想象第四维
虽然还有个后台没写好，还有毕业论文没写好，但是今天在地铁看书的时候突然想写一篇关于这个的文章，于是就写了……好吧我还是会脑子一热就干。还好只是写了4000来字……
本文只是笔者闲着无聊说说对第四维的猜想。笔者是一个科幻小说爱好者，并非物理专业更谈不上有什么高见，谨以此文总结一下自己对于第四维度的一些想法，列位看官当茶余饭后谈资即可，不必较真。若觉得我有说的不是之处，请务必吐槽。
首先说明一下，这里谈论的第四维并不是物理学的四维时空观，而是几何学角度的四维空间。四维时空观的第四维度是时间。而我想谈论的是几何学角度的第四维，表示一个空间概念，第四维拥有长度，与长宽高类似。
其实看到后面你会发现我说得很乱，等我有空再好好整理一下文章的结构。总得来说，我觉得三维生物想象四维世界是一件不太可能的事情。不是说我们没这样的想象力，而是我们没有这样的条件。我们是三维生物，我们所看到的四维世界也只是它在三维世界的投影。但当然，这无法阻挡我们想象的空间。如果你也像我一样喜欢《三体》的话，想必你也会去思考四维世界到底是怎样的。
你会发现有些东西是难以用文字表达的，唯有那影像在你脑中盘旋，挥之不去。
第四维是怎样的？
这个问题实在需要很强大的想象力，我们需要有一定的借鉴基础。刘慈欣在《三体》中有很多关于第四维度的描写。小说中有说到当三维世界的生物进入到四维世界的时候产生的视觉变化：1.无限细节 2.穿透。至于如何产生这些特点我们稍后讨论。（《三体》这部小说十分引人入胜，也让我对第四维这个概念第一次有了认识。）之后，我看了朋友介绍给我看的动画《平面王国》，我想刘慈欣先生应该也是从此片中获得过灵感。《平面王国》是讲述一个二维世界的故事，有一天三维时间的生物来到二维世界的王国，他帮助二维世界的一个学者发现了三维世界的真相，让它明白更高维度世界的存在，并进入了更高维度的世界体验一番。
那到底什么是第四维？简单来说，我们所在的世界是一个三维立体世界，有长宽高三个物理长度。如果我们建立一个立体坐标系，确定了原点之后，空间中每一个点都可以用一个三维坐标来确定(x,y,z)。而第四维，则是比三维世界多了一个维度，也就是说，我们的空间坐标系不再只有三个坐标轴(x,y,z)，而是有四个坐标轴。现在，展开你的想象力，第四个方向可以在哪里产生呢？
爱因斯坦的相对论说，这第四条坐标轴是时间，当我们进入宇宙飞船或到达宇宙之中而且速度始变快或开始接近光速时，我们能对比的找到时间的变化，能得到第四维度。这只是其中一种说法。
也有说前三维是位置，第四维是速率，第五六维是速率的指向等。
但是，时间并不是物理长度单位，至少在坐标系中，这不是一个物理长度单位。如果第四维度不是时间，而是和长宽高一样，可以丈量的长度单位呢？
坐标系与维度蜷缩
第四个坐标轴在哪里？
这个坐标轴的建立，我们可以参考二维坐标系到三维坐标系的变化去推导。在二维平面坐标系中，只有x,y轴且两条坐标轴相互平行。每个点用一个(x,y)坐标就可以确定，例如(1,1)可以表示为x=1,y=1这个点。那如果我们给平面坐标上面的点赋值呢？比如f[(1,1)]=1表示，在当前平面坐标系中，(1,1)这个点拥有1这个值。这个时候，我们就得到了三维空间坐标系。我们可以把平面坐标系中每个点带的值，看做是三维空间坐标系中的高(z轴的值)。x=1,y=1这个点的值是1，即f[(1,1)]=1，转化为三维坐标点(x=1,y=1,z=1)。
这样我们就从二维平面坐标系进入到了三维空间坐标系。由于x,y两个坐标轴都可以取(-∞，+∞)，我们假设(1,1)这个点可以赋的值的范围也是(-∞，+∞)，这样我们就得到了z轴。为了表示平面坐标系中每个点都可取(-∞，+∞)这个范围，所以平面坐标系中每个点(x,y)都可加入z轴长度，要表示这个长度，则引入了与x轴和y轴相互垂直的z轴。
我们可以总结一下z轴与x,y轴的关系：1. 与原有的所有坐标轴两两相互垂直2.取值为(-∞，+∞)
同理，从一维坐标到二维坐标系更加简单。当只有x轴时，每个点可以记为(x)例如(1)就是x=1这个点。每个点如果有一个数值并记为如(1)=1的形式，可转化成二维坐标系的（1,1），于是从一维坐标x轴到x,y轴组成的二维坐标系，我们多了y轴，而y轴也满足上面的两个条件：1. 与原有的所有坐标轴两两相互垂直2.取值为(-∞，+∞)
那么现在，我们按照这样的推导方式看看三维空间坐标系进入四维空间坐标系的情况呢？我们先为三维空间坐标系的每个点赋值，即f[(x,y,z)]=v的方式，假设f[(1,1,1)]=1，表示在(1,1,1)这个点的值是1。这个值假设能取(-∞，+∞)。但是这个时候我们发现若要生成多一条坐标轴来表示这个取值范围的时候，无法满足以上两个条件中的前者：与原有的所有坐标轴两两相互垂直。
原有的三个坐标轴已经相互垂直，在当前的空间里面已经无法再找到一条直线可以跟与原有的所有坐标轴两两相互垂直，那么无法建立新的坐标轴，我们如何表示每个点可以取(-∞，+∞)这个情况呢？这个时候就发生了蜷缩。
我们的第四条坐标轴，蜷缩在三维坐标系的点里面了。
其实同样道理，当三维空间坐标系中的z轴蜷缩之后剩下x轴和y轴，即(1,1,1)变为f[(1,1)]=1的情况。而二维到一维则是y轴蜷缩了，(1,1)变为f[(1)]=1。
由于我们现在生存的空间是三维世界，根据人类现在的知识体系，我们物理学常用的空间坐标系是三维坐标系。这足以描述我们世界上的几乎所有宏观物理运动模型。但从这个坐标系我们可以发现，三维以上的坐标已经蜷缩而无法展开（无法找到第四条坐标轴）。至少在我们这些三维世界的生物眼中，要找到蜷缩的第四维坐标，需要很丰富的想象力。而更高维度的坐标轴？第五维度？第六维度？想想f[(x,y,z)]=v是第四维度，那f[(x,y,z)]=(v,w)就是第五维了，即是三维空间中每个点包含的不只是(-∞，+∞)的坐标轴，而是一个平面了。那第六维就是三维空间中每个点都包含一个三维空间了。
聪明的，你告诉我，你能想象那个每个点都包含一个三维世界的世界是怎样的吗？
从《平面王国》想象四维世界
好吧，单从坐标轴去推导实在是太难展开想象了。（其实这也算是体现了数学是各种科学学科的基础吧）我们从更加直观的入手。首先如果你没看过《平面王国》这部动画的话，请你先去看一看（自己百度）。
看完了？好的，我们继续。
首先谈谈方向。故事中，当二维主角说他发现了两个新的方向(above,below)之后，马上受到别人的嘲笑。在他们平面的世界中，一直只有上下左右(up,down,left,right)四个方向。而且他们只能旋转。这不能怪其他人，因为在他们二维平面世界里面，的确只存在这四个方向。
但三维生物出现之后，为他展示了(above,below)两个方向是什么。当三维生物处于整个二维平面世界的above或者below且不与这个平面接触的时候，它不在二维世界出现。当它与这个二维平面接触的时候，它身体与二维世界接触的一部分进入了该世界，并在二维世界产生了投影。在三维世界，它是一个球，所以它与二维世界接触的时候产生的是圆，它在二维世界的投影是圆。
根据这部分剧情，我们来想象一下，四维世界与我们这个拥有六个方向的三维世界有什么不同呢？首先是方向。四维世界的方向应该比三维世界多两个。你看，二维（平面）世界有上下左右，一维世界（直线）只有左右，而零维则没有方向。所以空间中方向的数量应该是维度数量的两倍，故四维世界有八个方向，这与我们之前从坐标轴推导出来的结论是吻合的。（空间中有四条坐标轴，每条坐标轴各有正反两个方向）
还是那个问题，这两个方向在哪里？蜷缩了。
在《平面王国》最后，出现了超级立方体(Hypercube)，它是四维世界的立方体，而电影中它的形态则是在三维世界的投影。
再让我们谈谈视觉。我们都知道，我们三维生物看世界得到的是平面图像。相机照出来的照片也是平面的。《大设计》写道我们的大脑从视网膜读到眼睛生成的二维平面图像的数据排列并由它创生三维空间的印象。（所以透视画法只是用平面艺术的形式逆向推导了大脑处理视觉的运行机制。）从《平面王国》中我们看到，当二维生物来到三维世界中（或者作为三维生物的我们）去看二维生物的时候，我们是看到了他们的全部。没错，全部，每个细节。因为我们看二维生物的时候不存在视觉遮挡。二维世界的生物在第三维度没有长度，不会发生遮盖。当二维生物进入三维空间再看他的二维生物同伴的时候，他看到了同伴的内脏。
如果他还处在二维世界，那么按照刚刚说到的视觉定律，那么二维生物的视觉应该是一维的，他的大脑将其转化为二维平面的印象。因此他在看同伴的时候只看到一条线，而不会看到线后面的内脏。但当他进入三维空间，就看到二维空间的所有细节，没有遮挡。
因此，我们也可以类比推导，如果我们进入四维空间中，我们再看三维生物应该也是这样看到所有细节的，没有遮挡。想想这是什么概念？我承认我的想象力有点不够用了。
进入第四维
关于2012末日的说法有很多种，而我最喜欢“进入四维世界”这个说法，无他的，就是我想进入四维世界而已。
不过仔细想来，我觉得从低维世界进入高维世界是不可能的，因为你在那个新的维度没有长度。
什么意思？
好吧，让我们继续看看《平面王国》这个动画。动画中二维生物被带到三维世界中的时候，他成了一个纸片。他本来只有两个维度的长度，进入三维之后，那他第三维度的长度是多少呢？动画中用了纸片，大概是想表达他在第三个维度的长度是无。不是0，是无，毕竟0也是一个数值吧。他的第三个维度没有长度，却能遮挡视线，并且存在。
这有点让人难以接受。
我觉得空间中的物体必须要在每个坐标轴上长度，否则它是不存在这个空间里面的。
试想一下，如果一个三维生物进入四维空间，那么三维生物的第四维度的长度是多少？本来是无的，会自动生成一个数值吗？
所以我很想看看如果我们三维生物进入四维世界，那第四维度的长度从何而来？
当然，如果你说，在那个维度坐标轴中无长度一样可以生存，就好像在《平面王国》中二维生物进入三维世界之后是一张厚度为无的纸片。只是我们无法真实，这些都是猜想。
大概就这么多了。
其实从上面的几个点我们都可以看到《三体》里面和维度相关现象描写的东西。至于维度跌落于维度武器，嗯，再说吧。
本文只是笔者闲着无聊说说对第四维的猜想。笔者是一个科幻小说爱好者，并非物理专业更谈不上有什么高见，谨以此文总结一下自己对于第四维度的一些想法，列位看官当茶余饭后谈资即可，不必较真。若觉得我有说的不是之处，请务必吐槽。
首先说明一下，这里谈论的第四维并不是物理学的四维时空观，而是几何学角度的四维空间。四维时空观的第四维度是时间。而我想谈论的是几何学角度的第四维，表示一个空间概念，第四维拥有长度，与长宽高类似。
其实看到后面你会发现我说得很乱，等我有空再好好整理一下文章的结构。总得来说，我觉得三维生物想象四维世界是一件不太可能的事情。不是说我们没这样的想象力，而是我们没有这样的条件。我们是三维生物，我们所看到的四维世界也只是它在三维世界的投影。但当然，这无法阻挡我们想象的空间。如果你也像我一样喜欢《三体》的话，想必你也会去思考四维世界到底是怎样的。
你会发现有些东西是难以用文字表达的，唯有那影像在你脑中盘旋，挥之不去。
第四维是怎样的？
这个问题实在需要很强大的想象力，我们需要有一定的借鉴基础。刘慈欣在《三体》中有很多关于第四维度的描写。小说中有说到当三维世界的生物进入到四维世界的时候产生的视觉变化：1.无限细节 2.穿透。至于如何产生这些特点我们稍后讨论。（《三体》这部小说十分引人入胜，也让我对第四维这个概念第一次有了认识。）之后，我看了朋友介绍给我看的动画《平面王国》，我想刘慈欣先生应该也是从此片中获得过灵感。《平面王国》是讲述一个二维世界的故事，有一天三维时间的生物来到二维世界的王国，他帮助二维世界的一个学者发现了三维世界的真相，让它明白更高维度世界的存在，并进入了更高维度的世界体验一番。
那到底什么是第四维？简单来说，我们所在的世界是一个三维立体世界，有长宽高三个物理长度。如果我们建立一个立体坐标系，确定了原点之后，空间中每一个点都可以用一个三维坐标来确定(x,y,z)。而第四维，则是比三维世界多了一个维度，也就是说，我们的空间坐标系不再只有三个坐标轴(x,y,z)，而是有四个坐标轴。现在，展开你的想象力，第四个方向可以在哪里产生呢？
爱因斯坦的相对论说，这第四条坐标轴是时间，当我们进入宇宙飞船或到达宇宙之中而且速度始变快或开始接近光速时，我们能对比的找到时间的变化，能得到第四维度。这只是其中一种说法。
也有说前三维是位置，第四维是速率，第五六维是速率的指向等。
但是，时间并不是物理长度单位，至少在坐标系中，这不是一个物理长度单位。如果第四维度不是时间，而是和长宽高一样，可以丈量的长度单位呢？
坐标系与维度蜷缩
第四个坐标轴在哪里？
这个坐标轴的建立，我们可以参考二维坐标系到三维坐标系的变化去推导。在二维平面坐标系中，只有x,y轴且两条坐标轴相互平行。每个点用一个(x,y)坐标就可以确定，例如(1,1)可以表示为x=1,y=1这个点。那如果我们给平面坐标上面的点赋值呢？比如f[(1,1)]=1表示，在当前平面坐标系中，(1,1)这个点拥有1这个值。这个时候，我们就得到了三维空间坐标系。我们可以把平面坐标系中每个点带的值，看做是三维空间坐标系中的高(z轴的值)。x=1,y=1这个点的值是1，即f[(1,1)]=1，转化为三维坐标点(x=1,y=1,z=1)。
这样我们就从二维平面坐标系进入到了三维空间坐标系。由于x,y两个坐标轴都可以取(-∞，+∞)，我们假设(1,1)这个点可以赋的值的范围也是(-∞，+∞)，这样我们就得到了z轴。为了表示平面坐标系中每个点都可取(-∞，+∞)这个范围，所以平面坐标系中每个点(x,y)都可加入z轴长度，要表示这个长度，则引入了与x轴和y轴相互垂直的z轴。
我们可以总结一下z轴与x,y轴的关系：1. 与原有的所有坐标轴两两相互垂直2.取值为(-∞，+∞)
同理，从一维坐标到二维坐标系更加简单。当只有x轴时，每个点可以记为(x)例如(1)就是x=1这个点。每个点如果有一个数值并记为如(1)=1的形式，可转化成二维坐标系的（1,1），于是从一维坐标x轴到x,y轴组成的二维坐标系，我们多了y轴，而y轴也满足上面的两个条件：1. 与原有的所有坐标轴两两相互垂直2.取值为(-∞，+∞)
那么现在，我们按照这样的推导方式看看三维空间坐标系进入四维空间坐标系的情况呢？我们先为三维空间坐标系的每个点赋值，即f[(x,y,z)]=v的方式，假设f[(1,1,1)]=1，表示在(1,1,1)这个点的值是1。这个值假设能取(-∞，+∞)。但是这个时候我们发现若要生成多一条坐标轴来表示这个取值范围的时候，无法满足以上两个条件中的前者：与原有的所有坐标轴两两相互垂直。
原有的三个坐标轴已经相互垂直，在当前的空间里面已经无法再找到一条直线可以跟与原有的所有坐标轴两两相互垂直，那么无法建立新的坐标轴，我们如何表示每个点可以取(-∞，+∞)这个情况呢？这个时候就发生了蜷缩。
我们的第四条坐标轴，蜷缩在三维坐标系的点里面了。
其实同样道理，当三维空间坐标系中的z轴蜷缩之后剩下x轴和y轴，即(1,1,1)变为f[(1,1)]=1的情况。而二维到一维则是y轴蜷缩了，(1,1)变为f[(1)]=1。
由于我们现在生存的空间是三维世界，根据人类现在的知识体系，我们物理学常用的空间坐标系是三维坐标系。这足以描述我们世界上的几乎所有宏观物理运动模型。但从这个坐标系我们可以发现，三维以上的坐标已经蜷缩而无法展开（无法找到第四条坐标轴）。至少在我们这些三维世界的生物眼中，要找到蜷缩的第四维坐标，需要很丰富的想象力。而更高维度的坐标轴？第五维度？第六维度？想想f[(x,y,z)]=v是第四维度，那f[(x,y,z)]=(v,w)就是第五维了，即是三维空间中每个点包含的不只是(-∞，+∞)的坐标轴，而是一个平面了。那第六维就是三维空间中每个点都包含一个三维空间了。
聪明的，你告诉我，你能想象那个每个点都包含一个三维世界的世界是怎样的吗？
从《平面王国》想象四维世界
好吧，单从坐标轴去推导实在是太难展开想象了。（其实这也算是体现了数学是各种科学学科的基础吧）我们从更加直观的入手。首先如果你没看过《平面王国》这部动画的话，请你先去看一看（自己百度）。
看完了？好的，我们继续。
首先谈谈方向。故事中，当二维主角说他发现了两个新的方向(above,below)之后，马上受到别人的嘲笑。在他们平面的世界中，一直只有上下左右(up,down,left,right)四个方向。而且他们只能旋转。这不能怪其他人，因为在他们二维平面世界里面，的确只存在这四个方向。
但三维生物出现之后，为他展示了(above,below)两个方向是什么。当三维生物处于整个二维平面世界的above或者below且不与这个平面接触的时候，它不在二维世界出现。当它与这个二维平面接触的时候，它身体与二维世界接触的一部分进入了该世界，并在二维世界产生了投影。在三维世界，它是一个球，所以它与二维世界接触的时候产生的是圆，它在二维世界的投影是圆。
根据这部分剧情，我们来想象一下，四维世界与我们这个拥有六个方向的三维世界有什么不同呢？首先是方向。四维世界的方向应该比三维世界多两个。你看，二维（平面）世界有上下左右，一维世界（直线）只有左右，而零维则没有方向。所以空间中方向的数量应该是维度数量的两倍，故四维世界有八个方向，这与我们之前从坐标轴推导出来的结论是吻合的。（空间中有四条坐标轴，每条坐标轴各有正反两个方向）
还是那个问题，这两个方向在哪里？蜷缩了。
在《平面王国》最后，出现了超级立方体(Hypercube)，它是四维世界的立方体，而电影中它的形态则是在三维世界的投影。
再让我们谈谈视觉。我们都知道，我们三维生物看世界得到的是平面图像。相机照出来的照片也是平面的。《大设计》写道我们的大脑从视网膜读到眼睛生成的二维平面图像的数据排列并由它创生三维空间的印象。（所以透视画法只是用平面艺术的形式逆向推导了大脑处理视觉的运行机制。）从《平面王国》中我们看到，当二维生物来到三维世界中（或者作为三维生物的我们）去看二维生物的时候，我们是看到了他们的全部。没错，全部，每个细节。因为我们看二维生物的时候不存在视觉遮挡。二维世界的生物在第三维度没有长度，不会发生遮盖。当二维生物进入三维空间再看他的二维生物同伴的时候，他看到了同伴的内脏。
如果他还处在二维世界，那么按照刚刚说到的视觉定律，那么二维生物的视觉应该是一维的，他的大脑将其转化为二维平面的印象。因此他在看同伴的时候只看到一条线，而不会看到线后面的内脏。但当他进入三维空间，就看到二维空间的所有细节，没有遮挡。
因此，我们也可以类比推导，如果我们进入四维空间中，我们再看三维生物应该也是这样看到所有细节的，没有遮挡。想想这是什么概念？我承认我的想象力有点不够用了。
进入第四维
关于2012末日的说法有很多种，而我最喜欢“进入四维世界”这个说法，无他的，就是我想进入四维世界而已。
不过仔细想来，我觉得从低维世界进入高维世界是不可能的，因为你在那个新的维度没有长度。
什么意思？
好吧，让我们继续看看《平面王国》这个动画。动画中二维生物被带到三维世界中的时候，他成了一个纸片。他本来只有两个维度的长度，进入三维之后，那他第三维度的长度是多少呢？动画中用了纸片，大概是想表达他在第三个维度的长度是无。不是0，是无，毕竟0也是一个数值吧。他的第三个维度没有长度，却能遮挡视线，并且存在。
这有点让人难以接受。
我觉得空间中的物体必须要在每个坐标轴上长度，否则它是不存在这个空间里面的。
试想一下，如果一个三维生物进入四维空间，那么三维生物的第四维度的长度是多少？本来是无的，会自动生成一个数值吗？
所以我很想看看如果我们三维生物进入四维世界，那第四维度的长度从何而来？
当然，如果你说，在那个维度坐标轴中无长度一样可以生存，就好像在《平面王国》中二维生物进入三维世界之后是一张厚度为无的纸片。只是我们无法真实，这些都是猜想。
大概就这么多了。
其实从上面的几个点我们都可以看到《三体》里面和维度相关现象描写的东西。至于维度跌落于维度武器，嗯，再说吧。
