零的起源
第一章
零：整个的故事
我们对并不存在的事物的了解能多于确实存在的事物，这不是故弄玄虚吗？——雷尼（Alfréd Renyi)[1]
约整数总是错误的。——约翰逊（Samuel Johnson)[2]
零的起源
零的非常不可思议之处在于它甚至摆脱了希腊人。——洛根（Robert Logan)[3]
当我们回过头来瞧一下我们起初在学校里学的计数系统时，零似乎是最容易掌握的一个数。我们用它记载没有什么留下时所出现的情况，就像6-6的结果，而任何数被零乘便成为零，就像5×0=0。然而，当我们写数时也用它标记一个空位输入，就像我们写一百零一为101。
这些是如此简单的事情——比长除法、毕达哥拉斯定理或代数简单得多——因此容易设想，零必然是由无论谁以一个计数系统发展起来的算术的基本部分之一，而几何和代数之类较难的概念仅由最高级的文明才想到。但这是十分错误的。古希腊人发展了逻辑学和几何学（它们形成了一切现代数学的基础），但却从未引入零的符号。他们对它的整个概念深表怀疑。只有3个文明使用了零，其中每一个都远离后来进化为所谓西方世界的文明，且每一个都以很不相同的方法估计零的作用和意义。因此，为什么在西方零符号的出现曾是如此困难？这个困难与“无”有什么关系呢？
临近1999年末时，各种报纸上越来越多的新闻稿专注于由“千年虫”（Millennium Bug）引起的即将发生的厄运。这种睡眠、金钱和自信心的集体丧失的原因就是符号“零”，或者更确切地说，是两个零。在最初编写控制我们的交通和金融系统的计算机程序之际，计算机的存储空间是很少的——它在当时要比现在昂贵得多。[4] 因此节省存储空间便是节约钱。故当涉及为计算机所做的一切注明日期的时候，计算机不是存储（比方说）1965，而是只存储后两位数字，即65。那时没有人往前想到2000年那么远，届时计算机将面临搞清楚被截断的“日期”00的意义。然而如果说有一件事物是计算机实际上并不喜欢的，那便是模棱两可。对计算机来说，00意味着什么？对我们来说，它显然是2000年的缩写。可是计算机确实不知道它并不是1900年或1800年的缩写。突然间，你也许会被告知你的00年到期的信用卡已过期了99年。你出生在1905年是吗？计算机可能不久就会寄出一份新的小学入学申请表给你。然而，结果证明事情并不像悲观者所预言的那样糟糕。[5]
计数就像朗读，是在学校的最初日子里强加于我们的那些科目之一。人人学习同样的课程，可是花了几千年的时间才做到这一点。人类的各种语言数以千计，然而它们相互之间的差别却有如民族面貌及其影响的某种活跃的象征而激烈地增长，于是计数就已经成了一种真正的全人类通用的东西。从一颗近邻星球来的现代旅行者在对我们的语言及其书写体过多表示惊讶之余，很可能也会对我们的计算系统的完全一致性感到惊喜。数字系统看来到处都相同：有10个数字——l，2，3，4，5，6，7，8，9和O——并有一个简单的系统使谁都能表示想要的任一数量：这是一个由符号组成的通用语言。描述它们的文字会从一种语言到另一种语言而不同，但其符号却保持一样。数字是人类最重大的共享经验。
我们的计数系统最明显的限定性特征便是它使用了一个基数10。我们以十进制计数。10个1成为10；10个10成为100；以此类推。基数的这种选择由许多文明作出，而它的起源显然近在眼前便能找到，那就是我们的10个手指，最早的计数工具。有时在较先进的文明里人们发现这个基数与另一个基数20（手指加脚趾）混合使用，而欠先进的计数系统也许使用2或5作为基数。[6] 例外是如此之稀罕，因而值得提及。在美国，有人发现一个印第安人的计数系统是建立在以8为基数之上的。初看起来，它似乎非常奇特，直至人们理解他们也是手指计数者——只不过他们是计算手指之间的缝隙而不是10个手指。
并不非得成为一位数学史家才能了解在过去不同的时代里曾使用过其他数字系统。我们仍能发觉在某些方面不同于十进位形式的计数系统的痕迹。我们用60进位测量时间：l分钟为60秒，1小时为60分钟；且这种习俗在角度的测量中继续下去，正如在量角器或航海家的罗盘上。在别的地方还有20进位计数的遗迹：[7] “3个20加10岁”（three-score years and ten）即70岁是人生所期望的寿命。而在法语中80和90所对应的词是quatre-vingts和quatre-vingt-dix，即是4个20和4个20加10。在商业界，我们常常用罗（gross）或打（dozen）为单位订货，[1罗等于12打] 这是过去在某地曾使用12为基数的计数系统的证据。
10个数字：0，1，…，9到处使用，但另一个数字书写系统仍明显地存在于我们周围。罗马数字常常能在某些场合找到，那儿我们想要强调某个东西属于一个王朝，如亨利八世(Henry VIII），或者是传统的，像在市中心广场的钟面上的数字。然而罗马数字颇不同于我们在算术中使用的那些数字。它没有零符号。而且存储在这些符号里的信息也不相同。写下111，于是我们把它理解为一百加十加一：即一百一十一。然而对凯撒（Julius Caesar）而言，符号III便意指一加一加一：即三。这两个缺少的要素，即零符号和读一个符号所表示的数值时其位置的含义，正是处于人类的有效计数系统发展中核心地位的那些特征。
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1. A. Renyi, Dialogues in Mathematics, Holden Day, San Francisco (1976). 这段引语取自一段虚构的苏格拉底式对话。
2. J. Boswell, The Life of Johnson , vol. III.
3. R. K. Logan, The Alphabet Effect, St Martin’s Press, NY (1986), p.152 ，部分是对里德（ Constance Reid）的意译。
4. 一条方便的经验法则是穆尔定律，以英特尔公司奠基人穆尔（Gordon Moore）的名字命名， 1965年他提出，每块新的芯片大致比原先的容量扩大一倍，并在18～24个月内投入市场。
5. 你正在读这本书，这个事实说明我的电脑巳幸存下来了。但是，我依旧怀疑这全在电脑科学家的预料之中，因为使人困窘不安的是发现了这种情况，告诉我需要调整的电脑其实并不需要，而向我保证不要作调整的电脑却需要调整。
6. J. D. Barrow, Pi in the Sky , Oxford University Press (1992) .
7. “分数”（score）一词具有有趣的多种意义。它意指计数，如记分时所用；也指打标记；它还表示20。分数原先是在计量财产时用的木签上所作的数量标记。
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无之书——万物由何而生
作者: 约翰·D·巴罗
译者: 何妙福
出版社: 上海科技教育出版社
出版年: 2003-6
页数: 355
丛书: 哲人石丛书
第一章 零：整个的故事
第一节 零的起源
第二节 埃及：对“无”的需求
第三节 巴比伦：写在墙上的手迹
第四节 无输入问题和巴比伦的零
第五节 玛雅的零
第六节 印度的零
第七节 印度人对虚无的概念
第八节 流动的零
第九节 表示零的词的演化
第十节 最后的说明
零：整个的故事
我们对并不存在的事物的了解能多于确实存在的事物，这不是故弄玄虚吗？——雷尼（Alfréd Renyi)[1]
约整数总是错误的。——约翰逊（Samuel Johnson)[2]
零的起源
零的非常不可思议之处在于它甚至摆脱了希腊人。——洛根（Robert Logan)[3]
当我们回过头来瞧一下我们起初在学校里学的计数系统时，零似乎是最容易掌握的一个数。我们用它记载没有什么留下时所出现的情况，就像6-6的结果，而任何数被零乘便成为零，就像5×0=0。然而，当我们写数时也用它标记一个空位输入，就像我们写一百零一为101。
这些是如此简单的事情——比长除法、毕达哥拉斯定理或代数简单得多——因此容易设想，零必然是由无论谁以一个计数系统发展起来的算术的基本部分之一，而几何和代数之类较难的概念仅由最高级的文明才想到。但这是十分错误的。古希腊人发展了逻辑学和几何学（它们形成了一切现代数学的基础），但却从未引入零的符号。他们对它的整个概念深表怀疑。只有3个文明使用了零，其中每一个都远离后来进化为所谓西方世界的文明，且每一个都以很不相同的方法估计零的作用和意义。因此，为什么在西方零符号的出现曾是如此困难？这个困难与“无”有什么关系呢？
临近1999年末时，各种报纸上越来越多的新闻稿专注于由“千年虫”（Millennium Bug）引起的即将发生的厄运。这种睡眠、金钱和自信心的集体丧失的原因就是符号“零”，或者更确切地说，是两个零。在最初编写控制我们的交通和金融系统的计算机程序之际，计算机的存储空间是很少的——它在当时要比现在昂贵得多。[4] 因此节省存储空间便是节约钱。故当涉及为计算机所做的一切注明日期的时候，计算机不是存储（比方说）1965，而是只存储后两位数字，即65。那时没有人往前想到2000年那么远，届时计算机将面临搞清楚被截断的“日期”00的意义。然而如果说有一件事物是计算机实际上并不喜欢的，那便是模棱两可。对计算机来说，00意味着什么？对我们来说，它显然是2000年的缩写。可是计算机确实不知道它并不是1900年或1800年的缩写。突然间，你也许会被告知你的00年到期的信用卡已过期了99年。你出生在1905年是吗？计算机可能不久就会寄出一份新的小学入学申请表给你。然而，结果证明事情并不像悲观者所预言的那样糟糕。[5]
计数就像朗读，是在学校的最初日子里强加于我们的那些科目之一。人人学习同样的课程，可是花了几千年的时间才做到这一点。人类的各种语言数以千计，然而它们相互之间的差别却有如民族面貌及其影响的某种活跃的象征而激烈地增长，于是计数就已经成了一种真正的全人类通用的东西。从一颗近邻星球来的现代旅行者在对我们的语言及其书写体过多表示惊讶之余，很可能也会对我们的计算系统的完全一致性感到惊喜。数字系统看来到处都相同：有10个数字——l，2，3，4，5，6，7，8，9和O——并有一个简单的系统使谁都能表示想要的任一数量：这是一个由符号组成的通用语言。描述它们的文字会从一种语言到另一种语言而不同，但其符号却保持一样。数字是人类最重大的共享经验。
我们的计数系统最明显的限定性特征便是它使用了一个基数10。我们以十进制计数。10个1成为10；10个10成为100；以此类推。基数的这种选择由许多文明作出，而它的起源显然近在眼前便能找到，那就是我们的10个手指，最早的计数工具。有时在较先进的文明里人们发现这个基数与另一个基数20（手指加脚趾）混合使用，而欠先进的计数系统也许使用2或5作为基数。[6] 例外是如此之稀罕，因而值得提及。在美国，有人发现一个印第安人的计数系统是建立在以8为基数之上的。初看起来，它似乎非常奇特，直至人们理解他们也是手指计数者——只不过他们是计算手指之间的缝隙而不是10个手指。
并不非得成为一位数学史家才能了解在过去不同的时代里曾使用过其他数字系统。我们仍能发觉在某些方面不同于十进位形式的计数系统的痕迹。我们用60进位测量时间：l分钟为60秒，1小时为60分钟；且这种习俗在角度的测量中继续下去，正如在量角器或航海家的罗盘上。在别的地方还有20进位计数的遗迹：[7] “3个20加10岁”（three-score years and ten）即70岁是人生所期望的寿命。而在法语中80和90所对应的词是quatre-vingts和quatre-vingt-dix，即是4个20和4个20加10。在商业界，我们常常用罗（gross）或打（dozen）为单位订货，[1罗等于12打] 这是过去在某地曾使用12为基数的计数系统的证据。
10个数字：0，1，…，9到处使用，但另一个数字书写系统仍明显地存在于我们周围。罗马数字常常能在某些场合找到，那儿我们想要强调某个东西属于一个王朝，如亨利八世(Henry VIII），或者是传统的，像在市中心广场的钟面上的数字。然而罗马数字颇不同于我们在算术中使用的那些数字。它没有零符号。而且存储在这些符号里的信息也不相同。写下111，于是我们把它理解为一百加十加一：即一百一十一。然而对凯撒（Julius Caesar）而言，符号III便意指一加一加一：即三。这两个缺少的要素，即零符号和读一个符号所表示的数值时其位置的含义，正是处于人类的有效计数系统发展中核心地位的那些特征。
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1. A. Renyi, Dialogues in Mathematics, Holden Day, San Francisco (1976). 这段引语取自一段虚构的苏格拉底式对话。
2. J. Boswell, The Life of Johnson , vol. III.
3. R. K. Logan, The Alphabet Effect, St Martin’s Press, NY (1986), p.152 ，部分是对里德（ Constance Reid）的意译。
4. 一条方便的经验法则是穆尔定律，以英特尔公司奠基人穆尔（Gordon Moore）的名字命名， 1965年他提出，每块新的芯片大致比原先的容量扩大一倍，并在18～24个月内投入市场。
5. 你正在读这本书，这个事实说明我的电脑巳幸存下来了。但是，我依旧怀疑这全在电脑科学家的预料之中，因为使人困窘不安的是发现了这种情况，告诉我需要调整的电脑其实并不需要，而向我保证不要作调整的电脑却需要调整。
6. J. D. Barrow, Pi in the Sky , Oxford University Press (1992) .
7. “分数”（score）一词具有有趣的多种意义。它意指计数，如记分时所用；也指打标记；它还表示20。分数原先是在计量财产时用的木签上所作的数量标记。
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无之书——万物由何而生
作者: 约翰·D·巴罗
译者: 何妙福
出版社: 上海科技教育出版社
出版年: 2003-6
页数: 355
丛书: 哲人石丛书
第一章 零：整个的故事
第一节 零的起源
第二节 埃及：对“无”的需求
第三节 巴比伦：写在墙上的手迹
第四节 无输入问题和巴比伦的零
第五节 玛雅的零
第六节 印度的零
第七节 印度人对虚无的概念
第八节 流动的零
第九节 表示零的词的演化
第十节 最后的说明
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