【转载】多复变函数论
多复变解析函数论是单复变解析函数论的自然推广．早在19世纪末，就已经把单复
变最简单的结果平行地推广到多复变，而且尝试把一些一般定理，如魏尔斯特拉斯定理
(整函数的表示问题)及米塔格—列夫勒定理(亚纯函数的有理分式表示)推广到多复变情
形．1895年，法国数学家库辛(P．Cousin ，1867—1933)提出库辛第一问题和第二问
题，即给定零点、极点作出相应亚纯函数问题．库辛对函数定义域G是整个n元复空间C∞
的情形(以及一些特殊情形)肯定地解决第一、第二问题，但一般情形一直到1935年才由
日本数学家冈洁(1901—1978)解决．他证明当G是全纯域时，库辛第一问题永远可解．而
第二问题即使对全纯域也还需要满足一定条件．这显示出全纯域的重要．但是多复变解
析函数的定义域远比单复变复杂，而且多复变解析函数还具有不同于单复变函数的独特
性质，这就是1906年由德国数学家哈托格斯(F．Hartogs，1874—1933)发现的向内可解
析开拓性：设Cn中的域G内有一个紧集K，只要G—K是连通的，任何在G—K上全纯函数都
可开拓到整个G上．这个性质对n＝1是决不成立的，由此多复变函数走上自己独立的发展
道路．对向外开拓，多复变情形也不同于单复变情形，即总有开拓不出去的全纯函数，
一般来讲，所有全纯函数都可以开拓到更大的域中去．而不具有这种性质的域则称为全
纯域．20世纪前半叶，多复变函数论的主要问题是研究全纯域的刻划问题．为此哈托格
斯及意大利数学家列维(E．E．Levi，1883—1917)引进伪凸性(也译拟凸性)的概念，
1910年列维提出列维问题：伪凸域是否全纯域？在这方面第一个重要结果是H·嘉当及德
国数学家图仑(P．Thullen，1907—)在1932年给出的：他们证明可以用全纯凸性来刻划
全纯域．但由全纯凸性过渡到伪凸性又经历了二十年．冈洁在1942年证明n=2的情形，到
1953年才证明一般情形，1954年诺盖(F．Norguet，1932—)及布列莫曼(H．J．
Bremermann，1926—)也独立证明同样结果，至此列维问题完全解决．
另外有一些沿着不同道路关于多复变解析函数的研究：德国数学家莱因哈特(K．
Reinhardt)于1921年开创的解析自同构的研究，博赫纳及伯格曼(S．Bergman， 1895—
1977)从1922年开始的核函数的研究．对单复变整函数及亚纯函数论的推广也并非易事，
法图等还引出皮卡定理的反例：解析映射f：C2→C2的函数行列式处处不为零，但f的象f
(C2)在C2中的余集却具有非空开集．1930年，H·嘉当证明解析映射的唯一性定理，但
1926年，儒利雅把正规族理论推广到多复变．在几何函数论方面，庞加莱早就知道C2中
圆盘与双圆柱不双全纯等价．关于自守函数的推广有两个方向：一个方向是由希尔伯特
及他的学生布鲁门塔尔(L．Blumenthal， 1876—1944)在20世纪初的工作开拓的，另一
个方向是西格尔从1935年到1950年的工作开拓的，这些工作与代数数论、李群的无穷维
表示与代数几何学联系在一起，形成当前十分活跃的领域． 最早的多复变函数论的综述
是奥斯古德1914年的书及1924年《函数论》第二卷第一版，但较全面的总结则是1929年
《函数论》第二卷第二版．其后的成就见于贝恩克(H．Behnke，1898—1979)及图仑的
erlichen)1934年版及1948年出版的博赫纳及马丁(W．T．Martin，1911—)《多复变》
(Several Complex Variables)两书中． 对于1950年以前的多复变，外尔在“半世纪的
数学”一文中说“多复变解析函数论，虽有一些深刻的结果，仍然还处于它的草创阶
段”．实际上，从1951年起，在拓扑学、微分几何学、抽象代数学、李群理论以及分析
学的发展的共同作用下多复变函数论迎来一个崭新的时期．
首先，研究对象已由多元复数空间Cn中的域推广到复解析流形及解析空间．1951年
德国数学家施泰因(K．Stein，1913—)把全纯域的性质抽象出来，定义了后来以他命名
的施泰因流形．它具有许多好的性质，特别是在1951年H·嘉当及塞尔在其上引进层系数
上同调及凝聚层的概念，用层上同调来表述分析成果，特别是库辛第一、第二问题．这
样一举解决定理A、B，反过来，用层上同调刻划施泰因流形．德国数学家格劳尔特(H．
Grau-ert，1930—)在1958年证明：复解析流形的相对紧域，如是强伪凸，则是施泰因流
形．1953年塞尔猜想：底及纤维均为施泰因空间，丛空间是否也是施泰因空间？这个问
题刺激了多复变特别是施泰因空间理论的发展．到1977年斯科达(H．Skoda)举出一个反
例．
复解析流形虽然是单复变解析函数的定义域——黎曼面(一维复流形)的自然推广，
但是许多自然定义的集合，最简单的像解析函数的零点集，一般并不是一个复解析流
形．因为不是每一点都有一个邻域与Cn双全纯等价．显然这是因为有奇点的缘故．为
此，必需把研究对象由复流形大大推广，这就是复空间或解析空间的概念．它们首先是
由贝恩克和施泰因在1951年引进的．50年代中期起，运用层上同调理论，格劳尔特、雷
姆尔特(R．Remmert，1930—)及施泰因等人得出一系列基本结果．
解析空间之间的映射中，重要的一类是正常映射(紧集的原象是紧的)．关于正常映
射的基本结果是1960年格劳尔特征明的直接象定理：f：X→Y是正常映射，则X上的凝聚
层的各次直接象都是Y的凝聚层．特别地f(X)是Y的解析子空间．另外，广中平佑还把奇
点解消定理推广到解析空间．
与单复变的情形不同，两个单连通的域不一定双全纯等价(存在一对一的保角或共
形映射)．庞加莱早就指出二维复数空间C2中球体丨Z1丨2＋丨Z2丨2＜1与双柱丨Z1丨＜
1，丨Z2丨＜1之间不存在双全纯映射，这由它们的解析自同构群不同即可看出．也知道
Cn中存在单连通的全纯域，它没有非平凡的自同构．一般的解析空间的自同构群，只有
个别特殊结果，而它们之间映射的普遍定理，只有费弗曼在1974年证明的扩张定理：如
果Cn中两个严格伪凸域D1，D2之间存在映上同构，则该同构可扩张或包含边界的微分同
胚．1980年以后，有人给出简短的证明．
与施泰因流形对立的另一极端是紧复流形，其概念可追溯到1913年于紧黎曼面与光
滑代数曲线是同一事情的不同说法，紧复流形理论也可看成是代数几何学的推广，但在
方法上却有微分几何学及分析上的好处．非异射影代数流形都是凯勒流形，反过来不成
立，1954年小平邦彦证明只有约束型凯勒度量的复流形(浩治流形)才是代数流形．凯勒
流形上重要的工具是调和积分论，这是由浩治在1941年发展起来的，它可看成黎曼面上
调和函数论在复流形上的推广．调和积分理论把拓扑的关系通过具体的调和积分表示出
来，由此可以得出一系列深刻的结果，例如1954年小平邦彦证明的致零定理，由此把曲
率与拓扑性质联系起来．
1963年美国数学家柯恩(J．J．Kohn，1932—)对重要的伪凸流形，
方法不仅解决了许多函数论问题，而且把浩治—小平邦彦关于紧复流形的结果推广到非
紧、带边缘复流形上．
多复变解析函数论是单复变解析函数论的自然推广．早在19世纪末，就已经把单复
变最简单的结果平行地推广到多复变，而且尝试把一些一般定理，如魏尔斯特拉斯定理
(整函数的表示问题)及米塔格—列夫勒定理(亚纯函数的有理分式表示)推广到多复变情
形．1895年，法国数学家库辛(P．Cousin ，1867—1933)提出库辛第一问题和第二问
题，即给定零点、极点作出相应亚纯函数问题．库辛对函数定义域G是整个n元复空间C∞
的情形(以及一些特殊情形)肯定地解决第一、第二问题，但一般情形一直到1935年才由
日本数学家冈洁(1901—1978)解决．他证明当G是全纯域时，库辛第一问题永远可解．而
第二问题即使对全纯域也还需要满足一定条件．这显示出全纯域的重要．但是多复变解
析函数的定义域远比单复变复杂，而且多复变解析函数还具有不同于单复变函数的独特
性质，这就是1906年由德国数学家哈托格斯(F．Hartogs，1874—1933)发现的向内可解
析开拓性：设Cn中的域G内有一个紧集K，只要G—K是连通的，任何在G—K上全纯函数都
可开拓到整个G上．这个性质对n＝1是决不成立的，由此多复变函数走上自己独立的发展
道路．对向外开拓，多复变情形也不同于单复变情形，即总有开拓不出去的全纯函数，
一般来讲，所有全纯函数都可以开拓到更大的域中去．而不具有这种性质的域则称为全
纯域．20世纪前半叶，多复变函数论的主要问题是研究全纯域的刻划问题．为此哈托格
斯及意大利数学家列维(E．E．Levi，1883—1917)引进伪凸性(也译拟凸性)的概念，
1910年列维提出列维问题：伪凸域是否全纯域？在这方面第一个重要结果是H·嘉当及德
国数学家图仑(P．Thullen，1907—)在1932年给出的：他们证明可以用全纯凸性来刻划
全纯域．但由全纯凸性过渡到伪凸性又经历了二十年．冈洁在1942年证明n=2的情形，到
1953年才证明一般情形，1954年诺盖(F．Norguet，1932—)及布列莫曼(H．J．
Bremermann，1926—)也独立证明同样结果，至此列维问题完全解决．
另外有一些沿着不同道路关于多复变解析函数的研究：德国数学家莱因哈特(K．
Reinhardt)于1921年开创的解析自同构的研究，博赫纳及伯格曼(S．Bergman， 1895—
1977)从1922年开始的核函数的研究．对单复变整函数及亚纯函数论的推广也并非易事，
法图等还引出皮卡定理的反例：解析映射f：C2→C2的函数行列式处处不为零，但f的象f
(C2)在C2中的余集却具有非空开集．1930年，H·嘉当证明解析映射的唯一性定理，但
1926年，儒利雅把正规族理论推广到多复变．在几何函数论方面，庞加莱早就知道C2中
圆盘与双圆柱不双全纯等价．关于自守函数的推广有两个方向：一个方向是由希尔伯特
及他的学生布鲁门塔尔(L．Blumenthal， 1876—1944)在20世纪初的工作开拓的，另一
个方向是西格尔从1935年到1950年的工作开拓的，这些工作与代数数论、李群的无穷维
表示与代数几何学联系在一起，形成当前十分活跃的领域． 最早的多复变函数论的综述
是奥斯古德1914年的书及1924年《函数论》第二卷第一版，但较全面的总结则是1929年
《函数论》第二卷第二版．其后的成就见于贝恩克(H．Behnke，1898—1979)及图仑的
erlichen)1934年版及1948年出版的博赫纳及马丁(W．T．Martin，1911—)《多复变》
(Several Complex Variables)两书中． 对于1950年以前的多复变，外尔在“半世纪的
数学”一文中说“多复变解析函数论，虽有一些深刻的结果，仍然还处于它的草创阶
段”．实际上，从1951年起，在拓扑学、微分几何学、抽象代数学、李群理论以及分析
学的发展的共同作用下多复变函数论迎来一个崭新的时期．
首先，研究对象已由多元复数空间Cn中的域推广到复解析流形及解析空间．1951年
德国数学家施泰因(K．Stein，1913—)把全纯域的性质抽象出来，定义了后来以他命名
的施泰因流形．它具有许多好的性质，特别是在1951年H·嘉当及塞尔在其上引进层系数
上同调及凝聚层的概念，用层上同调来表述分析成果，特别是库辛第一、第二问题．这
样一举解决定理A、B，反过来，用层上同调刻划施泰因流形．德国数学家格劳尔特(H．
Grau-ert，1930—)在1958年证明：复解析流形的相对紧域，如是强伪凸，则是施泰因流
形．1953年塞尔猜想：底及纤维均为施泰因空间，丛空间是否也是施泰因空间？这个问
题刺激了多复变特别是施泰因空间理论的发展．到1977年斯科达(H．Skoda)举出一个反
例．
复解析流形虽然是单复变解析函数的定义域——黎曼面(一维复流形)的自然推广，
但是许多自然定义的集合，最简单的像解析函数的零点集，一般并不是一个复解析流
形．因为不是每一点都有一个邻域与Cn双全纯等价．显然这是因为有奇点的缘故．为
此，必需把研究对象由复流形大大推广，这就是复空间或解析空间的概念．它们首先是
由贝恩克和施泰因在1951年引进的．50年代中期起，运用层上同调理论，格劳尔特、雷
姆尔特(R．Remmert，1930—)及施泰因等人得出一系列基本结果．
解析空间之间的映射中，重要的一类是正常映射(紧集的原象是紧的)．关于正常映
射的基本结果是1960年格劳尔特征明的直接象定理：f：X→Y是正常映射，则X上的凝聚
层的各次直接象都是Y的凝聚层．特别地f(X)是Y的解析子空间．另外，广中平佑还把奇
点解消定理推广到解析空间．
与单复变的情形不同，两个单连通的域不一定双全纯等价(存在一对一的保角或共
形映射)．庞加莱早就指出二维复数空间C2中球体丨Z1丨2＋丨Z2丨2＜1与双柱丨Z1丨＜
1，丨Z2丨＜1之间不存在双全纯映射，这由它们的解析自同构群不同即可看出．也知道
Cn中存在单连通的全纯域，它没有非平凡的自同构．一般的解析空间的自同构群，只有
个别特殊结果，而它们之间映射的普遍定理，只有费弗曼在1974年证明的扩张定理：如
果Cn中两个严格伪凸域D1，D2之间存在映上同构，则该同构可扩张或包含边界的微分同
胚．1980年以后，有人给出简短的证明．
与施泰因流形对立的另一极端是紧复流形，其概念可追溯到1913年于紧黎曼面与光
滑代数曲线是同一事情的不同说法，紧复流形理论也可看成是代数几何学的推广，但在
方法上却有微分几何学及分析上的好处．非异射影代数流形都是凯勒流形，反过来不成
立，1954年小平邦彦证明只有约束型凯勒度量的复流形(浩治流形)才是代数流形．凯勒
流形上重要的工具是调和积分论，这是由浩治在1941年发展起来的，它可看成黎曼面上
调和函数论在复流形上的推广．调和积分理论把拓扑的关系通过具体的调和积分表示出
来，由此可以得出一系列深刻的结果，例如1954年小平邦彦证明的致零定理，由此把曲
率与拓扑性质联系起来．
1963年美国数学家柯恩(J．J．Kohn，1932—)对重要的伪凸流形，
方法不仅解决了许多函数论问题，而且把浩治—小平邦彦关于紧复流形的结果推广到非
紧、带边缘复流形上．
变最简单的结果平行地推广到多复变，而且尝试把一些一般定理，如魏尔斯特拉斯定理
(整函数的表示问题)及米塔格—列夫勒定理(亚纯函数的有理分式表示)推广到多复变情
形．1895年，法国数学家库辛(P．Cousin ，1867—1933)提出库辛第一问题和第二问
题，即给定零点、极点作出相应亚纯函数问题．库辛对函数定义域G是整个n元复空间C∞
的情形(以及一些特殊情形)肯定地解决第一、第二问题，但一般情形一直到1935年才由
日本数学家冈洁(1901—1978)解决．他证明当G是全纯域时，库辛第一问题永远可解．而
第二问题即使对全纯域也还需要满足一定条件．这显示出全纯域的重要．但是多复变解
析函数的定义域远比单复变复杂，而且多复变解析函数还具有不同于单复变函数的独特
性质，这就是1906年由德国数学家哈托格斯(F．Hartogs，1874—1933)发现的向内可解
析开拓性：设Cn中的域G内有一个紧集K，只要G—K是连通的，任何在G—K上全纯函数都
可开拓到整个G上．这个性质对n＝1是决不成立的，由此多复变函数走上自己独立的发展
道路．对向外开拓，多复变情形也不同于单复变情形，即总有开拓不出去的全纯函数，
一般来讲，所有全纯函数都可以开拓到更大的域中去．而不具有这种性质的域则称为全
纯域．20世纪前半叶，多复变函数论的主要问题是研究全纯域的刻划问题．为此哈托格
斯及意大利数学家列维(E．E．Levi，1883—1917)引进伪凸性(也译拟凸性)的概念，
1910年列维提出列维问题：伪凸域是否全纯域？在这方面第一个重要结果是H·嘉当及德
国数学家图仑(P．Thullen，1907—)在1932年给出的：他们证明可以用全纯凸性来刻划
全纯域．但由全纯凸性过渡到伪凸性又经历了二十年．冈洁在1942年证明n=2的情形，到
1953年才证明一般情形，1954年诺盖(F．Norguet，1932—)及布列莫曼(H．J．
Bremermann，1926—)也独立证明同样结果，至此列维问题完全解决．
另外有一些沿着不同道路关于多复变解析函数的研究：德国数学家莱因哈特(K．
Reinhardt)于1921年开创的解析自同构的研究，博赫纳及伯格曼(S．Bergman， 1895—
1977)从1922年开始的核函数的研究．对单复变整函数及亚纯函数论的推广也并非易事，
法图等还引出皮卡定理的反例：解析映射f：C2→C2的函数行列式处处不为零，但f的象f
(C2)在C2中的余集却具有非空开集．1930年，H·嘉当证明解析映射的唯一性定理，但
1926年，儒利雅把正规族理论推广到多复变．在几何函数论方面，庞加莱早就知道C2中
圆盘与双圆柱不双全纯等价．关于自守函数的推广有两个方向：一个方向是由希尔伯特
及他的学生布鲁门塔尔(L．Blumenthal， 1876—1944)在20世纪初的工作开拓的，另一
个方向是西格尔从1935年到1950年的工作开拓的，这些工作与代数数论、李群的无穷维
表示与代数几何学联系在一起，形成当前十分活跃的领域． 最早的多复变函数论的综述
是奥斯古德1914年的书及1924年《函数论》第二卷第一版，但较全面的总结则是1929年
《函数论》第二卷第二版．其后的成就见于贝恩克(H．Behnke，1898—1979)及图仑的
erlichen)1934年版及1948年出版的博赫纳及马丁(W．T．Martin，1911—)《多复变》
(Several Complex Variables)两书中． 对于1950年以前的多复变，外尔在“半世纪的
数学”一文中说“多复变解析函数论，虽有一些深刻的结果，仍然还处于它的草创阶
段”．实际上，从1951年起，在拓扑学、微分几何学、抽象代数学、李群理论以及分析
学的发展的共同作用下多复变函数论迎来一个崭新的时期．
首先，研究对象已由多元复数空间Cn中的域推广到复解析流形及解析空间．1951年
德国数学家施泰因(K．Stein，1913—)把全纯域的性质抽象出来，定义了后来以他命名
的施泰因流形．它具有许多好的性质，特别是在1951年H·嘉当及塞尔在其上引进层系数
上同调及凝聚层的概念，用层上同调来表述分析成果，特别是库辛第一、第二问题．这
样一举解决定理A、B，反过来，用层上同调刻划施泰因流形．德国数学家格劳尔特(H．
Grau-ert，1930—)在1958年证明：复解析流形的相对紧域，如是强伪凸，则是施泰因流
形．1953年塞尔猜想：底及纤维均为施泰因空间，丛空间是否也是施泰因空间？这个问
题刺激了多复变特别是施泰因空间理论的发展．到1977年斯科达(H．Skoda)举出一个反
例．
复解析流形虽然是单复变解析函数的定义域——黎曼面(一维复流形)的自然推广，
但是许多自然定义的集合，最简单的像解析函数的零点集，一般并不是一个复解析流
形．因为不是每一点都有一个邻域与Cn双全纯等价．显然这是因为有奇点的缘故．为
此，必需把研究对象由复流形大大推广，这就是复空间或解析空间的概念．它们首先是
由贝恩克和施泰因在1951年引进的．50年代中期起，运用层上同调理论，格劳尔特、雷
姆尔特(R．Remmert，1930—)及施泰因等人得出一系列基本结果．
解析空间之间的映射中，重要的一类是正常映射(紧集的原象是紧的)．关于正常映
射的基本结果是1960年格劳尔特征明的直接象定理：f：X→Y是正常映射，则X上的凝聚
层的各次直接象都是Y的凝聚层．特别地f(X)是Y的解析子空间．另外，广中平佑还把奇
点解消定理推广到解析空间．
与单复变的情形不同，两个单连通的域不一定双全纯等价(存在一对一的保角或共
形映射)．庞加莱早就指出二维复数空间C2中球体丨Z1丨2＋丨Z2丨2＜1与双柱丨Z1丨＜
1，丨Z2丨＜1之间不存在双全纯映射，这由它们的解析自同构群不同即可看出．也知道
Cn中存在单连通的全纯域，它没有非平凡的自同构．一般的解析空间的自同构群，只有
个别特殊结果，而它们之间映射的普遍定理，只有费弗曼在1974年证明的扩张定理：如
果Cn中两个严格伪凸域D1，D2之间存在映上同构，则该同构可扩张或包含边界的微分同
胚．1980年以后，有人给出简短的证明．
与施泰因流形对立的另一极端是紧复流形，其概念可追溯到1913年于紧黎曼面与光
滑代数曲线是同一事情的不同说法，紧复流形理论也可看成是代数几何学的推广，但在
方法上却有微分几何学及分析上的好处．非异射影代数流形都是凯勒流形，反过来不成
立，1954年小平邦彦证明只有约束型凯勒度量的复流形(浩治流形)才是代数流形．凯勒
流形上重要的工具是调和积分论，这是由浩治在1941年发展起来的，它可看成黎曼面上
调和函数论在复流形上的推广．调和积分理论把拓扑的关系通过具体的调和积分表示出
来，由此可以得出一系列深刻的结果，例如1954年小平邦彦证明的致零定理，由此把曲
率与拓扑性质联系起来．
1963年美国数学家柯恩(J．J．Kohn，1932—)对重要的伪凸流形，
方法不仅解决了许多函数论问题，而且把浩治—小平邦彦关于紧复流形的结果推广到非
紧、带边缘复流形上．
多复变解析函数论是单复变解析函数论的自然推广．早在19世纪末，就已经把单复
变最简单的结果平行地推广到多复变，而且尝试把一些一般定理，如魏尔斯特拉斯定理
(整函数的表示问题)及米塔格—列夫勒定理(亚纯函数的有理分式表示)推广到多复变情
形．1895年，法国数学家库辛(P．Cousin ，1867—1933)提出库辛第一问题和第二问
题，即给定零点、极点作出相应亚纯函数问题．库辛对函数定义域G是整个n元复空间C∞
的情形(以及一些特殊情形)肯定地解决第一、第二问题，但一般情形一直到1935年才由
日本数学家冈洁(1901—1978)解决．他证明当G是全纯域时，库辛第一问题永远可解．而
第二问题即使对全纯域也还需要满足一定条件．这显示出全纯域的重要．但是多复变解
析函数的定义域远比单复变复杂，而且多复变解析函数还具有不同于单复变函数的独特
性质，这就是1906年由德国数学家哈托格斯(F．Hartogs，1874—1933)发现的向内可解
析开拓性：设Cn中的域G内有一个紧集K，只要G—K是连通的，任何在G—K上全纯函数都
可开拓到整个G上．这个性质对n＝1是决不成立的，由此多复变函数走上自己独立的发展
道路．对向外开拓，多复变情形也不同于单复变情形，即总有开拓不出去的全纯函数，
一般来讲，所有全纯函数都可以开拓到更大的域中去．而不具有这种性质的域则称为全
纯域．20世纪前半叶，多复变函数论的主要问题是研究全纯域的刻划问题．为此哈托格
斯及意大利数学家列维(E．E．Levi，1883—1917)引进伪凸性(也译拟凸性)的概念，
1910年列维提出列维问题：伪凸域是否全纯域？在这方面第一个重要结果是H·嘉当及德
国数学家图仑(P．Thullen，1907—)在1932年给出的：他们证明可以用全纯凸性来刻划
全纯域．但由全纯凸性过渡到伪凸性又经历了二十年．冈洁在1942年证明n=2的情形，到
1953年才证明一般情形，1954年诺盖(F．Norguet，1932—)及布列莫曼(H．J．
Bremermann，1926—)也独立证明同样结果，至此列维问题完全解决．
另外有一些沿着不同道路关于多复变解析函数的研究：德国数学家莱因哈特(K．
Reinhardt)于1921年开创的解析自同构的研究，博赫纳及伯格曼(S．Bergman， 1895—
1977)从1922年开始的核函数的研究．对单复变整函数及亚纯函数论的推广也并非易事，
法图等还引出皮卡定理的反例：解析映射f：C2→C2的函数行列式处处不为零，但f的象f
(C2)在C2中的余集却具有非空开集．1930年，H·嘉当证明解析映射的唯一性定理，但
1926年，儒利雅把正规族理论推广到多复变．在几何函数论方面，庞加莱早就知道C2中
圆盘与双圆柱不双全纯等价．关于自守函数的推广有两个方向：一个方向是由希尔伯特
及他的学生布鲁门塔尔(L．Blumenthal， 1876—1944)在20世纪初的工作开拓的，另一
个方向是西格尔从1935年到1950年的工作开拓的，这些工作与代数数论、李群的无穷维
表示与代数几何学联系在一起，形成当前十分活跃的领域． 最早的多复变函数论的综述
是奥斯古德1914年的书及1924年《函数论》第二卷第一版，但较全面的总结则是1929年
《函数论》第二卷第二版．其后的成就见于贝恩克(H．Behnke，1898—1979)及图仑的
erlichen)1934年版及1948年出版的博赫纳及马丁(W．T．Martin，1911—)《多复变》
(Several Complex Variables)两书中． 对于1950年以前的多复变，外尔在“半世纪的
数学”一文中说“多复变解析函数论，虽有一些深刻的结果，仍然还处于它的草创阶
段”．实际上，从1951年起，在拓扑学、微分几何学、抽象代数学、李群理论以及分析
学的发展的共同作用下多复变函数论迎来一个崭新的时期．
首先，研究对象已由多元复数空间Cn中的域推广到复解析流形及解析空间．1951年
德国数学家施泰因(K．Stein，1913—)把全纯域的性质抽象出来，定义了后来以他命名
的施泰因流形．它具有许多好的性质，特别是在1951年H·嘉当及塞尔在其上引进层系数
上同调及凝聚层的概念，用层上同调来表述分析成果，特别是库辛第一、第二问题．这
样一举解决定理A、B，反过来，用层上同调刻划施泰因流形．德国数学家格劳尔特(H．
Grau-ert，1930—)在1958年证明：复解析流形的相对紧域，如是强伪凸，则是施泰因流
形．1953年塞尔猜想：底及纤维均为施泰因空间，丛空间是否也是施泰因空间？这个问
题刺激了多复变特别是施泰因空间理论的发展．到1977年斯科达(H．Skoda)举出一个反
例．
复解析流形虽然是单复变解析函数的定义域——黎曼面(一维复流形)的自然推广，
但是许多自然定义的集合，最简单的像解析函数的零点集，一般并不是一个复解析流
形．因为不是每一点都有一个邻域与Cn双全纯等价．显然这是因为有奇点的缘故．为
此，必需把研究对象由复流形大大推广，这就是复空间或解析空间的概念．它们首先是
由贝恩克和施泰因在1951年引进的．50年代中期起，运用层上同调理论，格劳尔特、雷
姆尔特(R．Remmert，1930—)及施泰因等人得出一系列基本结果．
解析空间之间的映射中，重要的一类是正常映射(紧集的原象是紧的)．关于正常映
射的基本结果是1960年格劳尔特征明的直接象定理：f：X→Y是正常映射，则X上的凝聚
层的各次直接象都是Y的凝聚层．特别地f(X)是Y的解析子空间．另外，广中平佑还把奇
点解消定理推广到解析空间．
与单复变的情形不同，两个单连通的域不一定双全纯等价(存在一对一的保角或共
形映射)．庞加莱早就指出二维复数空间C2中球体丨Z1丨2＋丨Z2丨2＜1与双柱丨Z1丨＜
1，丨Z2丨＜1之间不存在双全纯映射，这由它们的解析自同构群不同即可看出．也知道
Cn中存在单连通的全纯域，它没有非平凡的自同构．一般的解析空间的自同构群，只有
个别特殊结果，而它们之间映射的普遍定理，只有费弗曼在1974年证明的扩张定理：如
果Cn中两个严格伪凸域D1，D2之间存在映上同构，则该同构可扩张或包含边界的微分同
胚．1980年以后，有人给出简短的证明．
与施泰因流形对立的另一极端是紧复流形，其概念可追溯到1913年于紧黎曼面与光
滑代数曲线是同一事情的不同说法，紧复流形理论也可看成是代数几何学的推广，但在
方法上却有微分几何学及分析上的好处．非异射影代数流形都是凯勒流形，反过来不成
立，1954年小平邦彦证明只有约束型凯勒度量的复流形(浩治流形)才是代数流形．凯勒
流形上重要的工具是调和积分论，这是由浩治在1941年发展起来的，它可看成黎曼面上
调和函数论在复流形上的推广．调和积分理论把拓扑的关系通过具体的调和积分表示出
来，由此可以得出一系列深刻的结果，例如1954年小平邦彦证明的致零定理，由此把曲
率与拓扑性质联系起来．
1963年美国数学家柯恩(J．J．Kohn，1932—)对重要的伪凸流形，
方法不仅解决了许多函数论问题，而且把浩治—小平邦彦关于紧复流形的结果推广到非
紧、带边缘复流形上．
