一个小问题以及科普一下实变函数

小宇宙
自学概率统计，补补测度论的知识。
小时候就一直想不明白一个问题，那就是我折一根木棒，能否完全准确地在棒子的中点折断。其实这个问题转换成数学语言就是，能否在一根实数轴上，找到一个有理数点？或者退一步说，在一维数轴上随机找到一个有理数点的概率是多少？
几年前学了实变函数后，这个问题终于尘埃落定，今天不知怎么又重新想到，还是来这里mark一下吧。
答案就是——0。仔细想想就可以明白，我们不可能正好找到棒子的二分点：0.5。由于不可能精确地保证0.50000000的7个零后第8位也是个零，操作上一点点细小的误差都可以使我们找到的这个中点可能是0.5000000013142708……；而本质上，这样的小数数位是无限的，你知晓下一位小数有个精度，也就是说，我们在这个问题上遇见的是无限不循环小数，即无理数。
用当时数分老师的通俗说法就是：有理数边上是无理数，无理数边上还是无理数。用勒贝格的话来说：[0,1]区间（可以对应到整个数轴）内无理数的测度为1，有理数的测度为0。而随机找到无理数的概率是1/1，找到有理数的概率是0/1。即零。
关于实变函数里的勒贝格积分，勒贝格本人也有个通俗的说法：假如我们要数一堆硬币，你可以按照面值来数，也可以按照拿到硬币的顺序来数。当然，勒贝格积分对应前者，黎曼积分对应后者。按照勒贝格积分的构思，会带来一系列新问题。首先，分割函数值范围后（区分出硬币的面值），所得点集不一定是个区间，也不一定是互不相交的有限个区间的并，而可能是一个分散而杂乱无章的点集及其并集。因此，这促使勒贝格去寻找一种测量一般点集“长度”的方案，并称点集的“长度”为测度。之后的研究，就是对于可测集了。
当然，勒贝格积分也有其缺陷。比如在反常积分中有些是黎曼可积的却被认为是不存在。此外，上世纪六十年代，R.Henstock等学者在相似于黎曼积分思想结构的基础上还开发出以他名字命名的比黎曼积分更广的积分理论。