几何光学：光子的经典力学

程函方程(eikonal equation)是光粒子的经典力学运动方程。它可以由费马原理导出。
[;n\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(n^2\frac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}t}\right)=\frac{\partial n}{\partial x_i};],
其中 n 是介质折射率，[;x_i;] (i=1,2,3)标记光粒子的空间坐标。以下是程函方程的一些解。
光在两种介质的界面上发生折射。
 
                
                
图中深色背景为光密介质 n=sqrt(3)，浅色为光疏介质 n=1。取入射角60度，得折射角30度，服从折射定律。程函方程不但给出正确的折射角，而且也给出正确的介质光速。将程函方程应用到折射率连续变化的介质中，我们看到光粒子的运动轨迹会偏向高折射率的一侧，从而形成弯曲的光路。
                
                
将这个效应发挥到极致，我们就有可能把光粒子约束在光密介质附近，做匀速圆周运动。
                
                
这里，我们让光密物质在光疏介质的溶液里扩散，其密度形成高斯分布。光就可以被约束在这个高斯波包的边缘。
光子晶体是折射率在空间周期性变化的材料。一般来说，这是一个不适合用粒子图像来描写的体系，因为晶格的周期常常与光的波长类似，从而波动效应会十分明显。不过我们考虑晶格周期远大于波长的情形，那么我们可以看到，光就会在晶体内像一个粒子一样地与格点碰撞并散射。
                
                
显然，由于碰撞，光粒子实际走过的路径比直线要长，这部分地解释了为什么光在介质中传播得比真空慢（对高能光粒子适用）。有些时候，散射变得如此强烈，以至于光粒子不再按弹道方式传播，而开始以扩散的方式传播。
随着树脂镜片技术的进步，人们可以通过精心控制不同树脂材料的化学配比来实现折射率变化的透镜。比如下面这个透镜，从形状上来说是个凹透镜，但是它居然可以汇聚光线。
                
                
原因在于透镜的中心折射率大于边缘，因此从中心部分走过的光粒子，虽然具有较短的几何路程，但实际积累的光程（传播时间）却是较长的。所以这个凹透镜实际上等价于凸透镜。这种设计的优点在于，每一条光线在透镜的两个表面都是垂直入射的，这十分有效地减小了透镜表面对光的反射。