从酉空间延伸到复数域上的定义和应用，讨论一下

酉空间（具体说应该是复数域上的欧几里得空间）的向量内积规定为一个向量乘以另外一个向量的复共轭（将其每个复数分量替换为其共轭复数）。就是想讨论为什么会这么定义，实数域上的内积只是两个向量各分量的简单相乘。
我的想法如下，在很多物理学和工程学的应用中，需要用很多特殊的矩阵/向量及其变换，比如快速傅里叶变换，其中需要使用复数向量空间，也就是酉空间及其相关的变换，来降低处理问题的时间复杂度。但是常规的向量/矩阵变换都是在实数域上的，如何定义酉空间使其可以平行的使用实数域欧几里得空间的相关方法和定理就显得尤其重要。
这里最关键的应该是酉空间的生成，自然而然离不开一组正交基，使其满足封闭性、单位元、叠加性等等向量空间的基本性质。两个复向量如何正交？一般定义是内积等于0，这里并不需要共轭，可是如何使其具有几何意义，或者说如何使两个复向量的正交有具体化的含义？
因此，复向量必须先定义长度，才可能有具体的意义。这里的长度定义应该和实数域上的相同，这样其他更高级的定理、定义才能具有和实数域相同的数学结构基础。即复向量的长度是其自身内积的平方根，如果内积是两个复向量简单的相乘，那么自身内积一般是复数，其平方根也是复数，也就复向量的长度是复数！工程上向量的长度一般都为正实数
这样很难理解其具体的意义，如何定义复向量的单位化等等问题都有困难。如何使长度是正实数，这里就利用了复数的共轭性。向量内积规定为一个向量乘以另外一个向量的复共轭，当求自身向量内积时，用自身乘以自身的复共轭，结果是各复数分量模的平方和，其平方根在向量非0的情况下必定是正实数，问题解决了。
其实酉空间的提出正是为了方便在复数域上方便地应用实数域上的性质，内积的定义是人为规定的。
复数是一个非常强力的工具，可以方便、快速的解决很多难题，比如用系统分析中用复指数信号来快速生成正弦信号，然后来模拟周期信号，进而通过傅里叶/拉普拉斯变换来表示非周期信号，这可以说是一切系统分析的基础，而且系统的稳定性、极点、零点都是在复平面上进行的；还有通过快速傅里叶变换计算多项式乘法（各种进制都可以表示为多项式）；还可以用来求解复杂力学系统中的微积分方程。
当今从日常能见到的工程学、系统学，以致最前沿的量子理论、宇宙学都离不开复数的应用。
综上，我的观点是复数是工具，在数学结构一致的情况下，怎么方便快捷怎么定义复数域上的操作，然后使实数不能分析求解的问题变成可能。