶非线性 | U.L列式的荷载增量不能过大
单刚组集成总刚 | 用初始时刻各单元结构总体坐标系中的方向余弦形成转换阵，计算过程不变 | 用变形后t时刻单元在结构总体坐标中的方向余弦形成转换阵，计算过程中不断改变 | U.L列式中组集荷载向量也必须注意方向余弦的改变
本构关系的处理 | 在大应变时，非线性本构关系不易引入 | 比较容易引入大应变非线性本构关系 | U.L方法更适用于混凝土徐变分析
从理论上讲，这这两种方法都可以用于各种几何非线性分析。T.L列式适用于大位移、中等转角和小应变的几何非线性问题，而U.L列式除了适用于上述问题外，还适用于非线性大应变分析、弹塑性徐变分析，可以追踪变形过程的应力变化。目前，桥梁非线性分析一般都采用U.L列式法。
几何非线性方程组的求解：
1、 增量法
增量法指荷载以增量的形式逐级加上去，在每个荷载增量作用过程中假设结构的刚度矩阵是不变的，在任一荷载增量区间内结点位移和杆端力都是由区间起点处的结构刚度求出，然后利用得到的结点位移和杆端力求出相对于增量区终点变形后位置上的结构刚度，作为下一个荷载增量起点的结构刚度。在任一荷载增量i级作用下的平衡方程为：
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式中各量为：荷载增量区间起点处得结构整体刚度矩阵；荷载增量引起的结点位移变化量；结点荷载增量的大小。
荷载增量法就是把荷载与位移之间的曲线关系用被划分足够小的直线段来代替。因此，对于增量法而言，荷载增量的划分大小，直接影响到结果的精度，如果荷载增量取得足够小，误差虽然是累积的，但还是可以收敛到工程允许的范围内。但是对于荷载增量的大小却不易掌握。
2、 迭代法
迭代法是将整个外荷载一次性加到结构上，结点位移用结构变形前的切线刚度求得，然后根据变形后的结构计算结构刚度，求得杆端力。由于变形前后的结构刚度不同，产生结点不平衡荷载，为了满足结点平衡，将这些不平衡荷载作为结点荷载作用于各结点上，计算出相对于变形后的结点位移量，反复迭代过程，直至不平衡荷载小于允许值为止。
迭代过程中，如果刚度用的是前一步的切线刚度，则为切线刚度法，即Newton-Raphson法，如果在迭代过程中用的是割线刚度，则为割线刚度法。
与增量法相比，迭代法可以控制精度，但迭代法的位移、应力、应变是对应于总荷载的，不能得到结构在加载过程中各量变化的关系。
3、 混合法
采用增量法和迭代法综合运用的混合法可以加快收敛速度，对于大跨度斜拉桥桥这种迭代次数要求较高的结构是很适宜的。混合法中初始荷载和每次循环后的不平衡荷载都以增量的形式施加，在每个荷载增量后对结构刚度作一次调整。
假如两次迭代。第一次迭代的作用荷载为P，荷载增量为P/2，第一次迭代后的不平衡荷载为P-P’，第二次迭代的荷载增量为(P-P’)/2。
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