闲论Atiyah-Singer指标定理（转载）
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开场白
闲论Atiyah-Singer指标定理（1）─引子
闲论Atiyah-Singer指标定理（2）─雅俗两故事，AS的实质
闲论Atiyah-Singer指标定理（3）先声─Riemann-Roch与Gauss-Bonnet-Chern
闲论Atiyah-Singer指标定理（4）─黑话破解，主要概念介绍
闲论Atiyah-Singer指标定理（5）─奇径通峰，AS之证明
闲论Atiyah-Singer指标定理（6）─回味无穷，总结与教训
闲论Atiyah-Singer指标定理（1）
（此文系一位署名polik的牛人所作，我十二分的佩服这位兄台的功力，敬重之情，无以言表，特此转载其文于此，与众位学习分享。）
闲论Atiyah-Singer指标定理
Nowadays, mathematicians tend to over-abstract things that in fact cannot be further abstracted, which not only dilutes the essence of concepts but also drives away potential students and users, and eventually, if this pathological mood is not cured, will make a lot of mathematicians breadless. ---------Vladimir Igorevich Arnold
开场白
余观天下学数众才，体察愈久，遗憾益多。开始决定献身数学时，大家都是聪明、愉快、可爱、活泼的，也是被别人视为天赋才俊。但是随着时间推进，一些人开始变愚蠢了，一些人开始变苦闷了，一些人开始变得令人讨厌了，一些人开始变古怪了，一些人变虚弱了。
更过一些时间，一些人已经是白痴了，一些人已经自杀了，一些人已经是罪犯了，一些人已经是疯子了，一些人累死了。现在走在这条路上的或朝这条路上走的仍然是千千万万，各种悲剧天天发生。身是献了，但白献了。还搭上翘首期望的家人亲友以及一些无辜的关连者。
万幸偶有小成大成者，却同时也惹出一堆冤家对头，倾扎之惨烈，不亚于黑帮火并。暂时胜者担心报复，除时时努力固守城池以外，也终日疑神疑鬼，久而变态失常，最终众叛亲离者绝非鲜见；一时败者则卧薪尝胆，时时司机反扑，报得一箭之仇，然现实常常是仇难报，气难消，遂焦躁不安，怨天尤人，久而变得古怪，抑郁，甚至崩溃。
为何开始看起来的一桩好事会变得这样惨呢？主要是态度不对。古人练功修行讲的德字主要是就是讲态度要正确。现在很多人，由首先喜欢数学崇拜数学变成拿数学当商品工具谋名获利，并以所得多少作为衡量成功与否的标志，多数人因此走入歧途是必然的。正确的态度是你玩数学或你与数学玩。以玩得开心为最高宗旨。既不要想通过学数学抱得美人归，住
进黄金屋，做得人上人，也不要想去光宗耀祖，恩泽乡里，更不要想去当所谓英雄为民族争光，报效国家，这些人充其量也就是被权贵玩来摆去的宠物狗。如果一开始就是以正确的态度学数言数，玩数之人就会永远保持聪明、愉快、可爱、活泼。如果是这样，我们看到的数学文章着作也决不是现在这样以狗狗互相威聂的方式写成声明书。
本文题头引用的数学物理大师也是教育大师Arnold的话，反映本人对数学（物理）界悲剧的另一些观察是也没有错误的。数学生到大二左右，就开始幻想脱离俗家尘世，进入不食人间烟火的状态。先是与"土得掉渣，难以启齿"的具体数字和图形决裂，然后是大胆抛弃"半土不洋，肤浅得很"的运算和公式，匆匆穿上光鲜的水货衣服（半懂不懂的外文书），擦上廉价的胭脂（网上抄来的作业），配上借来的首饰（一知半解的老师讲义），端着身子急急溶入"豪华典雅，宛如仙境"的各种抽象定义引理定理建构的"上流社会"。但是，正如Arnold指出的，不必要的抽象不但害人，终将害己。与学武功的人类比，过分抽象等于过份强调虚力、意志和策略而忽视实力、环境和具体的战术，好多从数之人走向悲剧，不光做不出数学成果，最终连一份谋生的差事都做不来，重蹈邯郸学步覆辙，实属自取其果，如果一开始就加以注意，完全可以避免。
鉴于上面几点，本文的第一个主要目的当然是要向外行以草包大众喜闻乐见的方式介绍一些常人望而生畏的着名数学难题，作点破除迷信，奚落权威的事。旧时艰涩书中物，进入平常百姓心，翰林神道华山剑，屠狗之辈亦善玩。既向有数学兴趣的人展示绝大多数的抽象是不必要的害人之物，另外也顺便将一些所谓的"高度抽象"概念之唬人外表揭穿──世上无神鬼，都是人炒起也，跟着抽象起哄的数学家中真正懂得实质的人并不多，与江湖郎中一样。本文另一个主要目的之一是（向数学家们或数学家们to be）示范如何以正确态度学数学，如何以正确态度讲数学。看看我如何讲数学，如何理解数学，希望给学数同道树个榜样。希望你们读完此文以后，不光是具体知识增长了，学数教数的态度也变得积极正面一些，个人生活变得快乐一些，减少悲剧的发生。方老师多年来以通俗的语言向普罗大众介绍现代生医，教我们识别害人的巫医毒药，教我们保健养生，功德无量，不可磨灭，经济价值和社会意义，则更无法估价。我辈应以他为楷模。其实方老师作功德的同时，也对自己的生活品质的提高有很大的帮助，所谓助人者幸福，助人者天佑。我写此文也完全是本着渡人利己的原则，因此，看官倘有收获，不必说谢谢，我已经收获了大头在先。
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闲论Atiyah-Singer指标定理（1）─引子
闲论Atiyah-Singer指标定理（2）─雅俗两故事，AS的实质
闲论Atiyah-Singer指标定理（3）先声─Riemann-Roch与Gauss-Bonnet-Chern
闲论Atiyah-Singer指标定理（4）─黑话破解，主要概念介绍
闲论Atiyah-Singer指标定理（5）─奇径通峰，AS之证明
闲论Atiyah-Singer指标定理（6）─回味无穷，总结与教训
闲论Atiyah-Singer指标定理（1）─引子
Atiyah-Singer指标定理，江湖黑话谓之AS。它集映射，流形，纤维丛，特征类，上同调，椭圆算子，Bott周期，范畴，K群等名草贵药于一丸，坊间流传，其外形神秘可畏，内在艰深难测。它作为一粒神丹，用得好，据说它能立解万毒，有还魂回阳之功；用得不好，七窍流血，凌迟而亡。另一方面，它又融微分几何，拓扑学，微分方程，代数几何等神刀鬼剑于一体，有幸亲眼目睹真身者皆曰：阴森冷峻，杀气腾腾。它作为一件兵器，使得好，所向披靡，固若金汤之城池不攻自破，平常骄王悍匪，纷纷挂表求降；使得不好，手抖脚颤，心慌意乱，迷魂丧智，以自宫了结。
西域数坛崇AS为20世纪数学的之里程碑，中土学数者则赞其为泰山颠峰，东海之底，景仰之情非科学者所能言表。数学科班出身者对之多谈虎色变，敬畏万分，偶被论及，或胡诌乱侃吓唬外人，或顾左右而言他。理论物理诸生则视其为峻岭奇峰，跃跃欲试以领略身临绝顶俯视众山之快感。然意欲登攀者，多数在此摔得身残心碎，从此一厥不振，消隐红尘，更悲者则是落得粉身碎骨，抱恨终天。少数登高而成吸得仙风获此宝器者，则耀武扬威，不可一世，每置对手于死地，更赖其奇功在江湖上呼风唤雨，坐定上排交椅。
如此神妙之仙丹，是谁炼成？如此威风之兵器，是谁铸就？倘真如上所述，则发明者功高胜天，非溢誉也。
抑或果真有所称之奇妙威风？无有明夸暗炒之嫌？
且看polik慢慢贴来。
（除第一、二两帖外，我争取以后每两天上一帖，约2─3页，以便看官有足够时间消化跟上，也希望有高人大师随时指点斧正，以利本坛众友共进。）
（我假定读者的门槛是修过一元多元微积分，如果还懂一点矩阵代数和简单微分方程的话就更好。）
闲论Atiyah-Singer指标定理（2）─雅俗两故事，AS定理的实质
AS指标定理果真有所称之奇妙威风？无有夸大暗炒之嫌？
要回答这些问题，我们必须了解AS指标定理讲了些什么。
先让我们讲一个小故事。听鼓。
晨钟暮鼓，寺庙常规。据说，一般和尚都能够根据钟鼓之音得知钟鼓是否完好，有的高僧则可以由钟鼓之音得知气候演变进而推得
世道之走向，小则为善男信女解疑释惑，指点迷津，大则为皇室社稷消灾引福，护国安民。却说明朝初年，五台山因为助开国君朱元璋有功，获皇上特别褒扬恩赐，名号高出少林一等，住持乃率众弟子在练功场内，连日大作法事以庆祝之。场面异常壮观。仅大鼓黄钟就各有百余。一日，礼至中途，突然方丈大叫停止。发生何事？原来，老方丈听出其中有两面大鼓有破洞，其中一面有一个破洞在鼓底，另一面鼓则有两个破洞，一上一下。方丈高声叫停，缘自破鼓之音为寺庙之大忌，必得避之。仔细检视，小和尚果然在两面大鼓上找出了那
几个小小破洞。
高僧凭借鼓音，即可得知鼓面必有破洞数处，何也？
再来讲第二个小故事。听床。
却说华北地域，短江学者老家，民风淳朴，某些方面却也相当开放。听床就是一个例子。说得直白一点，就是在夜晚躲在别人家墙根、窗下，偷听别人做爱。此种习俗源自何时，无从考证，但依该地史志，历代从无明令禁绝，（唯在某朝恐怖时期，听床是流氓罪可能判死刑，但犯案被逮者鲜见──谢谢LXS老师指出此点）。听床不光没有官家法律之束，那些能够经常播出爱事特别报导而又从未被逮的高手们反而会被当地人民视为楷模备享尊荣。近一段时间，骄人的听床经验甚至是某"先锋队员"的一个隐含的考项，因为听床高手既要牺牲睡眠，还要不怕夜深人静，更要定力足够在关键时刻不出声不失控；而这绝非易事，因为做爱者往往在猜到有人偷听时，会故意弄出特别撩人之声音以刺激偷听者，迫其失控而自曝其踪。对于听床失控者的惩罚相当严厉，轻则遭被听者逮住猛揍，不得还手，日后常常遭到街坊老小公开奚落，甚至终身受人戏谑，重则被当地人视为做事不牢，信用全无。听床高手每每会将新近故事添油加醋细细道来，既博得烧酒一壶，还乘机用淫语骚扰纯情女孩，或藉此与淫妇打情骂俏，更以其定力之高，扬名立万于社区。据说，有能"听"清床垫缺几根弹簧的高手，有的还能指出所缺弹簧之前后左右位置，更有甚者，可以判断出前夜因爱事力度过猛而失效的弹簧，事后乡邻率众到主家翻床验证，竟然完全相符。
每当如此场合，街坊如同过节，真笑声杂合假骂声，响彻邻里，和谐社会模范单位之锦旗，势在必得，听床师则荣加一等，气宇轩昂，旁的人也大拍手掌，作雀跃状。
偷窥者或听床师从嗤呀之声，即可得知床垫弹簧少了数根，何也？
法鼓破一个洞，声音不同，床垫少一根弹簧，嗤呀之声改变。列位看官可能未曾料到，上面这两个小故事，简单明了，妇孺皆懂，却道尽了AS指标定理之全部精义。
原来，不论是鼓面的振动，还是床垫的嗤呀，都满足一个微分方程，我们听到的声音就是这个微分方程的解。解不同，声音就不同，翻译成黑话就是边界条件不同，微分方程的解或曰微分算子的谱就会改变。边界条件包括鼓面，床垫的几何形状，更包括它们的拓扑结构 （如洞的数目）。AS就是说，从听到的鼓音或床垫的嗤呀声就知道鼓面的几何以及上面的破洞数，或床垫的形状以及弹簧少了几根。看到这，学过高中物理的人可能觉得一点都不怪：我们不就是从原子分子的光谱得知原子分子结构的吗？这里不就是将通名报姓者从原子分子换成鼓号或床垫而已？其实这离正确答案真的只差一点点了！再想一想，你说不定就此悟出一条更大的真理呢。
对，polik在这里公布自己一个难以启齿的毛病。在下能从声音准确听出女孩子的容貌来，已经屡试不爽，一度很担心自己是不是有色狼基因，问过一些医师。因此，我看到AS定理以后，心理共鸣可想而知，马上就作了一个推广。
不过我得承认我的推广有些中医风格了。至于郎中听出怀孕、疾病的鬼话则已众所周知纯属骗术。（后面将更详细解释）
数坛人士就是一群无聊的好事者，专门将一些简单得不能再简单的事实用一些大家都摸不着头脑的句子表达出来。听鼓听床的事，到数学家那里就被弄成如下鬼话式的诀语：（某些）微分方程的解（的数目）由定义该微分方程的空间的几何拓扑特征全部决定。或更简单地讲，一个空间中某些行为好的微分方程的解的数目是一个拓扑不变量。
这就是指标定理的全部内容。
可见，列位看官其实都已经知道AS，更懂得利用AS，因此AS不光不神秘，简直就是BS。
闲论Atiyah-Singer指标定理（3）─初次见面，要你记得我
列位看官已经知道AS不光不神秘，简直就是BS。
这时，恐有人跳将出来，大呼"亵渎亵渎！"，"浅薄浅薄！"，"狂妄狂妄！"。
在下今天不光要说，AS的表达一点不难，还要说它的证明也不难。一不做，二不休，坚持浅薄不动摇，将亵渎进行到底，狂妄后面乾脆再麻烦您加上透顶二字！
尊重江湖规矩，用黑话表达AS：
记纤维丛E(F,M,π,G）的截面s(E,F) 与s(E,F＇)间映射D，则其解析指标，即其零频解的数目dim ker D - dim coker D等于其拓扑指标
Topo_Ind (D) = Int_[i_m ~ ch(σ)]
其中I_M是微分形式，由在其上面定义方程的流形M的曲率所确定，项ch(σ)为得自方程的象征的微分形式,int代表积分。或者用另一种更明确的表达式：
Topo_Ind(D) = (-1)^n < ch (s(D)) ~ td (TCM) , [m] >
其中n是流形M的维度，s(D)是微分算子D的像征，ch 代表陈特征，TCM 是流形M的复化切丛，td 代表Todd类，~ 是上积或杯积，[m]是流形M的基本类 , <-,-> 是Kronecker配对。
如有人在此受到惊吓或愤怒，则正好达到了本人目的。但请列位看官莫要惊慌，更不要埋怨，且等在下花上三言两语，上面那些黑话撩起的迷雾必会顷刻消散。数学江湖以艰涩隐晦为荣尊，化简为繁，变浅为深，是为至高皈依，谁将一件最简单的事说得最复杂以致普天下无人能懂，则可被崇为天宗。想当初，高斯常常宣布一些惊人结果而又不给出证明，遂得王子头衔。罗素写出<<数学原理>>两本天书，无人能读，被奉成数学之神。格罗腾迪克出版<<代数几何基础>>洋洋万页，页页难过天书，令所有数学家无地自容，立得数学之无极大王称号（他老人家面对如此荣耀一时竟受不了，从此精神崩溃，家破人亡。阿弥陀佛！）。一时间，大小玩数者，竞相仿效，环顾数国，一片乌烟瘴气。可怜天下百姓闻数丧胆，唯恐避之不及。在下深知众生历受大小数霸之欺何其苦也，故尊天意反其道而行之，以简为尊，以易为荣，以最平白文字讲述最深刻真理而不失严谨，解放天下数残理痴。将数学贵族才能享受的佳肴美酒搬上平民百姓的饭桌，是为吾宗。
先容在下将一些唬我看官的名词表列出来以便一一驯服，记有
1. 映射
核，余核，伴随算子，椭圆算子，Fredholm 算子，象征
2. 纤维丛
纤维，截面，结构群，切丛
3. 微分形式
（上）同调类
4. 特征类
陈类
Todd类
基本类
杯积
Kroneker 配对
5. K群，范畴
也就是四、五组十来个术语。平常这些玩意个个如凶神恶煞，动不动要占上专著数部，洋洋逾千页，一般学子几年苦修方得一知半解，云里雾里。今天诸君只要浏览三五页版面约几支香功夫即可大体完成，唯一要求是心中反覆默念本师之名，直至开悟。
这些概念今天肯定讲不完，但不要急，我们今天会见到一个真正的指标定理。
映射是最基本也是最抽象的数学操作之一，将两个集合的元素关连起来。我们不妨叫第一个集合叫原物（妻集），映射到第二个集合里生成的集体叫像（夫集）。数学家男的多，因此，多（妻）对一（夫）是可能的，但一（妻）对多（夫）是绝对禁止的。如果物国里每个女人都有（一个）仅属于自己的男人作丈夫，即女人不共夫，则是一（妻）对一（夫），即所谓的一一映射（注意这个名词只讲一妻必有一夫，但并不暗含每夫必有一妻，要看老婆够不够多）。
如果像国里每个男人都有（至少一个）老婆，男人当然满意，故称满射。
如果既是满射又是一一映射的话，那就是乌托邦里的一夫一妻制，一妻必有一夫，一妻仅有一夫，荆倌互忠，既不共夫亦不共妻，即所谓的双射，或许双双满意？
能够建立双射映射的两个集合，在抽象意义下，物像没有区分，谁为物，谁为像，见仁见智，公婆不分，故名同构。还有变态的自映射，镜中人是你，你也是镜中人，这个后面还要提的。
函数是映射的最简单例子。算子是稍微"高级"一点的映射。
如果映射将一个集合的一些元素全部映射到"单位"元素（加法的零或乘法的一），则这些元素形成一个叫核（ker）的子集合。原物集合中的ker之所以重要，被单独列出，归根到底还是因为像集合里的"单位"元素独特。他跟本集合内任何一个元素作用（例如相乘）还是该元素本身。因此核内任何一个元素与本集合内任何非核元素相乘所得结果必在核外，否则他会被映到单位素。原来ker乃初中之国，独立王国是也。因此，每一个核外元素与全体核内元素可以产生一共同类，是为等价类。可以通过与核内元素建立关连的元素属于同一等价类。由此立得不同等价类的元素必不相同。整个集合就可以按等价类拆分，因而集合元素是核内元素之整数倍。
显然，同一个集合的核是可变的因为核与映射有关。改变映射，核的元素会变。这个核，随集合对应物改变而有很多别名，正则子空间，理想，不变子空间，正则子群，不变子群等等，看官且留意他们是亲姊妹。他也是投影或射影的最一般描述。投影空间（商空间）即为原空间对某个（正则）子空间取商的结果。
集合到本身的映射，即自映射，有一个特例：他给出两个元素经过映射成另一个元素，凡夫俗子称这种映射为运算，加减乘除之类。配有乘法的集合叫群，配有乘法（半群─即没有相应的除法）和加法（群）的叫环，若进一步配有加乘皆为群（即有加减乘除）的集合叫体（或域）。（比较怪异的运算是所谓求模运算以及交换运算。因此，还有一些特别的集合如模空间，配有交换关系一个集合的叫一个代数。）
群这个字值得稍微多花一点笔墨。他是只配有一种运算（乘法）的集合，因而最简单，研究得最彻底，但应用也最广。数霸喜欢谈抽象群，就是只谈元素和乘法，而我们数学贫民
喜欢知道具体的元素是啥，乘法到底是怎样做的。把元素和乘法具体化，抽象群就会灵魂附体，现出原形，即所谓的群表示。具体化需要一个场所，即表示空间。我讲一下，"表示"这个词是误用，"表演"才反映真意。但现在没办法改了。
我们看一个三正角形的对称性。表演空间是我们通常的二维欧氏空间，元素就是转动，相乘就是两个转动接续进行。穿越三角形重心与三角形平面垂直的轴为转动轴。转120度，240度都会回到原样。可见正三角形的对称群的三个元素表现为：不动（单位素），转120度，转240度。如果将二维空间写成二维向量空间，上述三个转动可以用矩阵表现出来，即三个特殊的转动矩阵。这种元素数目有限的群叫有限群。将群元素当作空间的一点，群本身又成为一个空间。正三角形的对称群空间为三个点（位于圆周上）形成的离散空间。
显然可以有无限群，甚至还有连续群。假如将上述正三角形换成圆盘，转动群就变成连续群了，可以用角度做参数化，用离散化的李代数表示。此时群空间（整个圆周）也是连续的。
群可以用元素加上"乘法或操作"构成，此处"乘法/操作"是广义的二元运算，这个刚才讲了，其实此处"元素"也可以是广义的，这就冒出一些初听起来怪异恐怖的新群，像同伦群，同调群，它们是以等价类为元素构造的的群，也就是说同一类元素（可能有无限多个！）只算一个元素。这个先提个醒，后面还要讲。
线性映射是最简单的，也是最重要的：f(aA+bB)＝af(A)+bf(B)。
举例：向量空间V，W之间的映射f：V-->W。则dim V = dim (ker f) + dim (im f). dim就是空间的维度。这个结果，虽说平淡，却异常重要。
对偶空间：V-->V*, W-->W*
"内积"： g(v1,v2) , G(w1,w2)
伴随映射f^： G(w,fv) = g(v,f^w)
有一简单但重要的结论，线性映射与其伴随映射的像空间之维度相等：
dim im f = dim im f^
至此，我们能够给出一个儿童版的指标定理及完整证明：
对向量空间之间的线性映射f: V-->W，V中元素按ker f作为不变子空间分成等价类，im f 必定与商集V/ker f同构。自然得到：dim V = dim (ker f) + dim (im f)。 同样，我们可以引入余核： coker = W/im f，即W空间中依im f作为不变子空间分出的等价类，显然有：dim W = dim (coker f) + dim (im f). 于是，我们立得：dim (ker f) - dim (coker f) ＝ dim V - dim W。
由于dim (coker f) = dim (ker f^) 故上式亦可写成dim (ker f) - dim (ker f^) ＝ dim V - dim W。
这个简单事实意味深长：左边每项都是非常依赖于f的具体细节，但右边却只与整体性质，即V和W的维度之差有关，它显然是一个拓扑不变量，因而它告诉我们：尽管左边每项都是非常依赖于f的具体定义，但其差dim (ker f) - dim (coker f)却与f没有关系！这一简单结果可以理解为玩具级的指标定理：算子f的解析指标（左边）等于其作用流形的拓扑指标（右边）。
今天礼拜天，多写一点。下个贴看来至少要到星期二。
闲论Atiyah-Singer指标定理（3A）
闲论Atiyah-Singer指标定理（3A）─椭圆算子与纤维丛
至少有些响应。感谢Berkeley狼，xj等人释疑，你们今年必有好运。
人终究是自利的。越写越觉得是娱己胜于娱人，以致有些地方突然变成自言自语。还有就是，虽然我做了一些努力，一些术语的使用还是不符合中文数学文献之规范。这些只能请看官多包涵。今后有空有兴再贴个修改版。
一开始提了，本讲座不是写给娃娃的童话，而是以领略数学颠峰奇景为目的，专门撩拨数学里的超级成人话题，极黄极暴力。看官倘若没有疑虑、心跳、罪恶感以及愤怒的话，阁下必定是数学狂魔，而且是绝代混蛋，数界的陈冠希们会上门跪拜求教。不过看官放心，多数疑问到后面会慢慢澄清，到达顿悟是突然的，不可预测的，但只要稍有耐心它又是必然的。
那就继续讲集合、算子。
一类研究得比较充分的线性映像是线性微分算子。简单而言，线性微分算子就是一阶，二阶，...导数拼凑成的算子多项式：a_(n) f^(n) + a_(n-1) f^(n-1) +...bf
这里a_(i),i=1,2,...,n以及b都是x的多项式。看官可以验证一下，它满足线性映像条件。
假如f是多个变量，x_1,x_2,...,x_n的函数，则上述方程推广成n元微分算子多项式方程，显然这种微分算子包含对单个变量x_i,i=1,2,...n的（1,2,...阶）导数，也包含对不同变量的交叉导数，而每个导数的系数，写成一般的表达式为：a_(i_1,i_2,i_3,...), i_1+i_2+i_3+...=1,2,...,n,它们都是x_1,x_2,...x_n的多项式。
正如代数多项式的根是代数学的基本问题一样，算子多项式的"根"，即给定空间上的微分方程之零频解问题，是微分拓扑学里的基本问题，简单地说也就是一般空间上的偏微分方程（PDE）求解问题。
正如一元二次方程ax^2+bx+c=0按判别式b^2-4ac＝正、负、零分别对应两实根、两复根、重根的情况一样，PDE也依系数之关系决定解的差异，因而有抛物算子、椭圆算子、双曲算子等之分。PDE的判别式由通过叫象征的东西给出：简单而言，就是将要解的PDE转成其富里叶形式，
a_(jn) ξ_j^(n) + a_(n-1 k) ξ_k^(n-1) +...bξ
将其按x和ξ的幂次之和归并，最高次微分项最重要，故用其系数a_(jn)拼凑出n×n主象征（矩阵）。主象征矩阵是对称的。比如二次PDE的主象征矩阵是2×2，三次PDE的主象征矩阵是3×3...依主象征矩阵之正定，零和负定分别给出椭圆，抛物和双曲微分算子。
因此，椭圆算子定义为：如果微分算子主象征矩阵之行列式非零（主象征矩阵有逆矩阵），则为椭圆算子。
我们做几个小练习。df/dx-df/dy=0和df/dx-idf/dy=0是两个看上去相当像的微分方程，但它们的解的性质却大相径庭。第一个解是平庸的，第二个解是解析函数，拥有极丰富的内涵。从它们的（主）象征：ia – ib 与 ia + b看，很清楚。第一个方程的象征在a=b时都会为零， 而第二个仅在a=b=0时才会为零，故第二个方程是椭圆型的，而且只有一个解，其解空间是一维的（椭圆偏微分方程拥有有限维的解空间）。
看官可以亲自验证，通常向量分析里的梯度，散度和旋度算子都不是椭圆算子。
同理，也可以判断出物理上常用的拉普拉斯算子（Laplacian）是椭圆算子，因为其象征为- a^2 - b^2，而另一个常用的达朗贝尔算子（D＇Alambertian）必须限制在光锥外才是椭圆算子。
我们考虑紧致流形，紧致大体就是有限的意思。泛函分析可以给出简单的定理：紧致流形上的椭圆算子之ker和coker都是有限维的，即所谓Fredholm的。前面讲过，对于算子或映射D: V --> W，coker = W / im D。dim coker不等于零就说明存在D不能映到的地方，也就
是说在W上存在额外的限制条件或约束条件。所以，对紧流形，椭圆算子自动暗含它就是Fredholm算子。一般解析指标：ind_ana = dim ker D – dim coker D.
至此，可以解释所谓"微分算子解析指标是个拓扑不变量"是什么意思了。就是指算子里的主象征矩阵元作连续变化时上述解析指标ind_ana不会改变。或者说，有无限多个PDE的解析指标相等（虽然他们的解的具体形式会有差异）。AS定理告诉你这个值是该微分算子作用的流形的拓扑性质所决定（难怪与主象征参数变化无关！）。AS定理也告诉你如何具体算出这个指标的值，也就是说到底是流形的哪个拓扑不变量对应那些（无限多个）椭圆算子的解析指标。
好，集合与映像联合王国的基础概念就暂时介绍到这，其实也没有太多别的啦。如果到此你还没有产生恐惧感，我认为你绝对有起码的数学天赋，品尝几口21世纪数学饭馆的酒菜还是受得了的，甚至能够尽情玩乐享受一番。下面讲一个具体的集合的例子，跟本主题有关的空间，即纤维丛。
描写变化的函数，如车辆飞机的路线，股票的涨落，影音讯号，都是用平面曲线记录的，因此，X-Y坐标系人人会读，人人要用。其实带坐标系的二维平面就是一个纤维丛。我们可以想象整个平面是一根Y向直线横扫X空间而形成的。被横扫的空间（这里是X）叫底空间，那根直线就是纤维。
从另一个角度看，我们也可以将XY平面当作一个乘积空间，即每一个X点可以与Y的每一点相乘得到一条直线。
当然这是一个太平庸的例子，但一般意义的纤维丛确实是乘积空间的推广。"推广"了什么？刚才的例子之所以叫平庸，是因为他每个地方的乘法完全一样，不同X的地方的Y直线毫无差异，就像红朝人民的脑袋，万众一心，平庸得可怕。总而言之，一张四平八板的纸片确实有点无聊。不过，稍微变一下就可以别开生面，例如，将纸带扭一圈或几圈以后对接，形成Mobius带子。哈！你没办法用简单的坐标系或通用的乘法了。局部看来，小人度腹，依然是个"平面方形"，直线段尚在，依然可以用乘积空间描写，但稍微走远一点就发现，原来的"Y直线"整条都是直的而且对得很齐但现在"弯掉了"，不对齐了。跳出三界，来个全观，则发现，相邻的弯掉的直线之间的关系（转换函数或联络）与扭曲的程度有关。
简言之，底空间各个地点各有各的纤维空间，就是非平庸丛了。
为了对阁下负责，对底空间，要做点补充。
第一是底空间无须平直，可以弯折。这个不奇怪，地球表面，阁下的俊脸贵体，都是弯曲空间。不弯还不行。没有曲线美。问题就大了。
第二，空间的长度单位（标准尺）可以随位置甚至时间而变，即，各个地方的长度单位还不一样（上海的1尺是广州的9寸）。这就是最通用的黎曼空间了。黎曼提出这种空间60余年以后，爱因斯坦找到了一个物理实例（使之成为最伟大的科学家），也就是阁下所在的宇宙，其实就是一个黎曼空间。真是不识庐山真面目，只缘身在此山中。当然阁下想看到尺子钟表不一样，或者看到时空之弯曲，您得稍微走高一点看才行，例如走100万光年回头看。藉助现代仪器如原子钟，地面与卫星轨道的时间差异就可以量出来。这里终于搭上了短江兄的GR话题。
这有个休息亭，好，歇一会：一些人觉得像流形、非欧空间或弯曲空间难以捉摸，这里试着从一种特别的角度解释一下。我们回顾一下微积分干了什么。依我看，其实就是用古希腊数学家们关于线段、长方形和长方体的已知结果（长度、面积和体积）用来量度一般曲线、
曲面和曲体的长度、面积和体积。其中用到的一个基本假设就是，不管多么"弯曲"的东西，总可以找到一个足够小的尺度，在此尺度下一切都是平直的。故可以用大量的微小线段、微长方形或微长方体为"尺子"拼凑出任意的形状或体系。微分几何的大部分也就是告诉你如何用微小的平直空间来建造一个"任意的"流形，所以基本思想还就是那一点东西在兜来兜去。
非欧空间简单讲就是一个到处充满奸商政痞地头蛇的国度，尺度和时间或物价等标准（数学家叫度规）由这些地头蛇制订。经历千万年演化，这些地头蛇现在都成了蛇精，变态已极，弄得流形上每一点都有其自己的度规标准，成语"点化成精"得改成"精化成点"。对于一个生活在这个国度的人而言，弄清各个地头蛇之度量时间标准之兑换率是至关重要的，这个兑换率就叫做联络（系数）。有人可能会讲，度规确定联络系数，简直是一句废话，纽约（N）一美元是波士顿（B）的95美分，联络系数当然是L_{NB}=1.05或L_{BN}＝0.95。大体没错。 不过，你们可能还不知道这些地头蛇有多么无耻变态，原来，"上海的1尺是广州的9寸"只是一个大体的说法。地头蛇说，真正的兑换率还要看你的尺子是朝南北方向量，还是沿东西方向量，还是朝民主街方向量，还是朝自由大道方向量....也就是度规还与方向有关。还有比这更黑心变态的地头蛇吗？那种国度最后被上帝警告惩罚，地头蛇稍有收敛，将同一位置不同方向的度规兑换率用一个简单函数约束。只要知道三个互相垂直方向的两两兑换率（对三维流形总共是9个，对吧？）就可以知道任意方向的兑换率。这9个值就是度规张量。不同地方的度规张量之间的转换（联络系数）也可以决定：度规-->联络-->曲率（后面细讲）。
这里我们也看到一个数学与物理、化学和生物的范式对应：线段、长方形和长方体就是数学里的原子、分子和微晶，由此堆集出千千万万的流形（包括纤维丛）。
休息完，继续爬。
底流形上的转换函数之非平庸由结构群描述。例如，Mobius带，我们注意到平面与弯折纸带可能有整体的差异。这是什么意思呢？从纸带上垂直于纸面放一根铅笔，当他沿纸带走一圈回来时，平庸情形没有变化，但在扭曲带上走时会反向。的结构群为{1,-1}，-1出现在反向黏贴的那个地方。
类似地，纤维也有"转换函数"的对应物，由叫和乐群的东西描述。再看Mobius带。现在，不同于平庸情形的"相邻直线或纤维完全等价"，相邻"直线"满足特定的转换关系（这就是称为"局部规范变换"的东西）。和乐群归根到底由结构群决定。
对于一个普通的黎曼流形而言，休息时提了，流形的度规张量完全决定联络系数。而对于一个纤维丛而言，底流形的度规张量加上纤维的holonomy群才能决定联络。底流形上完成一个循环时纤维空间可能没有回归原状，和乐群是指纤维变化的变换群。
细心的朋友可能会说，你讲的所谓整体差异还不是那些局部差异（规范变换）积累起来的吗？铅笔指向在扭曲带上走一圈出现倒向还不是他在走的过程中慢慢逐步积累起来的？
太对了。把这句话将得更清楚一点，就是给一批大师赢来功名利禄的东西。包括陈大师省身先生。即所谓的"将整体不变量用某些局部性质的积分表示"。别急，这个东西我们后面也要把他弄得清清楚楚明明白白。至此，看官自己就可以给纤维丛下定义了。需要的东西为：底空间，纤维空间，转换映像，还有结构群，或简记为E（F,M,π,G）。看官看看时间，您花了多久到这里？数学系本科生四年下来能到达这一步的，罕也，Princeton，Oxford不例外。
好，现在讲一讲切丛，他是最常见的也是最重要的纤维丛。过底空间上每一点可以画出无限多条切线，构成切平面。因此可以将切平面当作纤维与底空间合成一个纤维丛，故名切丛。每个切空间也是一个向量空间，故切丛也是向量丛。
于是，我们知道所谓纤维丛的截面就是每一根纤维上拿一点（一个值）来拼出来的东西。是平面曲线y=f(x)的推广。
以二维球面为底空间的切丛上的一个截面就是该球面上的一个向量场。
古典微积分中导数是函数的变化除以自变量的变化，推广到纤维丛就是截面的变化（平
行移动）对底流形参数的变化，这就是联络（一般有多个分量）。直感上可以猜到，纤维丛的联络由底流形和纤维二者共同决定。
阁下有一个天生的纤维丛。脑袋表面是底空间，上面长的头发就是纤维，转换函数依赖于阁下梳头的风格，结构群为平庸（不是吗？）。梳梳头，你得到纤维丛一个不同的截面。
前已述，群本身也是一个空间，因而我们可以将结构群的群空间就当作纤维空间，这种特殊的纤维丛叫主丛。既然主丛的纤维与结构群同一，只需标出底空间和结构群即可，故主丛记为P(M，G)。一个抽象群的元素都可以通过一些具体动作（操作）表现出来，叫群表示。 李群，平移群，点群，等等天上神仙客都可以来个投胎下凡，即具体化。具体化就是选定群元素作用的场所，即表示空间。神迹在地球上表现。地球就是神的表示空间。看官可以看到，"表示空间"是多么地误导。当初要是叫表演空间多好。既然表演空间也是空间，我们假如将此表演空间当作纤维，也可以构成纤维丛，叫主丛诱导的伴侣丛，简称伴丛，记为PxVg，x指直乘，Vg是结构群G的表演空间，他是一个向量空间，故伴丛也叫伴向量丛。
下面是插曲，看官尽管可以略过。
令人惊心动魄的是这些看似灵界仙境才有的东西刚好是我们描述自然界的最可靠工具。现在物理学家认同所有的相互作用都是规范场刻画，而规范场在数学上与纤维丛完全是一回事。吴大俊和杨振宁证明规范势是纤维丛（主丛）上的联络，而规范场强是纤维丛（主丛底空间）的曲率。朗朗乾坤其实只是纤维丛世界之投影，像在我们世界扮演重要角色的电子似乎生活在三维空间，但实际上他的波函数是生活在以三维空间为底的纤维丛中。量子粒子由波函数描述，通常包含内部自由度。内部自由度对应的波函数可以当作纤维，底空间可以是普通的三维欧氏世界，也可以是（能量算子的）某个参数空间。因此，按纤维丛术语，体系的波函数就是丛截面。相位部分有动力学部分，几何部分和拓扑部分，其中后两种由和乐群描写。微观体系的很多＂古怪＂行为全因于此，例如成键机制，超导，量子霍尔效应等等。
插曲完了。
到此，我们完成至少70％了。迷雾渐散，人心趋定。
作为中国知识分子声音的一个子集，海外中文论坛上总是一片吵骂声，包括新语丝读书论坛上也有那么多缺乏起码教养的，连说话的basic manners都没有，一上来就是要干架，死活就是要"讲赢"，还有那么多志愿的政府宣传员和党工。凭我的第八感，可以看得到那些人血液里流动的毒素和他们精神里的恶瘤。相比之下，短兄和湘女既是正直的热心人，兼具绅士/淑女风度和义士精神。短兄湘女精神境界令人赞赏，心理健康值得敬佩。因此，谨以今天这篇拙文献给短江和湘女。中土这面大鼓，除盛产狼孩这种bad解以外，也还有polik，短兄和湘女这样的良解，这面鼓或许还有一点点可能性予以修补
闲论Atiyah-Singer指标定理（4）─先声─从Euler到Riemann-Roch与Gauss-Bonnet-Chern
学习要反覆，无规的反覆，易易难难，难难易易，易难难易.......今天来点轻松的。
从鼓音、听床联系到原子分子结构和光谱，从平直空间到非欧几何，从单一流形到纤维丛，我们可以看到数学是统领科学和一般生活的最乾净、最经济的思维方式。但实际上，数学家并不像我们通常想像的那样厉害。前面提到的那些看起来很怪异的数学概念，每一个都有漫长的历史。数学书中每一句话都是历经无数人千锤百链共同努力的结果。
我们今天更要凸显一个事实：绝大多数数学概念都可以以形象为基础来理解，也就是说绝大部分数学是符合直觉的。不靠推导，不靠计算，光凭思考，可以学到（至少可以理解）绝大部分数学。
我们今天从AS定理的远祖开始来考察一下AS定理的世系演化。
平面三角形的内角和等于180度这一定理，不能算是AS定理最早的祖先，但算得是一个好的祖先代表。这个简单例子让我们看到了几何体上有代数，三对边夹角之和是个常数。因此，我们知道无穷多个三角形之所以能归为一类，用边数为3或角数为3来判断都不够好，而是因为有一个共同的不变量π。这个不变量是几何不变量。
三角形还有别的不变量吗？当然有。大家可以验算一下：边数-顶点数＝0对所有三角形也成立（不许笑！），而且与几何不变量π没有关系。
这个不变数对任意多边形（平面的或立体的）都成立：边数-顶点数＝0。有一点点意思了吧。敏感的同学可能马上看到这个不变数0是由于任意多边形都是一个闭合的东东。
更多一点意思的是，推广到无穷多边形也是成立的，特别是对圆周也成立，虽然边和顶点已经难以看出来了。
于是我们发现这个不变数0原来是不仅是三角形的，也不仅是多边形的，也不仅是圆周的，而是任意封闭曲线的性质。任意封闭曲线有一个不变数0。这就是封闭曲线的所谓拓扑不变量。到这时，我们看不到这个0与边数或顶点数之类的关系，边、顶点、形状、长度、面积等几何量此时都不是本质性的东西。这说明几何之外，还有更一般的不变数，就是拓扑。拓扑不变量更有包容性，能够对更多的东西声明主权：xxxx自古以来就是我的领土。
任意封闭曲线有一个不变数对应，据说在古希腊就有人提到，但直到18世纪大数学家欧拉才真正认真对付。欧拉推广了上述不变数。他首先发现任意多面体的表面，存在关系：面数-边数+顶点数＝2。仿照上述例子，可以轻易地推广到无穷多面体表面，推广到任意封闭体表面，如球面。可见这个数2是所有二维封闭曲面的拓扑不变量，叫欧拉示性数。想想欧拉活在18世纪末，这种今天小孩子都知道的关系也才200年左右的历史。因此，必定还存在一些简单美丽的数学结果等待我们去发现。
欧拉解决封闭曲面的示性数以后，又进一步处理了带洞的曲面，他发现（你也可以轻易验证），带洞曲面的示性数等于无洞封闭曲面的示性数减去洞数。例如，篮球表面挖个洞以后，其示性数就变成1，它拓扑等价于一个圆盘或一张纸。轮胎面，也叫环面，如自行车内胎，也可以想像是一个实心多面体先从中间挖掉一块（也是多面体），再淘空剩下的环体而得，故有两个洞，由此可得其示性数为0。
前面讲过，数学里的一个很重要的事就是分类，因为要统一，要抽象，就必须知道哪些是同一类。数学上的分类与别的领域的分类之基本原则并无两样─就是以共性为基础。 看到欧拉示性数，自然会想，它能不能用来做某种分类呢？答案是: you bet!实际上，二维曲面的分类仅靠欧拉示性数就够了。
任意封闭连通曲面必与下面之一同胚：（1）球面，（2）有限个环面连通和，（3）带交叉帽（Mobius柄）球面。交叉帽（cross-cap），可以想像为变肥的Mobius带，但在倒向处有交线。见图：也就是说二维曲面就只有这几个球面，环面和交叉帽这几个基本类。它们就是二维封闭连通曲面世界的全部"元素"。（三维曲面的"元素"数目由Thurston猜出，由Perelman证明，这是另外的故事了）
高维曲面的欧拉示性数可以很直接了当地推得，而且结果堪称最美妙的数学方程序：
对n维闭多面体，欧拉示性数等于顶点数-边数+面数-3维体数+...χ＝ [(-1)^{i}a_{i}]，对i求和。
也就是说，欧拉示性数是各维子流形之数目之加/减。因此，也有人把欧拉示性数念成交错和。
欧拉交错和之意义无论如何强调都不会过份：事实上已经发现至少有10种类似的交错和，如Betti数，还有后面要讲的上同调等，而每一个这种交错和的发现都是数学史上的大事！每一个这样的交错和都导致新的惊人发现！
我们这里来看一个从示性数引发新思想的小例子。
咋一看封闭线面的这类欧拉示性数，看官可能会觉得有些神秘。但稍微想一想，就可以看出门道。对平面封闭曲线而言，你可能猜想这个0应该与曲线上的点绕一个中心点跑了一圈以后回到基点有关。似乎是切线斜率将所有值扫瞄一次。更仔细的分析表明，那个0是曲联机对每一点的曲率求和的结果。
后来更发现，这一思想可以推广到封闭曲面─即欧拉示性数是曲面上曲率对整个曲面积分。
什么是曲率？微积分里讲过曲线的曲率，就是二阶导数。（一阶导数是斜率，没有忘吧。）推广到高维是直接了当的：经过曲面（体）上每一点可以画很多（无限多）条曲线，因此应该有很多（无限多）个曲率，分别对应沿（无限多个）不同方向的曲线的弯曲程度。一个点处有无限多个曲率值，你可能会觉得是个麻烦，但实际上这些曲率并不都是独立的。例如，对于二维曲面上的点，曲率顶多有9个独立分量，也就是说，知道沿9个方向的曲率值，其他任何方向的曲率可以推算出来。这9个值构成所谓的曲率张量。
欧拉示性数能表示成曲率对几何对象的积分。这是几何/拓扑近100多来的一个很热的主题，可以说它直接催生了AS定理及其后裔。欧拉示性数能给出流形的洞数描述，但洞可以有不同维度。系统记录各维洞的数目及分布，有一个工具叫同伦群。从图像看很清楚。假如流形上有一些洞，如何标记它们呢？最简单的方法就是把每个洞画个圈，表示"内为陷阱，禁止进入"。一维洞，用一维圈围住，二维洞，得用二维洞才能围住，依此类推。总而言之，我们总可以用环绕每个洞的闭合流形将各维洞包围起来。同伦群的最基本元素就是这样的包围圈。
我们来看这些包围圈为何能形成群。事实上对于每一个洞，我们可以用无限多个可能的包围圈将其包住，这些包围圈之间的差异只是形状上的，它们都是等价的，叫同伦等价，因此同伦群元素是以类为"单位"的。同伦类形成群的理由则简单得无法形容：对每个洞，我们不光可以包围一次，也可以包围任意多次，可见包围n圈相当于是加法：围一圈，再围一圈，再围一圈...。而且我们容易注意到包围次数不受次序的影响，因此同伦群是可交换的，即Abel的。更进一步，我们不光可以一次只围一个洞，也可以一次围几个洞，形成不同的同伦类。看官想得出来，同伦类的数目决定了同伦群的＂自由元素＂数目，也就是秩。由于不同维度的洞由不同维度的围道包围，故不同维度的同伦群互相独立，也就是说，不同维度的同伦群（的元素）不会搅到一起。
作为一个例子，我们计算环面的同伦群。零阶同伦群为零，因为没有一维洞。一阶同伦群有三个元素（三种不同的同伦类）：环面上平庸围道（可以收缩成一点），它们不影响同伦群。环面上的非平庸围道有两种：一种是围绕大环的，一种是围绕小环的。两种非平庸围道都服从整数的加法而成群，是为Z群（整数群）。因此环面的一阶同伦群为：Z Z。环面的所有高阶同伦群（大于等于2阶）均为平庸（仅含单位）。
看官不妨算一下中间挖掉两个小圆的三角板的一阶同伦群。
每本拓扑学书都有一大章讲同伦群，一般要花几十页篇幅。凭我的经验，学习效果都远远不如我5到10分钟的解释。写成文字就是上面几行。
很多学生学完拓扑学还是不知道算简单形状的同伦群，就是因为教材上的那种写法是以最错乱的方式写的。休息亭：基本群。它就是一阶同伦群。也就是以一维围道为同伦类构成的群。基本群之所以重要，除它能描述二维洞以外，它与Poincare猜想之关连可能是最重要
的原因。Poincare猜想是說，与球面S^{n}同伦的 n 维拓扑流形一定同胚于 S^{n} 。对三维流形（Poincare猜想原始版的流形），可以表成：如果一个三维流形的基本群与三维球面的一样，则这个三维流形就是一个三维球面（拓扑等价或同胚）。很奇怪这个如此"地道的拓扑学"猜想最后竟然不是用拓扑学方法证明的。
同伦群直观，又是Abel的，是流形分析的一个好工具，也有一些美丽的定理帮我们减少计算。例如，Bott的一个伟大发现是，正交群的同伦群有周期性。这个我们后面还要比较仔细地讲。但一般而言，流形的同伦群计算并没有一个可以依循的通用演算步骤，因而可能很复杂甚至没办法算。像一般n维球面的同伦群问题还没有解决。因此，为了描述流形的组成，还需要别的工具。
欧拉示性数催生的另一个伟大概念是同调群。现在同调已是一个容易导致混乱的词，因为有十几种不一样的东东都打着同调这个旗号。当然从本质上讲，所有的同调有一些共性：就是都对应一个叫同调群的Abel群。基本元素为链，闭链，边缘链（与之对偶的为上链，上闭链，上边缘链）。实际情况中，我们一般通过上下文可以得知用的是哪种同调。
我们这里先讲讲最简单的同调群，后面再讲别的，AS定理至少涉及到四种同调，我们当然都要解释。由欧拉示性数得知，一个一般的流形可以由一些简单的＂元素＂拼成：顶点，边，面，体...不同维度的子流形。链的概念就是这些小流形的各种组合，如一些顶点加一些连接线，一些面拼成的多面形。当拼出的流形封闭时，就叫闭链，如三角形的三条边，长方体上表面的四条边，长方体的的六个面，都形成闭链。看官容易看出，流形的边缘是特殊的闭链，例如三角形的三条边，圆盘的边缘，球体的表面...所以边缘链必为闭链，反之闭链不一定是边缘链。
对于给定的流形，我们可以形式地用边缘算子来求得其边缘。例如，球体在边缘算子作用以后成球面。边缘的边缘为零或边缘没有边缘的事实可以说成边缘算子作用在边缘链上为零。
因此当我们得到一些闭链时，为了将其中的边缘链区分出来，可以用边缘算子去作用它们，剩下来的就是非边缘链。不断作用下去，就得到流形的分解。
因此仅相差边缘链的闭链可以当作是同一等价类，即同调类。也就是说，可以将闭链按边缘链作为商得到的群来表示一个流形的分解。这就是同调群。
其实，同调有两种等价的说法，即所谓的上同调和（下）同调，前者是由低维往高维走，后者是由高维往低维走。你知道，这种分法必然没有本质差异，因此可以不管它。
同调群的计算比同伦群来得可操作多了，在流形上人为画些边，面，得到闭链，即可依固定程序算得同调群。实际上，由于我们知道，同调群闭链的差异其实也是在各维洞附近表现特别，故由洞数以及洞之分布，可以帮助我们（猜）得到同调群。
作为本讲的结束，请看官留意欧拉示性数有一个非常优美的同调群语言表述：χ＝ [(-1)^{i}dim h_{i}]，对i求和。即欧拉示性数等于各阶同调群的维数（也就是Betti数）之交错和。再次以交错和来表达拓扑不变量！
写到这里，我突然看到诗兴盎然的短江兄，于是也跟着诗兴发作，特贴出来与看官分享，并请短江兄修改。
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颂不变量（polik自由诗体）
啊，伟大的不变量！
你是思维的灯塔，
你是黑夜的星光。
有你就有共同点，
有你就有恒等式，
有你就有准绳和皈依。
你是法律，你是指南，
你是地图，你是基石。
啊，伟大的不变量！
你是科学的生命，
你是文明的灵魂。
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将不变量换成荆，周末可骗得美餐一顿。
不难理解，寻找不变量是数学（物理）的一个永恒主题。一方面是追求不变量，另一方面是从完全不同的角度看待几何或拓扑。
我们下面得分开成平行的两讲（4A）和（4B），然后才回到正题（4C）。各节题目预告如下：
闲论Atiyah-Singer指标定理（4A）─先声─从Euler到Riemann-Roch与Gauss-Bonnet-Chern：微分形式，（上）同调
闲论Atiyah-Singer指标定理（4B）─先声─从Euler到Riemann-Roch与Gauss-Bonnet-Chern：Morse理论
闲论Atiyah-Singer指标定理（4C）─先声─从Euler到Riemann-Roch与Gauss-Bonnet-Chern：RR定理及其推广
论Atiyah-Singer指标定理（4A）─先声─从Euler到Riemann-Roch与Gauss-Bonnet-Chern：微分形式，de Rham（上）同调
上同调类有十几种，名字也混乱。数学家里变态的多，有些人喜欢迷雾好混水摸鱼，有些人则专门制造迷雾。我在这里引带你们躲过那些害人的东西，直奔要点。我会在不久的将来另文彻底清算数学上的各类同调理论。到时你会发现，同调湖里的浑水是多么的污浊，而又多么不应该。
中学微积分知识告诉我们，对于一条曲线，一阶导数即切线代表倾斜程度，即斜率，二阶导数代表弯曲程度，即曲率。推广到高维情形，依然成立，只是方向多了些，斜率需要多个独立分量（＝流形维度），而曲率就更多了，是一个张量。以二维曲面为例。每点的切线（无限条）构成一个切平面，一个平面可由一个二维向量空间代表。又由于过每一点可以画无限多条曲线，故曲率也很多（无限多），他们的大小满足从基点到一个椭球表面的距离，因此可以用一个椭球面来描写二维曲面某一点的曲率，椭球的三个轴和椭球的方位总共对应6个独立值，叫做曲率张量的6个分量：
d^2/dx^2,d^2/dxdy, d^2/dxdz,d^2/dy^2,d^2/dydz, d^2/dz^2.
高维情形依然有切平面，但曲率张量的分量要多一些。
曲率张量的每个分量是一个二阶导数。曲率张量还是反对称的，即交换指标出现一个负号。这是要点。因此干脆将曲率张量的每个分量带上相应的dx_idx_j,i,j=1,2,...n. 并且规定dx_idx_j ＝ - dx_jdx_i，这当然与通常微分乘法不同，但体现交换反对称性质，叫外微分。这个看似简单的记号改变，外微分是一个巨大的创新，对简化计算至关重要，更重要的是，它是20世纪微分几何发展的一个主动力。现代微分几何都是用这套记号。很多人都不加"外"字了。这是最紧要的，建议看官在这里反覆几次。将二阶导数配上外微分，就得到了表达成外微分形式的曲率张量。
巧的是，如此定义微分，积分会得到巨大简化，高维积分与一维积分一样简便。更巧的是这样定义的微分形式按乘法构成群，叫 (de Rham)上同调群。外微分形式还有很多巧，暂先不谈。
我们知道，把张量分量当作一个矩阵（高维）的元素以后，张量就是矩阵。因此曲率张量就是曲率矩阵。微分形式的曲率张量就是微分形式构成的矩阵。用矩阵时，我们希望矩阵行为端正，例如不要奇异，即有反矩阵存在。否则我们就不理睬它。我们对待曲率矩阵也是如此，都假定它是a good guy。这样我们就可以找他的特征值（即曲率张量的主分量）。我想，如何求矩阵特征值就不用提了吧，归根到底就是解行列式而已：
｜Ω-Iλ｜=0
Ω是曲率矩阵，λ是特征值。与平常解矩阵特征值问题的唯一差异是，这里的特征值也是微分形式。
我们知道任何一个行列式可以展开，曲率矩阵对应的特征行列式做展开以后，按特征值的幂次表示出来：1 + c_1 λ + c_2 λ^2+....=0 （第一个系数总可令其为1，why?）其系数c_1,c_2就是第一陈式，第二陈式，....。他们分别是2i（1<i<n）次（闭）微分形式。陈就是陈省身。
陈式是微分形式，而且是用来表示纤维丛的拓扑不变量的最佳形式，这样表示的拓扑不变量就叫示性类，或特征类，即陈类。
陈式是闭微分形式，非常重要。代表d c_i =0, i=1,2,...表明局部"平"（流形）或"丛局部＝局部积"（丛），但其积分非零（整体拓扑非平庸流形/丛不等于流形简单乘积），即他们不是恰当微分形式，c_i不能（在整个流形上）写成全微分形式df_i。
[微积分里讲过，闭形式是指：w = fdx + gdy 满足 df/dy = dg/dx，因此dw=0, 但w本身不能写成某个形式的全微分dW，即f 不一定等于dW/dx，g也不一定等于dW/dy。]
与同伦群的元素为"类"一样，同调群的元素也为"类",即同调类。可以更清楚地写出明显形式：k维同调群 ＝ k维闭链群/k维边缘链群。同调群的秩或维由群元素数目决定，也即自由群部分的秩。同调群的扭分量是指交换群中的有限阶（非自由）元素。
微分形式组成的同调类叫de Rham上同调类，相应的群叫de Rham上同调群。同样，可以写出de Rham上同调群的明显形式：k维de Rham上同调群 ＝ k维闭形式群/k维正合形式群基础或基本（上同调）类就是n维体积元dx_1dx_2...dx_n，积分时往往要先将"被积函数"（微分形式）里提取出基本类来。Todd类其实就是陈类的某种重组（也有人叫Todd类为陈类的余类）。所以并非新东西，也是一些微分形式拼出来的。之所以特别引入Todd类，目的是他与所谓Betti数的关系更直接。[第4节讲了，betti数就是流形同调群（非扭部分）的维数（秩），其几何意义为将连通流形剖分时，最多可以切几次而不将其分成两片。有人直观但粗略地说，"bett数代表流形上各维洞的数目"，知道betti数可以算出洞数，但并不是指betti数就是洞数！例如，pretzel的一维betti数为6而不是洞数3。]
在最一般的意义下微分算子的作用可以理解为在流形间建立映射，对切场产生前向映射，对余切场（微分形式）产生拉回映射。与本题相关的是椭圆微分算子的作用在丛截面之间建
立映射，对余切场（微分形式）产生拉回映射。微分算子象征的陈类在积分时需要"乘以"Todd类。虽然de Rham上同调类是微分形式类，但多数人觉得它比很多别的（上）同调类反而来得直观友好。其实，微分形式与边缘的关系通过Stokes定理而表现得淋漓尽致。
用文字表达就是：对流形整体的积分可以化成对该流形边缘的积分，或更一般地，微分算子是边缘算子的伴随算子。所以de Rham上同调类与闭链同调类实如形影相伴。Stokes定理对任何维度都成立。这个公式不光美妙，更充满神秘。我相信任何初次接触这个公式的人与看到爱因斯坦的质能关系一样，会感受自己心灵的震颤！
短江兄谈到中国人服暴力不崇理性，十分中肯。这其实是所有落后民族社群的共同不变量。中国历史上产生了众多超级混混而受人膜拜，却从未能产生一个哪怕是玩具版的Stokes定理。再随便看看任何表现理性和需要深度的地方，中国人就得鸭蛋。八卦易经、宫廷狗斗、中医风水、算命相术，这些所谓中华文化的精髓就是蒙昧、荒诞及其滋生的暴力风格，所谓辉煌的中国历史就是愚民反覆被极少数看穿这些精髓的魔头所利用然后很快被烹宰的历史。方舟子老师批中医，据理据实，用心良苦，粪青叫痛早在预料之中，但还有那么多朝野"精英"人物来抵制方老师，难怪中国人最多也不可能产生一个哪怕只是形似Stokes定理的作品。
开场白
闲论Atiyah-Singer指标定理（1）─引子
闲论Atiyah-Singer指标定理（2）─雅俗两故事，AS的实质
闲论Atiyah-Singer指标定理（3）先声─Riemann-Roch与Gauss-Bonnet-Chern
闲论Atiyah-Singer指标定理（4）─黑话破解，主要概念介绍
闲论Atiyah-Singer指标定理（5）─奇径通峰，AS之证明
闲论Atiyah-Singer指标定理（6）─回味无穷，总结与教训
闲论Atiyah-Singer指标定理（1）
（此文系一位署名polik的牛人所作，我十二分的佩服这位兄台的功力，敬重之情，无以言表，特此转载其文于此，与众位学习分享。）
闲论Atiyah-Singer指标定理
Nowadays, mathematicians tend to over-abstract things that in fact cannot be further abstracted, which not only dilutes the essence of concepts but also drives away potential students and users, and eventually, if this pathological mood is not cured, will make a lot of mathematicians breadless. ---------Vladimir Igorevich Arnold
开场白
余观天下学数众才，体察愈久，遗憾益多。开始决定献身数学时，大家都是聪明、愉快、可爱、活泼的，也是被别人视为天赋才俊。但是随着时间推进，一些人开始变愚蠢了，一些人开始变苦闷了，一些人开始变得令人讨厌了，一些人开始变古怪了，一些人变虚弱了。
更过一些时间，一些人已经是白痴了，一些人已经自杀了，一些人已经是罪犯了，一些人已经是疯子了，一些人累死了。现在走在这条路上的或朝这条路上走的仍然是千千万万，各种悲剧天天发生。身是献了，但白献了。还搭上翘首期望的家人亲友以及一些无辜的关连者。
万幸偶有小成大成者，却同时也惹出一堆冤家对头，倾扎之惨烈，不亚于黑帮火并。暂时胜者担心报复，除时时努力固守城池以外，也终日疑神疑鬼，久而变态失常，最终众叛亲离者绝非鲜见；一时败者则卧薪尝胆，时时司机反扑，报得一箭之仇，然现实常常是仇难报，气难消，遂焦躁不安，怨天尤人，久而变得古怪，抑郁，甚至崩溃。
为何开始看起来的一桩好事会变得这样惨呢？主要是态度不对。古人练功修行讲的德字主要是就是讲态度要正确。现在很多人，由首先喜欢数学崇拜数学变成拿数学当商品工具谋名获利，并以所得多少作为衡量成功与否的标志，多数人因此走入歧途是必然的。正确的态度是你玩数学或你与数学玩。以玩得开心为最高宗旨。既不要想通过学数学抱得美人归，住
进黄金屋，做得人上人，也不要想去光宗耀祖，恩泽乡里，更不要想去当所谓英雄为民族争光，报效国家，这些人充其量也就是被权贵玩来摆去的宠物狗。如果一开始就是以正确的态度学数言数，玩数之人就会永远保持聪明、愉快、可爱、活泼。如果是这样，我们看到的数学文章着作也决不是现在这样以狗狗互相威聂的方式写成声明书。
本文题头引用的数学物理大师也是教育大师Arnold的话，反映本人对数学（物理）界悲剧的另一些观察是也没有错误的。数学生到大二左右，就开始幻想脱离俗家尘世，进入不食人间烟火的状态。先是与"土得掉渣，难以启齿"的具体数字和图形决裂，然后是大胆抛弃"半土不洋，肤浅得很"的运算和公式，匆匆穿上光鲜的水货衣服（半懂不懂的外文书），擦上廉价的胭脂（网上抄来的作业），配上借来的首饰（一知半解的老师讲义），端着身子急急溶入"豪华典雅，宛如仙境"的各种抽象定义引理定理建构的"上流社会"。但是，正如Arnold指出的，不必要的抽象不但害人，终将害己。与学武功的人类比，过分抽象等于过份强调虚力、意志和策略而忽视实力、环境和具体的战术，好多从数之人走向悲剧，不光做不出数学成果，最终连一份谋生的差事都做不来，重蹈邯郸学步覆辙，实属自取其果，如果一开始就加以注意，完全可以避免。
鉴于上面几点，本文的第一个主要目的当然是要向外行以草包大众喜闻乐见的方式介绍一些常人望而生畏的着名数学难题，作点破除迷信，奚落权威的事。旧时艰涩书中物，进入平常百姓心，翰林神道华山剑，屠狗之辈亦善玩。既向有数学兴趣的人展示绝大多数的抽象是不必要的害人之物，另外也顺便将一些所谓的"高度抽象"概念之唬人外表揭穿──世上无神鬼，都是人炒起也，跟着抽象起哄的数学家中真正懂得实质的人并不多，与江湖郎中一样。本文另一个主要目的之一是（向数学家们或数学家们to be）示范如何以正确态度学数学，如何以正确态度讲数学。看看我如何讲数学，如何理解数学，希望给学数同道树个榜样。希望你们读完此文以后，不光是具体知识增长了，学数教数的态度也变得积极正面一些，个人生活变得快乐一些，减少悲剧的发生。方老师多年来以通俗的语言向普罗大众介绍现代生医，教我们识别害人的巫医毒药，教我们保健养生，功德无量，不可磨灭，经济价值和社会意义，则更无法估价。我辈应以他为楷模。其实方老师作功德的同时，也对自己的生活品质的提高有很大的帮助，所谓助人者幸福，助人者天佑。我写此文也完全是本着渡人利己的原则，因此，看官倘有收获，不必说谢谢，我已经收获了大头在先。
目录（subject to changes）
开场白
闲论Atiyah-Singer指标定理（1）─引子
闲论Atiyah-Singer指标定理（2）─雅俗两故事，AS的实质
闲论Atiyah-Singer指标定理（3）先声─Riemann-Roch与Gauss-Bonnet-Chern
闲论Atiyah-Singer指标定理（4）─黑话破解，主要概念介绍
闲论Atiyah-Singer指标定理（5）─奇径通峰，AS之证明
闲论Atiyah-Singer指标定理（6）─回味无穷，总结与教训
闲论Atiyah-Singer指标定理（1）─引子
Atiyah-Singer指标定理，江湖黑话谓之AS。它集映射，流形，纤维丛，特征类，上同调，椭圆算子，Bott周期，范畴，K群等名草贵药于一丸，坊间流传，其外形神秘可畏，内在艰深难测。它作为一粒神丹，用得好，据说它能立解万毒，有还魂回阳之功；用得不好，七窍流血，凌迟而亡。另一方面，它又融微分几何，拓扑学，微分方程，代数几何等神刀鬼剑于一体，有幸亲眼目睹真身者皆曰：阴森冷峻，杀气腾腾。它作为一件兵器，使得好，所向披靡，固若金汤之城池不攻自破，平常骄王悍匪，纷纷挂表求降；使得不好，手抖脚颤，心慌意乱，迷魂丧智，以自宫了结。
西域数坛崇AS为20世纪数学的之里程碑，中土学数者则赞其为泰山颠峰，东海之底，景仰之情非科学者所能言表。数学科班出身者对之多谈虎色变，敬畏万分，偶被论及，或胡诌乱侃吓唬外人，或顾左右而言他。理论物理诸生则视其为峻岭奇峰，跃跃欲试以领略身临绝顶俯视众山之快感。然意欲登攀者，多数在此摔得身残心碎，从此一厥不振，消隐红尘，更悲者则是落得粉身碎骨，抱恨终天。少数登高而成吸得仙风获此宝器者，则耀武扬威，不可一世，每置对手于死地，更赖其奇功在江湖上呼风唤雨，坐定上排交椅。
如此神妙之仙丹，是谁炼成？如此威风之兵器，是谁铸就？倘真如上所述，则发明者功高胜天，非溢誉也。
抑或果真有所称之奇妙威风？无有明夸暗炒之嫌？
且看polik慢慢贴来。
（除第一、二两帖外，我争取以后每两天上一帖，约2─3页，以便看官有足够时间消化跟上，也希望有高人大师随时指点斧正，以利本坛众友共进。）
（我假定读者的门槛是修过一元多元微积分，如果还懂一点矩阵代数和简单微分方程的话就更好。）
闲论Atiyah-Singer指标定理（2）─雅俗两故事，AS定理的实质
AS指标定理果真有所称之奇妙威风？无有夸大暗炒之嫌？
要回答这些问题，我们必须了解AS指标定理讲了些什么。
先让我们讲一个小故事。听鼓。
晨钟暮鼓，寺庙常规。据说，一般和尚都能够根据钟鼓之音得知钟鼓是否完好，有的高僧则可以由钟鼓之音得知气候演变进而推得
世道之走向，小则为善男信女解疑释惑，指点迷津，大则为皇室社稷消灾引福，护国安民。却说明朝初年，五台山因为助开国君朱元璋有功，获皇上特别褒扬恩赐，名号高出少林一等，住持乃率众弟子在练功场内，连日大作法事以庆祝之。场面异常壮观。仅大鼓黄钟就各有百余。一日，礼至中途，突然方丈大叫停止。发生何事？原来，老方丈听出其中有两面大鼓有破洞，其中一面有一个破洞在鼓底，另一面鼓则有两个破洞，一上一下。方丈高声叫停，缘自破鼓之音为寺庙之大忌，必得避之。仔细检视，小和尚果然在两面大鼓上找出了那
几个小小破洞。
高僧凭借鼓音，即可得知鼓面必有破洞数处，何也？
再来讲第二个小故事。听床。
却说华北地域，短江学者老家，民风淳朴，某些方面却也相当开放。听床就是一个例子。说得直白一点，就是在夜晚躲在别人家墙根、窗下，偷听别人做爱。此种习俗源自何时，无从考证，但依该地史志，历代从无明令禁绝，（唯在某朝恐怖时期，听床是流氓罪可能判死刑，但犯案被逮者鲜见──谢谢LXS老师指出此点）。听床不光没有官家法律之束，那些能够经常播出爱事特别报导而又从未被逮的高手们反而会被当地人民视为楷模备享尊荣。近一段时间，骄人的听床经验甚至是某"先锋队员"的一个隐含的考项，因为听床高手既要牺牲睡眠，还要不怕夜深人静，更要定力足够在关键时刻不出声不失控；而这绝非易事，因为做爱者往往在猜到有人偷听时，会故意弄出特别撩人之声音以刺激偷听者，迫其失控而自曝其踪。对于听床失控者的惩罚相当严厉，轻则遭被听者逮住猛揍，不得还手，日后常常遭到街坊老小公开奚落，甚至终身受人戏谑，重则被当地人视为做事不牢，信用全无。听床高手每每会将新近故事添油加醋细细道来，既博得烧酒一壶，还乘机用淫语骚扰纯情女孩，或藉此与淫妇打情骂俏，更以其定力之高，扬名立万于社区。据说，有能"听"清床垫缺几根弹簧的高手，有的还能指出所缺弹簧之前后左右位置，更有甚者，可以判断出前夜因爱事力度过猛而失效的弹簧，事后乡邻率众到主家翻床验证，竟然完全相符。
每当如此场合，街坊如同过节，真笑声杂合假骂声，响彻邻里，和谐社会模范单位之锦旗，势在必得，听床师则荣加一等，气宇轩昂，旁的人也大拍手掌，作雀跃状。
偷窥者或听床师从嗤呀之声，即可得知床垫弹簧少了数根，何也？
法鼓破一个洞，声音不同，床垫少一根弹簧，嗤呀之声改变。列位看官可能未曾料到，上面这两个小故事，简单明了，妇孺皆懂，却道尽了AS指标定理之全部精义。
原来，不论是鼓面的振动，还是床垫的嗤呀，都满足一个微分方程，我们听到的声音就是这个微分方程的解。解不同，声音就不同，翻译成黑话就是边界条件不同，微分方程的解或曰微分算子的谱就会改变。边界条件包括鼓面，床垫的几何形状，更包括它们的拓扑结构 （如洞的数目）。AS就是说，从听到的鼓音或床垫的嗤呀声就知道鼓面的几何以及上面的破洞数，或床垫的形状以及弹簧少了几根。看到这，学过高中物理的人可能觉得一点都不怪：我们不就是从原子分子的光谱得知原子分子结构的吗？这里不就是将通名报姓者从原子分子换成鼓号或床垫而已？其实这离正确答案真的只差一点点了！再想一想，你说不定就此悟出一条更大的真理呢。
对，polik在这里公布自己一个难以启齿的毛病。在下能从声音准确听出女孩子的容貌来，已经屡试不爽，一度很担心自己是不是有色狼基因，问过一些医师。因此，我看到AS定理以后，心理共鸣可想而知，马上就作了一个推广。
不过我得承认我的推广有些中医风格了。至于郎中听出怀孕、疾病的鬼话则已众所周知纯属骗术。（后面将更详细解释）
数坛人士就是一群无聊的好事者，专门将一些简单得不能再简单的事实用一些大家都摸不着头脑的句子表达出来。听鼓听床的事，到数学家那里就被弄成如下鬼话式的诀语：（某些）微分方程的解（的数目）由定义该微分方程的空间的几何拓扑特征全部决定。或更简单地讲，一个空间中某些行为好的微分方程的解的数目是一个拓扑不变量。
这就是指标定理的全部内容。
可见，列位看官其实都已经知道AS，更懂得利用AS，因此AS不光不神秘，简直就是BS。
闲论Atiyah-Singer指标定理（3）─初次见面，要你记得我
列位看官已经知道AS不光不神秘，简直就是BS。
这时，恐有人跳将出来，大呼"亵渎亵渎！"，"浅薄浅薄！"，"狂妄狂妄！"。
在下今天不光要说，AS的表达一点不难，还要说它的证明也不难。一不做，二不休，坚持浅薄不动摇，将亵渎进行到底，狂妄后面乾脆再麻烦您加上透顶二字！
尊重江湖规矩，用黑话表达AS：
记纤维丛E(F,M,π,G）的截面s(E,F) 与s(E,F＇)间映射D，则其解析指标，即其零频解的数目dim ker D - dim coker D等于其拓扑指标
Topo_Ind (D) = Int_[i_m ~ ch(σ)]
其中I_M是微分形式，由在其上面定义方程的流形M的曲率所确定，项ch(σ)为得自方程的象征的微分形式,int代表积分。或者用另一种更明确的表达式：
Topo_Ind(D) = (-1)^n < ch (s(D)) ~ td (TCM) , [m] >
其中n是流形M的维度，s(D)是微分算子D的像征，ch 代表陈特征，TCM 是流形M的复化切丛，td 代表Todd类，~ 是上积或杯积，[m]是流形M的基本类 , <-,-> 是Kronecker配对。
如有人在此受到惊吓或愤怒，则正好达到了本人目的。但请列位看官莫要惊慌，更不要埋怨，且等在下花上三言两语，上面那些黑话撩起的迷雾必会顷刻消散。数学江湖以艰涩隐晦为荣尊，化简为繁，变浅为深，是为至高皈依，谁将一件最简单的事说得最复杂以致普天下无人能懂，则可被崇为天宗。想当初，高斯常常宣布一些惊人结果而又不给出证明，遂得王子头衔。罗素写出<<数学原理>>两本天书，无人能读，被奉成数学之神。格罗腾迪克出版<<代数几何基础>>洋洋万页，页页难过天书，令所有数学家无地自容，立得数学之无极大王称号（他老人家面对如此荣耀一时竟受不了，从此精神崩溃，家破人亡。阿弥陀佛！）。一时间，大小玩数者，竞相仿效，环顾数国，一片乌烟瘴气。可怜天下百姓闻数丧胆，唯恐避之不及。在下深知众生历受大小数霸之欺何其苦也，故尊天意反其道而行之，以简为尊，以易为荣，以最平白文字讲述最深刻真理而不失严谨，解放天下数残理痴。将数学贵族才能享受的佳肴美酒搬上平民百姓的饭桌，是为吾宗。
先容在下将一些唬我看官的名词表列出来以便一一驯服，记有
1. 映射
核，余核，伴随算子，椭圆算子，Fredholm 算子，象征
2. 纤维丛
纤维，截面，结构群，切丛
3. 微分形式
（上）同调类
4. 特征类
陈类
Todd类
基本类
杯积
Kroneker 配对
5. K群，范畴
也就是四、五组十来个术语。平常这些玩意个个如凶神恶煞，动不动要占上专著数部，洋洋逾千页，一般学子几年苦修方得一知半解，云里雾里。今天诸君只要浏览三五页版面约几支香功夫即可大体完成，唯一要求是心中反覆默念本师之名，直至开悟。
这些概念今天肯定讲不完，但不要急，我们今天会见到一个真正的指标定理。
映射是最基本也是最抽象的数学操作之一，将两个集合的元素关连起来。我们不妨叫第一个集合叫原物（妻集），映射到第二个集合里生成的集体叫像（夫集）。数学家男的多，因此，多（妻）对一（夫）是可能的，但一（妻）对多（夫）是绝对禁止的。如果物国里每个女人都有（一个）仅属于自己的男人作丈夫，即女人不共夫，则是一（妻）对一（夫），即所谓的一一映射（注意这个名词只讲一妻必有一夫，但并不暗含每夫必有一妻，要看老婆够不够多）。
如果像国里每个男人都有（至少一个）老婆，男人当然满意，故称满射。
如果既是满射又是一一映射的话，那就是乌托邦里的一夫一妻制，一妻必有一夫，一妻仅有一夫，荆倌互忠，既不共夫亦不共妻，即所谓的双射，或许双双满意？
能够建立双射映射的两个集合，在抽象意义下，物像没有区分，谁为物，谁为像，见仁见智，公婆不分，故名同构。还有变态的自映射，镜中人是你，你也是镜中人，这个后面还要提的。
函数是映射的最简单例子。算子是稍微"高级"一点的映射。
如果映射将一个集合的一些元素全部映射到"单位"元素（加法的零或乘法的一），则这些元素形成一个叫核（ker）的子集合。原物集合中的ker之所以重要，被单独列出，归根到底还是因为像集合里的"单位"元素独特。他跟本集合内任何一个元素作用（例如相乘）还是该元素本身。因此核内任何一个元素与本集合内任何非核元素相乘所得结果必在核外，否则他会被映到单位素。原来ker乃初中之国，独立王国是也。因此，每一个核外元素与全体核内元素可以产生一共同类，是为等价类。可以通过与核内元素建立关连的元素属于同一等价类。由此立得不同等价类的元素必不相同。整个集合就可以按等价类拆分，因而集合元素是核内元素之整数倍。
显然，同一个集合的核是可变的因为核与映射有关。改变映射，核的元素会变。这个核，随集合对应物改变而有很多别名，正则子空间，理想，不变子空间，正则子群，不变子群等等，看官且留意他们是亲姊妹。他也是投影或射影的最一般描述。投影空间（商空间）即为原空间对某个（正则）子空间取商的结果。
集合到本身的映射，即自映射，有一个特例：他给出两个元素经过映射成另一个元素，凡夫俗子称这种映射为运算，加减乘除之类。配有乘法的集合叫群，配有乘法（半群─即没有相应的除法）和加法（群）的叫环，若进一步配有加乘皆为群（即有加减乘除）的集合叫体（或域）。（比较怪异的运算是所谓求模运算以及交换运算。因此，还有一些特别的集合如模空间，配有交换关系一个集合的叫一个代数。）
群这个字值得稍微多花一点笔墨。他是只配有一种运算（乘法）的集合，因而最简单，研究得最彻底，但应用也最广。数霸喜欢谈抽象群，就是只谈元素和乘法，而我们数学贫民
喜欢知道具体的元素是啥，乘法到底是怎样做的。把元素和乘法具体化，抽象群就会灵魂附体，现出原形，即所谓的群表示。具体化需要一个场所，即表示空间。我讲一下，"表示"这个词是误用，"表演"才反映真意。但现在没办法改了。
我们看一个三正角形的对称性。表演空间是我们通常的二维欧氏空间，元素就是转动，相乘就是两个转动接续进行。穿越三角形重心与三角形平面垂直的轴为转动轴。转120度，240度都会回到原样。可见正三角形的对称群的三个元素表现为：不动（单位素），转120度，转240度。如果将二维空间写成二维向量空间，上述三个转动可以用矩阵表现出来，即三个特殊的转动矩阵。这种元素数目有限的群叫有限群。将群元素当作空间的一点，群本身又成为一个空间。正三角形的对称群空间为三个点（位于圆周上）形成的离散空间。
显然可以有无限群，甚至还有连续群。假如将上述正三角形换成圆盘，转动群就变成连续群了，可以用角度做参数化，用离散化的李代数表示。此时群空间（整个圆周）也是连续的。
群可以用元素加上"乘法或操作"构成，此处"乘法/操作"是广义的二元运算，这个刚才讲了，其实此处"元素"也可以是广义的，这就冒出一些初听起来怪异恐怖的新群，像同伦群，同调群，它们是以等价类为元素构造的的群，也就是说同一类元素（可能有无限多个！）只算一个元素。这个先提个醒，后面还要讲。
线性映射是最简单的，也是最重要的：f(aA+bB)＝af(A)+bf(B)。
举例：向量空间V，W之间的映射f：V-->W。则dim V = dim (ker f) + dim (im f). dim就是空间的维度。这个结果，虽说平淡，却异常重要。
对偶空间：V-->V*, W-->W*
"内积"： g(v1,v2) , G(w1,w2)
伴随映射f^： G(w,fv) = g(v,f^w)
有一简单但重要的结论，线性映射与其伴随映射的像空间之维度相等：
dim im f = dim im f^
至此，我们能够给出一个儿童版的指标定理及完整证明：
对向量空间之间的线性映射f: V-->W，V中元素按ker f作为不变子空间分成等价类，im f 必定与商集V/ker f同构。自然得到：dim V = dim (ker f) + dim (im f)。 同样，我们可以引入余核： coker = W/im f，即W空间中依im f作为不变子空间分出的等价类，显然有：dim W = dim (coker f) + dim (im f). 于是，我们立得：dim (ker f) - dim (coker f) ＝ dim V - dim W。
由于dim (coker f) = dim (ker f^) 故上式亦可写成dim (ker f) - dim (ker f^) ＝ dim V - dim W。
这个简单事实意味深长：左边每项都是非常依赖于f的具体细节，但右边却只与整体性质，即V和W的维度之差有关，它显然是一个拓扑不变量，因而它告诉我们：尽管左边每项都是非常依赖于f的具体定义，但其差dim (ker f) - dim (coker f)却与f没有关系！这一简单结果可以理解为玩具级的指标定理：算子f的解析指标（左边）等于其作用流形的拓扑指标（右边）。
今天礼拜天，多写一点。下个贴看来至少要到星期二。
闲论Atiyah-Singer指标定理（3A）
闲论Atiyah-Singer指标定理（3A）─椭圆算子与纤维丛
至少有些响应。感谢Berkeley狼，xj等人释疑，你们今年必有好运。
人终究是自利的。越写越觉得是娱己胜于娱人，以致有些地方突然变成自言自语。还有就是，虽然我做了一些努力，一些术语的使用还是不符合中文数学文献之规范。这些只能请看官多包涵。今后有空有兴再贴个修改版。
一开始提了，本讲座不是写给娃娃的童话，而是以领略数学颠峰奇景为目的，专门撩拨数学里的超级成人话题，极黄极暴力。看官倘若没有疑虑、心跳、罪恶感以及愤怒的话，阁下必定是数学狂魔，而且是绝代混蛋，数界的陈冠希们会上门跪拜求教。不过看官放心，多数疑问到后面会慢慢澄清，到达顿悟是突然的，不可预测的，但只要稍有耐心它又是必然的。
那就继续讲集合、算子。
一类研究得比较充分的线性映像是线性微分算子。简单而言，线性微分算子就是一阶，二阶，...导数拼凑成的算子多项式：a_(n) f^(n) + a_(n-1) f^(n-1) +...bf
这里a_(i),i=1,2,...,n以及b都是x的多项式。看官可以验证一下，它满足线性映像条件。
假如f是多个变量，x_1,x_2,...,x_n的函数，则上述方程推广成n元微分算子多项式方程，显然这种微分算子包含对单个变量x_i,i=1,2,...n的（1,2,...阶）导数，也包含对不同变量的交叉导数，而每个导数的系数，写成一般的表达式为：a_(i_1,i_2,i_3,...), i_1+i_2+i_3+...=1,2,...,n,它们都是x_1,x_2,...x_n的多项式。
正如代数多项式的根是代数学的基本问题一样，算子多项式的"根"，即给定空间上的微分方程之零频解问题，是微分拓扑学里的基本问题，简单地说也就是一般空间上的偏微分方程（PDE）求解问题。
正如一元二次方程ax^2+bx+c=0按判别式b^2-4ac＝正、负、零分别对应两实根、两复根、重根的情况一样，PDE也依系数之关系决定解的差异，因而有抛物算子、椭圆算子、双曲算子等之分。PDE的判别式由通过叫象征的东西给出：简单而言，就是将要解的PDE转成其富里叶形式，
a_(jn) ξ_j^(n) + a_(n-1 k) ξ_k^(n-1) +...bξ
将其按x和ξ的幂次之和归并，最高次微分项最重要，故用其系数a_(jn)拼凑出n×n主象征（矩阵）。主象征矩阵是对称的。比如二次PDE的主象征矩阵是2×2，三次PDE的主象征矩阵是3×3...依主象征矩阵之正定，零和负定分别给出椭圆，抛物和双曲微分算子。
因此，椭圆算子定义为：如果微分算子主象征矩阵之行列式非零（主象征矩阵有逆矩阵），则为椭圆算子。
我们做几个小练习。df/dx-df/dy=0和df/dx-idf/dy=0是两个看上去相当像的微分方程，但它们的解的性质却大相径庭。第一个解是平庸的，第二个解是解析函数，拥有极丰富的内涵。从它们的（主）象征：ia – ib 与 ia + b看，很清楚。第一个方程的象征在a=b时都会为零， 而第二个仅在a=b=0时才会为零，故第二个方程是椭圆型的，而且只有一个解，其解空间是一维的（椭圆偏微分方程拥有有限维的解空间）。
看官可以亲自验证，通常向量分析里的梯度，散度和旋度算子都不是椭圆算子。
同理，也可以判断出物理上常用的拉普拉斯算子（Laplacian）是椭圆算子，因为其象征为- a^2 - b^2，而另一个常用的达朗贝尔算子（D＇Alambertian）必须限制在光锥外才是椭圆算子。
我们考虑紧致流形，紧致大体就是有限的意思。泛函分析可以给出简单的定理：紧致流形上的椭圆算子之ker和coker都是有限维的，即所谓Fredholm的。前面讲过，对于算子或映射D: V --> W，coker = W / im D。dim coker不等于零就说明存在D不能映到的地方，也就
是说在W上存在额外的限制条件或约束条件。所以，对紧流形，椭圆算子自动暗含它就是Fredholm算子。一般解析指标：ind_ana = dim ker D – dim coker D.
至此，可以解释所谓"微分算子解析指标是个拓扑不变量"是什么意思了。就是指算子里的主象征矩阵元作连续变化时上述解析指标ind_ana不会改变。或者说，有无限多个PDE的解析指标相等（虽然他们的解的具体形式会有差异）。AS定理告诉你这个值是该微分算子作用的流形的拓扑性质所决定（难怪与主象征参数变化无关！）。AS定理也告诉你如何具体算出这个指标的值，也就是说到底是流形的哪个拓扑不变量对应那些（无限多个）椭圆算子的解析指标。
好，集合与映像联合王国的基础概念就暂时介绍到这，其实也没有太多别的啦。如果到此你还没有产生恐惧感，我认为你绝对有起码的数学天赋，品尝几口21世纪数学饭馆的酒菜还是受得了的，甚至能够尽情玩乐享受一番。下面讲一个具体的集合的例子，跟本主题有关的空间，即纤维丛。
描写变化的函数，如车辆飞机的路线，股票的涨落，影音讯号，都是用平面曲线记录的，因此，X-Y坐标系人人会读，人人要用。其实带坐标系的二维平面就是一个纤维丛。我们可以想象整个平面是一根Y向直线横扫X空间而形成的。被横扫的空间（这里是X）叫底空间，那根直线就是纤维。
从另一个角度看，我们也可以将XY平面当作一个乘积空间，即每一个X点可以与Y的每一点相乘得到一条直线。
当然这是一个太平庸的例子，但一般意义的纤维丛确实是乘积空间的推广。"推广"了什么？刚才的例子之所以叫平庸，是因为他每个地方的乘法完全一样，不同X的地方的Y直线毫无差异，就像红朝人民的脑袋，万众一心，平庸得可怕。总而言之，一张四平八板的纸片确实有点无聊。不过，稍微变一下就可以别开生面，例如，将纸带扭一圈或几圈以后对接，形成Mobius带子。哈！你没办法用简单的坐标系或通用的乘法了。局部看来，小人度腹，依然是个"平面方形"，直线段尚在，依然可以用乘积空间描写，但稍微走远一点就发现，原来的"Y直线"整条都是直的而且对得很齐但现在"弯掉了"，不对齐了。跳出三界，来个全观，则发现，相邻的弯掉的直线之间的关系（转换函数或联络）与扭曲的程度有关。
简言之，底空间各个地点各有各的纤维空间，就是非平庸丛了。
为了对阁下负责，对底空间，要做点补充。
第一是底空间无须平直，可以弯折。这个不奇怪，地球表面，阁下的俊脸贵体，都是弯曲空间。不弯还不行。没有曲线美。问题就大了。
第二，空间的长度单位（标准尺）可以随位置甚至时间而变，即，各个地方的长度单位还不一样（上海的1尺是广州的9寸）。这就是最通用的黎曼空间了。黎曼提出这种空间60余年以后，爱因斯坦找到了一个物理实例（使之成为最伟大的科学家），也就是阁下所在的宇宙，其实就是一个黎曼空间。真是不识庐山真面目，只缘身在此山中。当然阁下想看到尺子钟表不一样，或者看到时空之弯曲，您得稍微走高一点看才行，例如走100万光年回头看。藉助现代仪器如原子钟，地面与卫星轨道的时间差异就可以量出来。这里终于搭上了短江兄的GR话题。
这有个休息亭，好，歇一会：一些人觉得像流形、非欧空间或弯曲空间难以捉摸，这里试着从一种特别的角度解释一下。我们回顾一下微积分干了什么。依我看，其实就是用古希腊数学家们关于线段、长方形和长方体的已知结果（长度、面积和体积）用来量度一般曲线、
曲面和曲体的长度、面积和体积。其中用到的一个基本假设就是，不管多么"弯曲"的东西，总可以找到一个足够小的尺度，在此尺度下一切都是平直的。故可以用大量的微小线段、微长方形或微长方体为"尺子"拼凑出任意的形状或体系。微分几何的大部分也就是告诉你如何用微小的平直空间来建造一个"任意的"流形，所以基本思想还就是那一点东西在兜来兜去。
非欧空间简单讲就是一个到处充满奸商政痞地头蛇的国度，尺度和时间或物价等标准（数学家叫度规）由这些地头蛇制订。经历千万年演化，这些地头蛇现在都成了蛇精，变态已极，弄得流形上每一点都有其自己的度规标准，成语"点化成精"得改成"精化成点"。对于一个生活在这个国度的人而言，弄清各个地头蛇之度量时间标准之兑换率是至关重要的，这个兑换率就叫做联络（系数）。有人可能会讲，度规确定联络系数，简直是一句废话，纽约（N）一美元是波士顿（B）的95美分，联络系数当然是L_{NB}=1.05或L_{BN}＝0.95。大体没错。 不过，你们可能还不知道这些地头蛇有多么无耻变态，原来，"上海的1尺是广州的9寸"只是一个大体的说法。地头蛇说，真正的兑换率还要看你的尺子是朝南北方向量，还是沿东西方向量，还是朝民主街方向量，还是朝自由大道方向量....也就是度规还与方向有关。还有比这更黑心变态的地头蛇吗？那种国度最后被上帝警告惩罚，地头蛇稍有收敛，将同一位置不同方向的度规兑换率用一个简单函数约束。只要知道三个互相垂直方向的两两兑换率（对三维流形总共是9个，对吧？）就可以知道任意方向的兑换率。这9个值就是度规张量。不同地方的度规张量之间的转换（联络系数）也可以决定：度规-->联络-->曲率（后面细讲）。
这里我们也看到一个数学与物理、化学和生物的范式对应：线段、长方形和长方体就是数学里的原子、分子和微晶，由此堆集出千千万万的流形（包括纤维丛）。
休息完，继续爬。
底流形上的转换函数之非平庸由结构群描述。例如，Mobius带，我们注意到平面与弯折纸带可能有整体的差异。这是什么意思呢？从纸带上垂直于纸面放一根铅笔，当他沿纸带走一圈回来时，平庸情形没有变化，但在扭曲带上走时会反向。的结构群为{1,-1}，-1出现在反向黏贴的那个地方。
类似地，纤维也有"转换函数"的对应物，由叫和乐群的东西描述。再看Mobius带。现在，不同于平庸情形的"相邻直线或纤维完全等价"，相邻"直线"满足特定的转换关系（这就是称为"局部规范变换"的东西）。和乐群归根到底由结构群决定。
对于一个普通的黎曼流形而言，休息时提了，流形的度规张量完全决定联络系数。而对于一个纤维丛而言，底流形的度规张量加上纤维的holonomy群才能决定联络。底流形上完成一个循环时纤维空间可能没有回归原状，和乐群是指纤维变化的变换群。
细心的朋友可能会说，你讲的所谓整体差异还不是那些局部差异（规范变换）积累起来的吗？铅笔指向在扭曲带上走一圈出现倒向还不是他在走的过程中慢慢逐步积累起来的？
太对了。把这句话将得更清楚一点，就是给一批大师赢来功名利禄的东西。包括陈大师省身先生。即所谓的"将整体不变量用某些局部性质的积分表示"。别急，这个东西我们后面也要把他弄得清清楚楚明明白白。至此，看官自己就可以给纤维丛下定义了。需要的东西为：底空间，纤维空间，转换映像，还有结构群，或简记为E（F,M,π,G）。看官看看时间，您花了多久到这里？数学系本科生四年下来能到达这一步的，罕也，Princeton，Oxford不例外。
好，现在讲一讲切丛，他是最常见的也是最重要的纤维丛。过底空间上每一点可以画出无限多条切线，构成切平面。因此可以将切平面当作纤维与底空间合成一个纤维丛，故名切丛。每个切空间也是一个向量空间，故切丛也是向量丛。
于是，我们知道所谓纤维丛的截面就是每一根纤维上拿一点（一个值）来拼出来的东西。是平面曲线y=f(x)的推广。
以二维球面为底空间的切丛上的一个截面就是该球面上的一个向量场。
古典微积分中导数是函数的变化除以自变量的变化，推广到纤维丛就是截面的变化（平
行移动）对底流形参数的变化，这就是联络（一般有多个分量）。直感上可以猜到，纤维丛的联络由底流形和纤维二者共同决定。
阁下有一个天生的纤维丛。脑袋表面是底空间，上面长的头发就是纤维，转换函数依赖于阁下梳头的风格，结构群为平庸（不是吗？）。梳梳头，你得到纤维丛一个不同的截面。
前已述，群本身也是一个空间，因而我们可以将结构群的群空间就当作纤维空间，这种特殊的纤维丛叫主丛。既然主丛的纤维与结构群同一，只需标出底空间和结构群即可，故主丛记为P(M，G)。一个抽象群的元素都可以通过一些具体动作（操作）表现出来，叫群表示。 李群，平移群，点群，等等天上神仙客都可以来个投胎下凡，即具体化。具体化就是选定群元素作用的场所，即表示空间。神迹在地球上表现。地球就是神的表示空间。看官可以看到，"表示空间"是多么地误导。当初要是叫表演空间多好。既然表演空间也是空间，我们假如将此表演空间当作纤维，也可以构成纤维丛，叫主丛诱导的伴侣丛，简称伴丛，记为PxVg，x指直乘，Vg是结构群G的表演空间，他是一个向量空间，故伴丛也叫伴向量丛。
下面是插曲，看官尽管可以略过。
令人惊心动魄的是这些看似灵界仙境才有的东西刚好是我们描述自然界的最可靠工具。现在物理学家认同所有的相互作用都是规范场刻画，而规范场在数学上与纤维丛完全是一回事。吴大俊和杨振宁证明规范势是纤维丛（主丛）上的联络，而规范场强是纤维丛（主丛底空间）的曲率。朗朗乾坤其实只是纤维丛世界之投影，像在我们世界扮演重要角色的电子似乎生活在三维空间，但实际上他的波函数是生活在以三维空间为底的纤维丛中。量子粒子由波函数描述，通常包含内部自由度。内部自由度对应的波函数可以当作纤维，底空间可以是普通的三维欧氏世界，也可以是（能量算子的）某个参数空间。因此，按纤维丛术语，体系的波函数就是丛截面。相位部分有动力学部分，几何部分和拓扑部分，其中后两种由和乐群描写。微观体系的很多＂古怪＂行为全因于此，例如成键机制，超导，量子霍尔效应等等。
插曲完了。
到此，我们完成至少70％了。迷雾渐散，人心趋定。
作为中国知识分子声音的一个子集，海外中文论坛上总是一片吵骂声，包括新语丝读书论坛上也有那么多缺乏起码教养的，连说话的basic manners都没有，一上来就是要干架，死活就是要"讲赢"，还有那么多志愿的政府宣传员和党工。凭我的第八感，可以看得到那些人血液里流动的毒素和他们精神里的恶瘤。相比之下，短兄和湘女既是正直的热心人，兼具绅士/淑女风度和义士精神。短兄湘女精神境界令人赞赏，心理健康值得敬佩。因此，谨以今天这篇拙文献给短江和湘女。中土这面大鼓，除盛产狼孩这种bad解以外，也还有polik，短兄和湘女这样的良解，这面鼓或许还有一点点可能性予以修补
闲论Atiyah-Singer指标定理（4）─先声─从Euler到Riemann-Roch与Gauss-Bonnet-Chern
学习要反覆，无规的反覆，易易难难，难难易易，易难难易.......今天来点轻松的。
从鼓音、听床联系到原子分子结构和光谱，从平直空间到非欧几何，从单一流形到纤维丛，我们可以看到数学是统领科学和一般生活的最乾净、最经济的思维方式。但实际上，数学家并不像我们通常想像的那样厉害。前面提到的那些看起来很怪异的数学概念，每一个都有漫长的历史。数学书中每一句话都是历经无数人千锤百链共同努力的结果。
我们今天更要凸显一个事实：绝大多数数学概念都可以以形象为基础来理解，也就是说绝大部分数学是符合直觉的。不靠推导，不靠计算，光凭思考，可以学到（至少可以理解）绝大部分数学。
我们今天从AS定理的远祖开始来考察一下AS定理的世系演化。
平面三角形的内角和等于180度这一定理，不能算是AS定理最早的祖先，但算得是一个好的祖先代表。这个简单例子让我们看到了几何体上有代数，三对边夹角之和是个常数。因此，我们知道无穷多个三角形之所以能归为一类，用边数为3或角数为3来判断都不够好，而是因为有一个共同的不变量π。这个不变量是几何不变量。
三角形还有别的不变量吗？当然有。大家可以验算一下：边数-顶点数＝0对所有三角形也成立（不许笑！），而且与几何不变量π没有关系。
这个不变数对任意多边形（平面的或立体的）都成立：边数-顶点数＝0。有一点点意思了吧。敏感的同学可能马上看到这个不变数0是由于任意多边形都是一个闭合的东东。
更多一点意思的是，推广到无穷多边形也是成立的，特别是对圆周也成立，虽然边和顶点已经难以看出来了。
于是我们发现这个不变数0原来是不仅是三角形的，也不仅是多边形的，也不仅是圆周的，而是任意封闭曲线的性质。任意封闭曲线有一个不变数0。这就是封闭曲线的所谓拓扑不变量。到这时，我们看不到这个0与边数或顶点数之类的关系，边、顶点、形状、长度、面积等几何量此时都不是本质性的东西。这说明几何之外，还有更一般的不变数，就是拓扑。拓扑不变量更有包容性，能够对更多的东西声明主权：xxxx自古以来就是我的领土。
任意封闭曲线有一个不变数对应，据说在古希腊就有人提到，但直到18世纪大数学家欧拉才真正认真对付。欧拉推广了上述不变数。他首先发现任意多面体的表面，存在关系：面数-边数+顶点数＝2。仿照上述例子，可以轻易地推广到无穷多面体表面，推广到任意封闭体表面，如球面。可见这个数2是所有二维封闭曲面的拓扑不变量，叫欧拉示性数。想想欧拉活在18世纪末，这种今天小孩子都知道的关系也才200年左右的历史。因此，必定还存在一些简单美丽的数学结果等待我们去发现。
欧拉解决封闭曲面的示性数以后，又进一步处理了带洞的曲面，他发现（你也可以轻易验证），带洞曲面的示性数等于无洞封闭曲面的示性数减去洞数。例如，篮球表面挖个洞以后，其示性数就变成1，它拓扑等价于一个圆盘或一张纸。轮胎面，也叫环面，如自行车内胎，也可以想像是一个实心多面体先从中间挖掉一块（也是多面体），再淘空剩下的环体而得，故有两个洞，由此可得其示性数为0。
前面讲过，数学里的一个很重要的事就是分类，因为要统一，要抽象，就必须知道哪些是同一类。数学上的分类与别的领域的分类之基本原则并无两样─就是以共性为基础。 看到欧拉示性数，自然会想，它能不能用来做某种分类呢？答案是: you bet!实际上，二维曲面的分类仅靠欧拉示性数就够了。
任意封闭连通曲面必与下面之一同胚：（1）球面，（2）有限个环面连通和，（3）带交叉帽（Mobius柄）球面。交叉帽（cross-cap），可以想像为变肥的Mobius带，但在倒向处有交线。见图：也就是说二维曲面就只有这几个球面，环面和交叉帽这几个基本类。它们就是二维封闭连通曲面世界的全部"元素"。（三维曲面的"元素"数目由Thurston猜出，由Perelman证明，这是另外的故事了）
高维曲面的欧拉示性数可以很直接了当地推得，而且结果堪称最美妙的数学方程序：
对n维闭多面体，欧拉示性数等于顶点数-边数+面数-3维体数+...χ＝ [(-1)^{i}a_{i}]，对i求和。
也就是说，欧拉示性数是各维子流形之数目之加/减。因此，也有人把欧拉示性数念成交错和。
欧拉交错和之意义无论如何强调都不会过份：事实上已经发现至少有10种类似的交错和，如Betti数，还有后面要讲的上同调等，而每一个这种交错和的发现都是数学史上的大事！每一个这样的交错和都导致新的惊人发现！
我们这里来看一个从示性数引发新思想的小例子。
咋一看封闭线面的这类欧拉示性数，看官可能会觉得有些神秘。但稍微想一想，就可以看出门道。对平面封闭曲线而言，你可能猜想这个0应该与曲线上的点绕一个中心点跑了一圈以后回到基点有关。似乎是切线斜率将所有值扫瞄一次。更仔细的分析表明，那个0是曲联机对每一点的曲率求和的结果。
后来更发现，这一思想可以推广到封闭曲面─即欧拉示性数是曲面上曲率对整个曲面积分。
什么是曲率？微积分里讲过曲线的曲率，就是二阶导数。（一阶导数是斜率，没有忘吧。）推广到高维是直接了当的：经过曲面（体）上每一点可以画很多（无限多）条曲线，因此应该有很多（无限多）个曲率，分别对应沿（无限多个）不同方向的曲线的弯曲程度。一个点处有无限多个曲率值，你可能会觉得是个麻烦，但实际上这些曲率并不都是独立的。例如，对于二维曲面上的点，曲率顶多有9个独立分量，也就是说，知道沿9个方向的曲率值，其他任何方向的曲率可以推算出来。这9个值构成所谓的曲率张量。
欧拉示性数能表示成曲率对几何对象的积分。这是几何/拓扑近100多来的一个很热的主题，可以说它直接催生了AS定理及其后裔。欧拉示性数能给出流形的洞数描述，但洞可以有不同维度。系统记录各维洞的数目及分布，有一个工具叫同伦群。从图像看很清楚。假如流形上有一些洞，如何标记它们呢？最简单的方法就是把每个洞画个圈，表示"内为陷阱，禁止进入"。一维洞，用一维圈围住，二维洞，得用二维洞才能围住，依此类推。总而言之，我们总可以用环绕每个洞的闭合流形将各维洞包围起来。同伦群的最基本元素就是这样的包围圈。
我们来看这些包围圈为何能形成群。事实上对于每一个洞，我们可以用无限多个可能的包围圈将其包住，这些包围圈之间的差异只是形状上的，它们都是等价的，叫同伦等价，因此同伦群元素是以类为"单位"的。同伦类形成群的理由则简单得无法形容：对每个洞，我们不光可以包围一次，也可以包围任意多次，可见包围n圈相当于是加法：围一圈，再围一圈，再围一圈...。而且我们容易注意到包围次数不受次序的影响，因此同伦群是可交换的，即Abel的。更进一步，我们不光可以一次只围一个洞，也可以一次围几个洞，形成不同的同伦类。看官想得出来，同伦类的数目决定了同伦群的＂自由元素＂数目，也就是秩。由于不同维度的洞由不同维度的围道包围，故不同维度的同伦群互相独立，也就是说，不同维度的同伦群（的元素）不会搅到一起。
作为一个例子，我们计算环面的同伦群。零阶同伦群为零，因为没有一维洞。一阶同伦群有三个元素（三种不同的同伦类）：环面上平庸围道（可以收缩成一点），它们不影响同伦群。环面上的非平庸围道有两种：一种是围绕大环的，一种是围绕小环的。两种非平庸围道都服从整数的加法而成群，是为Z群（整数群）。因此环面的一阶同伦群为：Z Z。环面的所有高阶同伦群（大于等于2阶）均为平庸（仅含单位）。
看官不妨算一下中间挖掉两个小圆的三角板的一阶同伦群。
每本拓扑学书都有一大章讲同伦群，一般要花几十页篇幅。凭我的经验，学习效果都远远不如我5到10分钟的解释。写成文字就是上面几行。
很多学生学完拓扑学还是不知道算简单形状的同伦群，就是因为教材上的那种写法是以最错乱的方式写的。休息亭：基本群。它就是一阶同伦群。也就是以一维围道为同伦类构成的群。基本群之所以重要，除它能描述二维洞以外，它与Poincare猜想之关连可能是最重要
的原因。Poincare猜想是說，与球面S^{n}同伦的 n 维拓扑流形一定同胚于 S^{n} 。对三维流形（Poincare猜想原始版的流形），可以表成：如果一个三维流形的基本群与三维球面的一样，则这个三维流形就是一个三维球面（拓扑等价或同胚）。很奇怪这个如此"地道的拓扑学"猜想最后竟然不是用拓扑学方法证明的。
同伦群直观，又是Abel的，是流形分析的一个好工具，也有一些美丽的定理帮我们减少计算。例如，Bott的一个伟大发现是，正交群的同伦群有周期性。这个我们后面还要比较仔细地讲。但一般而言，流形的同伦群计算并没有一个可以依循的通用演算步骤，因而可能很复杂甚至没办法算。像一般n维球面的同伦群问题还没有解决。因此，为了描述流形的组成，还需要别的工具。
欧拉示性数催生的另一个伟大概念是同调群。现在同调已是一个容易导致混乱的词，因为有十几种不一样的东东都打着同调这个旗号。当然从本质上讲，所有的同调有一些共性：就是都对应一个叫同调群的Abel群。基本元素为链，闭链，边缘链（与之对偶的为上链，上闭链，上边缘链）。实际情况中，我们一般通过上下文可以得知用的是哪种同调。
我们这里先讲讲最简单的同调群，后面再讲别的，AS定理至少涉及到四种同调，我们当然都要解释。由欧拉示性数得知，一个一般的流形可以由一些简单的＂元素＂拼成：顶点，边，面，体...不同维度的子流形。链的概念就是这些小流形的各种组合，如一些顶点加一些连接线，一些面拼成的多面形。当拼出的流形封闭时，就叫闭链，如三角形的三条边，长方体上表面的四条边，长方体的的六个面，都形成闭链。看官容易看出，流形的边缘是特殊的闭链，例如三角形的三条边，圆盘的边缘，球体的表面...所以边缘链必为闭链，反之闭链不一定是边缘链。
对于给定的流形，我们可以形式地用边缘算子来求得其边缘。例如，球体在边缘算子作用以后成球面。边缘的边缘为零或边缘没有边缘的事实可以说成边缘算子作用在边缘链上为零。
因此当我们得到一些闭链时，为了将其中的边缘链区分出来，可以用边缘算子去作用它们，剩下来的就是非边缘链。不断作用下去，就得到流形的分解。
因此仅相差边缘链的闭链可以当作是同一等价类，即同调类。也就是说，可以将闭链按边缘链作为商得到的群来表示一个流形的分解。这就是同调群。
其实，同调有两种等价的说法，即所谓的上同调和（下）同调，前者是由低维往高维走，后者是由高维往低维走。你知道，这种分法必然没有本质差异，因此可以不管它。
同调群的计算比同伦群来得可操作多了，在流形上人为画些边，面，得到闭链，即可依固定程序算得同调群。实际上，由于我们知道，同调群闭链的差异其实也是在各维洞附近表现特别，故由洞数以及洞之分布，可以帮助我们（猜）得到同调群。
作为本讲的结束，请看官留意欧拉示性数有一个非常优美的同调群语言表述：χ＝ [(-1)^{i}dim h_{i}]，对i求和。即欧拉示性数等于各阶同调群的维数（也就是Betti数）之交错和。再次以交错和来表达拓扑不变量！
写到这里，我突然看到诗兴盎然的短江兄，于是也跟着诗兴发作，特贴出来与看官分享，并请短江兄修改。
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颂不变量（polik自由诗体）
啊，伟大的不变量！
你是思维的灯塔，
你是黑夜的星光。
有你就有共同点，
有你就有恒等式，
有你就有准绳和皈依。
你是法律，你是指南，
你是地图，你是基石。
啊，伟大的不变量！
你是科学的生命，
你是文明的灵魂。
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将不变量换成荆，周末可骗得美餐一顿。
不难理解，寻找不变量是数学（物理）的一个永恒主题。一方面是追求不变量，另一方面是从完全不同的角度看待几何或拓扑。
我们下面得分开成平行的两讲（4A）和（4B），然后才回到正题（4C）。各节题目预告如下：
闲论Atiyah-Singer指标定理（4A）─先声─从Euler到Riemann-Roch与Gauss-Bonnet-Chern：微分形式，（上）同调
闲论Atiyah-Singer指标定理（4B）─先声─从Euler到Riemann-Roch与Gauss-Bonnet-Chern：Morse理论
闲论Atiyah-Singer指标定理（4C）─先声─从Euler到Riemann-Roch与Gauss-Bonnet-Chern：RR定理及其推广
论Atiyah-Singer指标定理（4A）─先声─从Euler到Riemann-Roch与Gauss-Bonnet-Chern：微分形式，de Rham（上）同调
上同调类有十几种，名字也混乱。数学家里变态的多，有些人喜欢迷雾好混水摸鱼，有些人则专门制造迷雾。我在这里引带你们躲过那些害人的东西，直奔要点。我会在不久的将来另文彻底清算数学上的各类同调理论。到时你会发现，同调湖里的浑水是多么的污浊，而又多么不应该。
中学微积分知识告诉我们，对于一条曲线，一阶导数即切线代表倾斜程度，即斜率，二阶导数代表弯曲程度，即曲率。推广到高维情形，依然成立，只是方向多了些，斜率需要多个独立分量（＝流形维度），而曲率就更多了，是一个张量。以二维曲面为例。每点的切线（无限条）构成一个切平面，一个平面可由一个二维向量空间代表。又由于过每一点可以画无限多条曲线，故曲率也很多（无限多），他们的大小满足从基点到一个椭球表面的距离，因此可以用一个椭球面来描写二维曲面某一点的曲率，椭球的三个轴和椭球的方位总共对应6个独立值，叫做曲率张量的6个分量：
d^2/dx^2,d^2/dxdy, d^2/dxdz,d^2/dy^2,d^2/dydz, d^2/dz^2.
高维情形依然有切平面，但曲率张量的分量要多一些。
曲率张量的每个分量是一个二阶导数。曲率张量还是反对称的，即交换指标出现一个负号。这是要点。因此干脆将曲率张量的每个分量带上相应的dx_idx_j,i,j=1,2,...n. 并且规定dx_idx_j ＝ - dx_jdx_i，这当然与通常微分乘法不同，但体现交换反对称性质，叫外微分。这个看似简单的记号改变，外微分是一个巨大的创新，对简化计算至关重要，更重要的是，它是20世纪微分几何发展的一个主动力。现代微分几何都是用这套记号。很多人都不加"外"字了。这是最紧要的，建议看官在这里反覆几次。将二阶导数配上外微分，就得到了表达成外微分形式的曲率张量。
巧的是，如此定义微分，积分会得到巨大简化，高维积分与一维积分一样简便。更巧的是这样定义的微分形式按乘法构成群，叫 (de Rham)上同调群。外微分形式还有很多巧，暂先不谈。
我们知道，把张量分量当作一个矩阵（高维）的元素以后，张量就是矩阵。因此曲率张量就是曲率矩阵。微分形式的曲率张量就是微分形式构成的矩阵。用矩阵时，我们希望矩阵行为端正，例如不要奇异，即有反矩阵存在。否则我们就不理睬它。我们对待曲率矩阵也是如此，都假定它是a good guy。这样我们就可以找他的特征值（即曲率张量的主分量）。我想，如何求矩阵特征值就不用提了吧，归根到底就是解行列式而已：
｜Ω-Iλ｜=0
Ω是曲率矩阵，λ是特征值。与平常解矩阵特征值问题的唯一差异是，这里的特征值也是微分形式。
我们知道任何一个行列式可以展开，曲率矩阵对应的特征行列式做展开以后，按特征值的幂次表示出来：1 + c_1 λ + c_2 λ^2+....=0 （第一个系数总可令其为1，why?）其系数c_1,c_2就是第一陈式，第二陈式，....。他们分别是2i（1<i<n）次（闭）微分形式。陈就是陈省身。
陈式是微分形式，而且是用来表示纤维丛的拓扑不变量的最佳形式，这样表示的拓扑不变量就叫示性类，或特征类，即陈类。
陈式是闭微分形式，非常重要。代表d c_i =0, i=1,2,...表明局部"平"（流形）或"丛局部＝局部积"（丛），但其积分非零（整体拓扑非平庸流形/丛不等于流形简单乘积），即他们不是恰当微分形式，c_i不能（在整个流形上）写成全微分形式df_i。
[微积分里讲过，闭形式是指：w = fdx + gdy 满足 df/dy = dg/dx，因此dw=0, 但w本身不能写成某个形式的全微分dW，即f 不一定等于dW/dx，g也不一定等于dW/dy。]
与同伦群的元素为"类"一样，同调群的元素也为"类",即同调类。可以更清楚地写出明显形式：k维同调群 ＝ k维闭链群/k维边缘链群。同调群的秩或维由群元素数目决定，也即自由群部分的秩。同调群的扭分量是指交换群中的有限阶（非自由）元素。
微分形式组成的同调类叫de Rham上同调类，相应的群叫de Rham上同调群。同样，可以写出de Rham上同调群的明显形式：k维de Rham上同调群 ＝ k维闭形式群/k维正合形式群基础或基本（上同调）类就是n维体积元dx_1dx_2...dx_n，积分时往往要先将"被积函数"（微分形式）里提取出基本类来。Todd类其实就是陈类的某种重组（也有人叫Todd类为陈类的余类）。所以并非新东西，也是一些微分形式拼出来的。之所以特别引入Todd类，目的是他与所谓Betti数的关系更直接。[第4节讲了，betti数就是流形同调群（非扭部分）的维数（秩），其几何意义为将连通流形剖分时，最多可以切几次而不将其分成两片。有人直观但粗略地说，"bett数代表流形上各维洞的数目"，知道betti数可以算出洞数，但并不是指betti数就是洞数！例如，pretzel的一维betti数为6而不是洞数3。]
在最一般的意义下微分算子的作用可以理解为在流形间建立映射，对切场产生前向映射，对余切场（微分形式）产生拉回映射。与本题相关的是椭圆微分算子的作用在丛截面之间建
立映射，对余切场（微分形式）产生拉回映射。微分算子象征的陈类在积分时需要"乘以"Todd类。虽然de Rham上同调类是微分形式类，但多数人觉得它比很多别的（上）同调类反而来得直观友好。其实，微分形式与边缘的关系通过Stokes定理而表现得淋漓尽致。
用文字表达就是：对流形整体的积分可以化成对该流形边缘的积分，或更一般地，微分算子是边缘算子的伴随算子。所以de Rham上同调类与闭链同调类实如形影相伴。Stokes定理对任何维度都成立。这个公式不光美妙，更充满神秘。我相信任何初次接触这个公式的人与看到爱因斯坦的质能关系一样，会感受自己心灵的震颤！
短江兄谈到中国人服暴力不崇理性，十分中肯。这其实是所有落后民族社群的共同不变量。中国历史上产生了众多超级混混而受人膜拜，却从未能产生一个哪怕是玩具版的Stokes定理。再随便看看任何表现理性和需要深度的地方，中国人就得鸭蛋。八卦易经、宫廷狗斗、中医风水、算命相术，这些所谓中华文化的精髓就是蒙昧、荒诞及其滋生的暴力风格，所谓辉煌的中国历史就是愚民反覆被极少数看穿这些精髓的魔头所利用然后很快被烹宰的历史。方舟子老师批中医，据理据实，用心良苦，粪青叫痛早在预料之中，但还有那么多朝野"精英"人物来抵制方老师，难怪中国人最多也不可能产生一个哪怕只是形似Stokes定理的作品。
