（重要补充 5.0）三门问题让你体验量子世界的奇妙

现在穷举所有的情况，然后数出中奖的情况的个数。用{}表示选手的第一次选择，用()表示主持人的选择。
在没有主持人搅局，单纯的三选一、一锤定音的规则下：
{车}、羊、羊
车、{羊}、羊
车、羊、{羊}
总共就这3种情况，它们是平权的。选中了的情况是1个，占1/3几率；选错了情况是2个，占2/3几率。结论正确，这说明平权假设是正确的。因为如果你认为羊比车多从而后两种情况的权重应该更大，那就会得出其他结果（选中率变为1/(1+1*p+1*q)，p、q为大于1的实数。），显然是不对的。
在主持人必须选出羊的规则下：
{车}、(羊)、羊
{车}、羊、(羊)
车、{羊}、(羊)
车、(羊)、{羊}
总共就这4种情况，它们是平权的。选手第一次就选中了的情况是2个，选手要换门才中奖的情况也是2个。不换与换的中奖率比为2/4：2/4=1：1。
在主持人随便选的规则下：
{车}、(羊)、羊
{车}、羊、(羊)
(车)、{羊}、羊 游戏终止。
车、{羊}、(羊)
(车)、羊、{羊} 游戏终止。
车、(羊)、{羊}
总共就这6种情况，它们是平权的。选手第一次就选中了的情况是2个，选手要换门才中奖的情况也是2个。不换与换的中奖率比为2/6：2/6=1：1。
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附带一句。如果一个待选门可以拉已经出局了的被亮出羊的那扇门形成组合来获得传说中的“2/3”几率的话，那么另一个待选门也可以这么做，因为这两个待选门并无差别，没理由一个可以玩鬼上身另一个却不可以。从而换跟不换的获奖率比是2/3：2/3=1：1，换不换没差别。
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简言之。亮羊之前的那次选择用1/3+(1/3+1/3)表示。换了更好的说法错在通过用1去减第一次就选了的那个门的在亮羊之后变得未归一化的几率值1/3来求组合()的几率值得到2/3。几率值在未归一化的时候是不能这样运算的。原因是第二公理。
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你们做的那个叫模拟，跟实验有原则性的不同。模拟需要把情形翻译成算法，而实验就是直接在自然世界上运行自然规律。如果编程者翻译错了，模拟出什么都是没意义的，成“真空中的球形鸡”的笑话了。
分歧在于亮羊操作改变了什么，1=1/3+(1/3+1/3)怎么变成1=1/2+(1/2+0)的？这里一个箱子的几率被探定，怎么就能改变那里箱子的几率？如果这些箱子离得足够远，这不就是超距作用吗？
确实费解。1/3显然比(1/3+1/3)小，如果没有亮羊操作，我拿1/3换(1/3+1/3)肯定是赚了。怎么你一探定这种优劣区别就没有了？
答案在探定上。说到探定，是否想起了那个著名的薛定谔的猫？一个二态（衰变、不衰变，等几率）系统——原子核，在进过探定之后必须选择一个状态，而不再能含有两个态的分量。
门在打开之前也是这样的二态系统（羊、车二态，其中羊态有占2/3几率，车态占1/3几率，）记做{2/3羊、1/3车}。整个游戏体系是由3个这样的二态系统系统构成的:
{2/3羊、1/3车}+{2/3羊、1/3车}+{2/3羊、1/3车}。
如果在这个体系上探测车，会得到：1/3车+1/3车+1/3车=1（辆）车
如果在这个体系上探测羊，会得到：2/3羊+2/3羊+2/3羊=2（只）羊
回到这个游戏，探定羊导致游戏体系从{2/3羊、1/3车}+{2/3羊、1/3车}+{2/3羊、1/3车}变到{2/3羊，1/3车}+{2/3羊、1/3车}+{3/3羊、0/3车}。
如果在这个体系上探测车，会得到：1/3车+1/3车+0/3车=2/3（辆）车
如果在这个体系上探测羊，会得到：2/3羊+2/3羊+3/3羊=7/3（只）羊
车、羊数目居然变了！所以得重新归一化。得：{1/2羊，1/2车}+{1/2羊、1/2车}+{1羊}。
如果在这个体系上探测车，会得到：1/2车+1/2车+0车=1（辆）车
如果在这个体系上探测羊，会得到：1/2羊+1/2羊+1羊=2（只）羊
经过车、羊数目不变所要求的重新归一化，可见车的几率是均分在2个没开的门上了。
这里的几率被探定会改变那里的几率，不管二者离开多远。EPR佯谬就是一个例子：处于自旋单态S=0的正、负电子组成的二元体系，你在这里 探定一个粒子的自旋态就会导致那边另一个粒子的自旋态也被确定。爱因斯坦到死都不相信会有这样非局域作用的事情发生，不过在1972实验（而不是模拟）验证了这种现象的存在。之后又有多次实验得出了同样的结论。最近的一次在2009年。
http://en.wikipedia.org/wiki/Bell_test_experiments
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认为换了更好是这样的想法：第一次选，你拿在手里的几率是1/3，余下的两个门集体拥有2/3。余下的两个门在被亮出一个羊之后，没打开的那个继承了它们以前集体拥有的2/3几率，所以换一下更好。
但是很遗憾，前面论述了，第二公理所带来的约束导致了这三个门所拥有的几率值不是相互独立的，当一个门被公布为是车的几率是0（即是羊的几率是1），余下的所有的门一起平分几率。认为一开始就被选了的那门就一直保持1/3几率的说法是不正确的，因为第二公理要求这门所拥有的几率是受其它门的所拥有的几率的影响的。
在单电子的双缝干涉中，如果你用手段探定电子从哪个缝里穿过了，干涉就不会发生。这是探定（某一选项的几率被确定为0或被确定为1）导致几率分配方式改变的一个例子，一个几率的不相互独立性导致的反直觉结果的例子。
如果主持人亮羊也是瞎蒙，就得考虑2种亮羊结果：
1.主持人亮出羊。游戏继续，接下的过程来跟主持人已知哪里有羊才去亮羊的一样。
2.主持人亮出车。游戏终止。余下两个门有车的几率都是0，即1=0+0+1。你怎么换都得不到车，所以换另一扇门同样不会增加你赢得汽车的机率！
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第二公理的直接后果是这些几率不是相互独立的，一项的改变必定导致其他项的改变。比如亮羊之后一项的几率就变成0，如果其他项不做出相应变化的话就会出现1=1/3+(1/3+0)这样荒诞的结果。
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重要补充
坚持继承1/3的说法无视了概率的公理化定义的这一内容：第二公理：归一性（Normality，Unitarity）：P(Ω) = 1。
整个游戏中几率的分布如下：
1=1/3+1/3+1/3 三个门，没开始选。
1=1/3+(1/3+1/3) 选了一个，从而被分成已选、未选两组。以括号标记。
1=1/3+(1/3+0) 从未选中亮出一只羊，此选项被确定为含羊从而含车的几率为0。
1=1/2+1/2 由于归一化公理的约束，几率重新分配，每个可选的门所含的几率从1/3变为1/2。
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%A9%9F%E7%8E%87
http://en.wikipedia.org/wiki/Probability_axioms
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三门问题（Monty Hall problem），出自美国的电视游戏节目Let's Make a Deal。问题的名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。问题如下：
参赛者会看见三扇关闭着的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车。而另外两扇门后面则各藏有一只山羊，选到它们什么都得不到。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。这时主持人会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。 　　
提问：换另一扇门是否会增加参赛者赢得汽车的机率？
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回答：不会。注意这里进行了2次选择。主持人消灭掉一个错误选项——那只羊之后，就是第二次选择。这是个二选一的问题了，每扇门的中奖率都是1/2，换门并不能提高中奖机会。
解释：不论第一次选择的结果怎样，都对第二次选择没有影响，只不过两个选项的名字变了，它们叫“换”和“不换”。主持人总能亮出那只羊，你总是在面对二选一。由于有亮羊的规则，第一次选择实际上是“平庸的”。
几率运算有一个非常重要的隐含条件：几率的归一性限制。当一只羊被亮出来之后，选项由3项变成2项，每项所分得的几率重新分配，即1/2【第一次选中的箱 子】、1/2【未被第一次选中的箱子】，而不是继承羊被亮出来之前的几率，即1/3【第一次选中的箱子】、(1/3 + 1/3)【亮出的羊+未被第一次选中的箱子】。羊由于被确定而失去了参与几率的资格。是不是有点像单电子的双缝干涉。
http://www.guokr.com/post/9314/#page=4