数学、实在与美
数学、实在与美2010-10-23 23:03:25 人工智能
黄淼鑫
http://www.swarmagents.cn/swarma/detail.php?id=14028
（下面我所说的也是未来信息论的一些哲学基础）
整个数学就是空间和时间的性质与变换。物理学用数学表示是说---这些对象在空间和时间中有这些性质并遵守这种变换。
因此，我们可以说，数学本质上是关于纯粹时间和空间的物理学，数学是基础物理学的基础物理学。
相对于人而言，时间和空间是我们思维的格式化形式（如 NTFS FAT2之类），在当前科学的范围内，我们的思考必然存在于时间空间之中，必然用空间时间形式表达，不能用“时间空间格式”表示的任何存在（数据）都是没有（当前）科学意义的。
我们日常的语言以及精确的数学语言都是时间空间不同层次的表象。
表象分类：
普通语言环境：
我的范畴（形容词，副词，连词，介词，感叹词……）
空间范畴（名词，代词）
时间范畴（动词）语言也是时空的一种运动形式。
举例：太阳高高地照在山冈上。（太阳-名词，空间属性；高高的—形容词，是我这个观察者赋予系统的特定意义。山冈上-空间属性，山冈的表面）
“太阳高高地照在山冈上”----与薛定谔的波动方程一样，呵呵---摹写了时空中的那个状态。
高级语言环境：
数学是我们表达时空性质和变化的一种最基础的严格的表达形式。如果把数学分为几何学和代数学的话，那么几何学的本质就是对空间的摹写，而代数学是对时间的摹写（这是因为我们有一连串的运算，这里谈到的“代数”，并不单单指现代代数。任何算法，任何计算过程，都是一个接着一个地给出一连串步骤,现代计算机的发展使这一切看得很清楚。可参考Michael Atiyah的相关著作。有时我们也说用分析来取代狭义的几何概念。）。
因此整个数学就是关于时间空间的一门基础科学，当分析和线性代数结合，就产生了泛函分析和调和分析；当分析和群论结合，就产生了李群和李代数-----这就是时空本质的一类自然的分合与交错，在认识主体的格式化作用中，让世界圆融。（未来信息学正是将在这个出发点上，直接契合于时间与空间的本性，为解决基本问题提供工具）
实际上，在标准模型或弦理论等当代前沿理论体系里，绝大部分的重要的物理概念本质上就是它对应的数学概念。物理对象的性质和变化（换）本质上就是对象在时空中的性质及变化（或对象本身的时空化属性）。如M中所谓的粒子-----是空间中弦的不同震动；LQG的物质来源于彭罗斯网络的“步”。而整个经典的量子理论我们都可以认为本质上就是时空中的“一些矩阵（空间的一种属性）通过以非交换乘法（时间中的一种变换）”的一种现实的存在；一组叫住麦克思韦方程的线性偏微分方程和与之对应的著名的Yang-Mills方程一样，在时空中它们被物理学用来解释调控与物质结构有关的力；再如孤立子和混沌，不过是微分方程的某种状态，它们代表了不同的两端。孤立子代表非线性微分方程的无法预料的有组织的行为，而混沌代表的是无法预料的无组织的行为。不是我们发明了孤立子和混沌，而是它们作为一种时空的属性和变换形式，过去存在着，现在和将来继续存在着……。有趣的是，从科学史来看，几乎物理学中每一次沾沾自喜的发明之后（某种新空间属性或时间中的另类转换）都早存在于数学的时空运动之中，如相对论之于黎曼几何，LQG之于彭罗斯网络等等，比较杯具的是，弦理论本身竟是诞生于一个数学公式。（从这个角度看去，物理学的意义似乎就是告诉数学家们，应该把精力用在何处会更好，呵呵）。
21世纪以来，我们已经看得相对清楚一些了，在时空的源头，哲学，数学，基础物理学的界限已日趋模糊。从自然基础而言：哲学已成为系统分析的理论，基础物理学可用于系统设计，而数学成为了可选的程序语言。那么数学可以直接变成物理学吗？我觉得是可以的。但从科学发展史来，这种成功的概率不高，物理学对实验的依赖以及对基本概念关系的洞察是至关重要的。物理学的基本概念与数学的基本概念不在一个语言层次上。这两种学科的思维方法有较大的差别。但这种转化本身和相互促进已日益密切。比如在“散在群”(sporadic groups)中，有一个被叫住“魔群”的群，Michael认为“魔群是一个极其有意思的动物。有限单群分类本身关上了大门，但是魔群又开启了一扇大门”。它与数学的许多分支的很大一部分有着意想不到的联系，如与椭圆模函数的联系，甚至与理论物理和量子场论都有联系（我的看法是，还没有人真正理解如“魔群”类的变换的真正物理（时空）本质，一旦被物理学家贯通，将会有振奋人心的结果”。就是如Michael这样牛逼的数学家也同样关注着物理学的应用，并被其牵引。谁能说，这波人一不小心就完成了一次转换，变成物理学家了呢。实际上，如M理论这样抽象的理论，已很难分清数学与物理的界限。
这应该是现代意义下的经典一派的观点。实际上，笔者以为，科学的发展，已经到了这个层次，除了上述学科之外，基础理论已经不能坐视不管心理学与宗教要素了。（从数学上如何统一心理学与宗教，或者说作为时空中运动的另一形式，宗教与心理学关注的问题应该是一种什么样的形态，但这已是另一个问题，这里不作讨论）
说到这里，我们已能感觉到美的存在与绝对性，只要我们还是人（当前意义下的共同认定的关于人的定义或约定），时空运动的完美性就与物理学无关，但可通过物理学而展现。在更带分析味的方向上，我们可得非交换调和分析的理论。这是Fourier理论的推广，对于后者，Fourier级数或者是Fourier积分本质上对应于圆周和直线的交换李群，当我们用更为复杂的李群代替它们时，我们就可以得到一个非常漂亮、非常精巧并且将李群表示理论和分析融为一体的理论．在物理上的对称本质正是从此而出。所以那种超越性的美几乎就是形而上的诗情画意。只要我们还是人（当前意义下的共同认定的关于人的定义或约定），我们有一天就会有在人的范围内得到我们的终极理论。当我们已不是人（同前定义）时，原有的关于人的数学变换可能会失效。
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
时间空间的有很多的变换模式：如我们常见的归纳与递归，循环等当然也是一种时空中的一种变换。当面对特定的初始条件，我们所选用的变换可以是不同的。选取正确的变换是一门崇高的数学艺术，这其实正是群论的基本思想。从某种意义上来说，集合论反映了主体（或说观察者）对空间的摹写，群论（广义的分析背景下的）则是主要是对时间的摹写。对时间和空间的把握则把握了世界。【当然，要有更加地彻底认识，是不可能摆脱观察者本身的。这还得需要jake们的某种观察者理论，呵呵。如果最终jake们的观察者理论是一个科学意义上的理论，我猜想它的数学形式很可能会是某种流形(manifold)，就是那种在拓扑空间的基础上构建出来的微分运算的系统。这样就类似于泛函曾经扮演过的角色一样，用调和分析的利器的来实现自己。Jake们就能通过李群和李代数完成分析和代数的一个漂亮的联姻-------得到一种工具，从而实现观察者通过自身摹写时间和空间的本质的一类计算。】
例如：先有鸡还是现有蛋？回答这个问题选用一个什么样的变换是非常重要的。选用一般的线形变换多半会落入鸡与蛋的循环之中。实际上，在鸡与蛋的回溯过程之中，鸡，蛋本身的属性在不断地变化，我们需要非线性来描述复杂的变化。但是无论什么时候，线性都是具有根本地位的。没有线性的基础，就不可能存在所谓的非线性推广。我们常用的非线性化的方法包括流形和kernelization，这两者都需要在某个阶段回归线性。流形需要在每个局部建立和线性空间的映射，通过把许多局部线性空间连接起来形成非线性；而kernerlization则是通过置换内积结构把原线性空间“非线性”地映射到另外一个线性空间，再进行线性空间中所能进行的操作。实际上，在分析领域，线性的运算更是无处不在，微分，积分，傅立叶变换，拉普拉斯变换，还有统计中的均值，通通都是线性的。
正如先贤所说：“知易行难！”。我们知道这个道理，但当真的“不线性”时，是会很不舒服，很不习惯的，呵呵。正是由于一般线性变化的强大，我们才不由自主地选择习惯性的变化。
这如库恩（Kuhn,Thoms Samual.1922～1996）所犯过的错误一样，他在《科学革命的结构》中确定了科学革命的范式，也就是这里jake们以为的那种真理。如果我说“不可能有终极真理，真理只能是相对的”，这种说法听起来很舒服，但却是很难令人信服的。因为显然在逻辑上存在一个自我否定。一个在逻辑上都难以自圆其说的理论（结论）。你真的愿意相信？
如jake言：“我也不怎么看好现在人们都在追求的大统一理论，简直就跟放P一样，你把基础理论都统一了，人类也该灭亡了。科学的进步从来不体现为对旧有的问题完美解决，而是冒出一些看起来更本质的新问题出来，不断往新的层次上涌。”如果我们把jake这段话看成是一个“科学真理”的话，在逻辑上显然也有上面的命题里的两难处境：jake的真理里将会涌现出什么？不管它涌出了什么，总不能避免自相矛盾。
【我在这个坛子里老是这么说，可能给人挑刺的感觉，害得大家可能都不敢说话了，呵呵。但是，实际上，我们应看到问题的本质所在。那就是在时空变换中的变换模式的选择。（似乎这里有很多悖论，但我曾说过不存在悖论，这是另一层次上的问题，这里不论，也并不存在矛盾------这里再顺便罗嗦一句，这可能意味着一些高级宗教境界的科学合理性和必然性。）】
再如能量和物质转变的变换导致“分割”概念的意义消失，在不同的标度下，分割变换的本身再不能维持线性一致性。
库恩在《科学革命的结构》中究竟该如何“革自己的命”也是一个很难的两难问题。
如上所述，世界不是这么简单的。仅是一个不同于经典乘法的变换（无乘法交换律）就导致了量子力学的那么多古怪的结论。【算符代数与普通代数的最大区别是：乘法交换律对于算符代数一般不成立（而乘法结合律仍然成立）. 为了表征算符代数的这种特点，定义两个算符的对易子为
若对易子为零，则称这两个算符可对易；若对易子不为零，则称这两个算符不可对易。算符是否可对易，不仅具有数学意义，而且与量子力学测量理论密切相关，具有极其深刻、极其重要的物理意义和哲学意义.实际上，数学中的变换本质上是研究变换下的不变换，广义相对论的结论是如此神秘，本质上不过对应到时空中始终保持光速不变的所有变换下的自然结果。有朋友还认为，借用熵力的一些思想，可以用光速不变原理推出广义相对论，而不再启用等效原理。他认为等效原理作为广义相对论的基础，并不是必须的。这个事关大体，胡乱说说罢了，不能轻信，呵呵。】
因此，从逻辑上来说，如宇宙有多大的问题，最简单的线性的变换下的回答：就是无穷大。
另外我们也可构造“其它时空变换”下的一些问答：
例如：宇宙的大小U（空间属性）是相对于观察者M观察“半径-r”的一个奇异函数：那你自己玩吧，凭你自己想象了。再引入半径的“标度”，以致于可以定义不同标度内空间本身的属性，……再玩得深层一点,还可以定义当R>r时，M≮U(r)观察者由低维进入到了高维（可类比转化为“地球逃逸速度”的思维模式），如果这还是在希尔伯特的空间中变换的话，还不算高深，没到匪夷所思的境界…….实际上，这时大，小的概念本身早已消隐变换，问题可能变得极端复杂，而不可思议。
综上所述，数学的重要性可见一般！因为它很利，所以要小心。在没想清楚前，不应去胡乱套用数学，尽管这很high。特别是在金融界和经济学界，每年都有数以万计的垃圾公式和数学推导面试，不知耗费了多少人的时间。
数学不仅是我们心中的实在，也是客体的实在（对时间空间的实在性的摹写）（不妨看成阿赖耶识的真实表象，呵呵）。美发自于内心。
黄淼鑫
http://www.swarmagents.cn/swarma/detail.php?id=14028
（下面我所说的也是未来信息论的一些哲学基础）
整个数学就是空间和时间的性质与变换。物理学用数学表示是说---这些对象在空间和时间中有这些性质并遵守这种变换。
因此，我们可以说，数学本质上是关于纯粹时间和空间的物理学，数学是基础物理学的基础物理学。
相对于人而言，时间和空间是我们思维的格式化形式（如 NTFS FAT2之类），在当前科学的范围内，我们的思考必然存在于时间空间之中，必然用空间时间形式表达，不能用“时间空间格式”表示的任何存在（数据）都是没有（当前）科学意义的。
我们日常的语言以及精确的数学语言都是时间空间不同层次的表象。
表象分类：
普通语言环境：
我的范畴（形容词，副词，连词，介词，感叹词……）
空间范畴（名词，代词）
时间范畴（动词）语言也是时空的一种运动形式。
举例：太阳高高地照在山冈上。（太阳-名词，空间属性；高高的—形容词，是我这个观察者赋予系统的特定意义。山冈上-空间属性，山冈的表面）
“太阳高高地照在山冈上”----与薛定谔的波动方程一样，呵呵---摹写了时空中的那个状态。
高级语言环境：
数学是我们表达时空性质和变化的一种最基础的严格的表达形式。如果把数学分为几何学和代数学的话，那么几何学的本质就是对空间的摹写，而代数学是对时间的摹写（这是因为我们有一连串的运算，这里谈到的“代数”，并不单单指现代代数。任何算法，任何计算过程，都是一个接着一个地给出一连串步骤,现代计算机的发展使这一切看得很清楚。可参考Michael Atiyah的相关著作。有时我们也说用分析来取代狭义的几何概念。）。
因此整个数学就是关于时间空间的一门基础科学，当分析和线性代数结合，就产生了泛函分析和调和分析；当分析和群论结合，就产生了李群和李代数-----这就是时空本质的一类自然的分合与交错，在认识主体的格式化作用中，让世界圆融。（未来信息学正是将在这个出发点上，直接契合于时间与空间的本性，为解决基本问题提供工具）
实际上，在标准模型或弦理论等当代前沿理论体系里，绝大部分的重要的物理概念本质上就是它对应的数学概念。物理对象的性质和变化（换）本质上就是对象在时空中的性质及变化（或对象本身的时空化属性）。如M中所谓的粒子-----是空间中弦的不同震动；LQG的物质来源于彭罗斯网络的“步”。而整个经典的量子理论我们都可以认为本质上就是时空中的“一些矩阵（空间的一种属性）通过以非交换乘法（时间中的一种变换）”的一种现实的存在；一组叫住麦克思韦方程的线性偏微分方程和与之对应的著名的Yang-Mills方程一样，在时空中它们被物理学用来解释调控与物质结构有关的力；再如孤立子和混沌，不过是微分方程的某种状态，它们代表了不同的两端。孤立子代表非线性微分方程的无法预料的有组织的行为，而混沌代表的是无法预料的无组织的行为。不是我们发明了孤立子和混沌，而是它们作为一种时空的属性和变换形式，过去存在着，现在和将来继续存在着……。有趣的是，从科学史来看，几乎物理学中每一次沾沾自喜的发明之后（某种新空间属性或时间中的另类转换）都早存在于数学的时空运动之中，如相对论之于黎曼几何，LQG之于彭罗斯网络等等，比较杯具的是，弦理论本身竟是诞生于一个数学公式。（从这个角度看去，物理学的意义似乎就是告诉数学家们，应该把精力用在何处会更好，呵呵）。
21世纪以来，我们已经看得相对清楚一些了，在时空的源头，哲学，数学，基础物理学的界限已日趋模糊。从自然基础而言：哲学已成为系统分析的理论，基础物理学可用于系统设计，而数学成为了可选的程序语言。那么数学可以直接变成物理学吗？我觉得是可以的。但从科学发展史来，这种成功的概率不高，物理学对实验的依赖以及对基本概念关系的洞察是至关重要的。物理学的基本概念与数学的基本概念不在一个语言层次上。这两种学科的思维方法有较大的差别。但这种转化本身和相互促进已日益密切。比如在“散在群”(sporadic groups)中，有一个被叫住“魔群”的群，Michael认为“魔群是一个极其有意思的动物。有限单群分类本身关上了大门，但是魔群又开启了一扇大门”。它与数学的许多分支的很大一部分有着意想不到的联系，如与椭圆模函数的联系，甚至与理论物理和量子场论都有联系（我的看法是，还没有人真正理解如“魔群”类的变换的真正物理（时空）本质，一旦被物理学家贯通，将会有振奋人心的结果”。就是如Michael这样牛逼的数学家也同样关注着物理学的应用，并被其牵引。谁能说，这波人一不小心就完成了一次转换，变成物理学家了呢。实际上，如M理论这样抽象的理论，已很难分清数学与物理的界限。
这应该是现代意义下的经典一派的观点。实际上，笔者以为，科学的发展，已经到了这个层次，除了上述学科之外，基础理论已经不能坐视不管心理学与宗教要素了。（从数学上如何统一心理学与宗教，或者说作为时空中运动的另一形式，宗教与心理学关注的问题应该是一种什么样的形态，但这已是另一个问题，这里不作讨论）
说到这里，我们已能感觉到美的存在与绝对性，只要我们还是人（当前意义下的共同认定的关于人的定义或约定），时空运动的完美性就与物理学无关，但可通过物理学而展现。在更带分析味的方向上，我们可得非交换调和分析的理论。这是Fourier理论的推广，对于后者，Fourier级数或者是Fourier积分本质上对应于圆周和直线的交换李群，当我们用更为复杂的李群代替它们时，我们就可以得到一个非常漂亮、非常精巧并且将李群表示理论和分析融为一体的理论．在物理上的对称本质正是从此而出。所以那种超越性的美几乎就是形而上的诗情画意。只要我们还是人（当前意义下的共同认定的关于人的定义或约定），我们有一天就会有在人的范围内得到我们的终极理论。当我们已不是人（同前定义）时，原有的关于人的数学变换可能会失效。
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
时间空间的有很多的变换模式：如我们常见的归纳与递归，循环等当然也是一种时空中的一种变换。当面对特定的初始条件，我们所选用的变换可以是不同的。选取正确的变换是一门崇高的数学艺术，这其实正是群论的基本思想。从某种意义上来说，集合论反映了主体（或说观察者）对空间的摹写，群论（广义的分析背景下的）则是主要是对时间的摹写。对时间和空间的把握则把握了世界。【当然，要有更加地彻底认识，是不可能摆脱观察者本身的。这还得需要jake们的某种观察者理论，呵呵。如果最终jake们的观察者理论是一个科学意义上的理论，我猜想它的数学形式很可能会是某种流形(manifold)，就是那种在拓扑空间的基础上构建出来的微分运算的系统。这样就类似于泛函曾经扮演过的角色一样，用调和分析的利器的来实现自己。Jake们就能通过李群和李代数完成分析和代数的一个漂亮的联姻-------得到一种工具，从而实现观察者通过自身摹写时间和空间的本质的一类计算。】
例如：先有鸡还是现有蛋？回答这个问题选用一个什么样的变换是非常重要的。选用一般的线形变换多半会落入鸡与蛋的循环之中。实际上，在鸡与蛋的回溯过程之中，鸡，蛋本身的属性在不断地变化，我们需要非线性来描述复杂的变化。但是无论什么时候，线性都是具有根本地位的。没有线性的基础，就不可能存在所谓的非线性推广。我们常用的非线性化的方法包括流形和kernelization，这两者都需要在某个阶段回归线性。流形需要在每个局部建立和线性空间的映射，通过把许多局部线性空间连接起来形成非线性；而kernerlization则是通过置换内积结构把原线性空间“非线性”地映射到另外一个线性空间，再进行线性空间中所能进行的操作。实际上，在分析领域，线性的运算更是无处不在，微分，积分，傅立叶变换，拉普拉斯变换，还有统计中的均值，通通都是线性的。
正如先贤所说：“知易行难！”。我们知道这个道理，但当真的“不线性”时，是会很不舒服，很不习惯的，呵呵。正是由于一般线性变化的强大，我们才不由自主地选择习惯性的变化。
这如库恩（Kuhn,Thoms Samual.1922～1996）所犯过的错误一样，他在《科学革命的结构》中确定了科学革命的范式，也就是这里jake们以为的那种真理。如果我说“不可能有终极真理，真理只能是相对的”，这种说法听起来很舒服，但却是很难令人信服的。因为显然在逻辑上存在一个自我否定。一个在逻辑上都难以自圆其说的理论（结论）。你真的愿意相信？
如jake言：“我也不怎么看好现在人们都在追求的大统一理论，简直就跟放P一样，你把基础理论都统一了，人类也该灭亡了。科学的进步从来不体现为对旧有的问题完美解决，而是冒出一些看起来更本质的新问题出来，不断往新的层次上涌。”如果我们把jake这段话看成是一个“科学真理”的话，在逻辑上显然也有上面的命题里的两难处境：jake的真理里将会涌现出什么？不管它涌出了什么，总不能避免自相矛盾。
【我在这个坛子里老是这么说，可能给人挑刺的感觉，害得大家可能都不敢说话了，呵呵。但是，实际上，我们应看到问题的本质所在。那就是在时空变换中的变换模式的选择。（似乎这里有很多悖论，但我曾说过不存在悖论，这是另一层次上的问题，这里不论，也并不存在矛盾------这里再顺便罗嗦一句，这可能意味着一些高级宗教境界的科学合理性和必然性。）】
再如能量和物质转变的变换导致“分割”概念的意义消失，在不同的标度下，分割变换的本身再不能维持线性一致性。
库恩在《科学革命的结构》中究竟该如何“革自己的命”也是一个很难的两难问题。
如上所述，世界不是这么简单的。仅是一个不同于经典乘法的变换（无乘法交换律）就导致了量子力学的那么多古怪的结论。【算符代数与普通代数的最大区别是：乘法交换律对于算符代数一般不成立（而乘法结合律仍然成立）. 为了表征算符代数的这种特点，定义两个算符的对易子为
若对易子为零，则称这两个算符可对易；若对易子不为零，则称这两个算符不可对易。算符是否可对易，不仅具有数学意义，而且与量子力学测量理论密切相关，具有极其深刻、极其重要的物理意义和哲学意义.实际上，数学中的变换本质上是研究变换下的不变换，广义相对论的结论是如此神秘，本质上不过对应到时空中始终保持光速不变的所有变换下的自然结果。有朋友还认为，借用熵力的一些思想，可以用光速不变原理推出广义相对论，而不再启用等效原理。他认为等效原理作为广义相对论的基础，并不是必须的。这个事关大体，胡乱说说罢了，不能轻信，呵呵。】
因此，从逻辑上来说，如宇宙有多大的问题，最简单的线性的变换下的回答：就是无穷大。
另外我们也可构造“其它时空变换”下的一些问答：
例如：宇宙的大小U（空间属性）是相对于观察者M观察“半径-r”的一个奇异函数：那你自己玩吧，凭你自己想象了。再引入半径的“标度”，以致于可以定义不同标度内空间本身的属性，……再玩得深层一点,还可以定义当R>r时，M≮U(r)观察者由低维进入到了高维（可类比转化为“地球逃逸速度”的思维模式），如果这还是在希尔伯特的空间中变换的话，还不算高深，没到匪夷所思的境界…….实际上，这时大，小的概念本身早已消隐变换，问题可能变得极端复杂，而不可思议。
综上所述，数学的重要性可见一般！因为它很利，所以要小心。在没想清楚前，不应去胡乱套用数学，尽管这很high。特别是在金融界和经济学界，每年都有数以万计的垃圾公式和数学推导面试，不知耗费了多少人的时间。
数学不仅是我们心中的实在，也是客体的实在（对时间空间的实在性的摹写）（不妨看成阿赖耶识的真实表象，呵呵）。美发自于内心。
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