几个关于赌博的故事（草稿，第二部分）
游戏的关键在于，第一个策略中，押宝更偏向移动到黑色方块上，而第二个策略中，更偏向于移动到白色的方格。这样，相比单独策略，混合策略之下，处在白色方块的宝，下一步有一半的几率执行第二策略，右移动的几率提高，而处在黑色方格的宝，下一步有一半的几率执行第一策略，同样是右移的几率提高。这样，就完成了通过组合两个期望小于1/2的策略，最终得到了大于1/2的方案。
如果概括说，这算是“各取所长，略其所短”。
生活中真的碰得到这么复杂的事情么？答案是，没错。
我们是不是经常会看到这样的现象：平时吃零食，开始吃到的总是大块的薯片或者坚果？而袋子底部都是些细渣。这难道是商家在捣鬼么？大块的零食不是应该因为重力更大的原因，在无数次摇晃之后，掉落在袋底么？实际上是因为：正是小块的零食阻挡了大块零食的下落，在无数次随机碰撞之后，最细碎的统统落在袋子底部，稍大些的在中间，而最大块的零食，因为下落不顺畅，留在了袋子顶部。
这种，通过组合同一个方向的策略，最终却得到反方向结论的，数学上被称为Parrondo Paradox，结构比Simpson paradox更复杂，乍看上去也不一样，但实际的原理很类似。都是一种通过组合，彼此削弱内部的结构，得出了让人惊讶的结论。
(当然，我们也可以用kinetic barrier的语言解释：你可以把五个格子假想成连续的山势，而押的宝像是在山上滚的石头，两个单独的方案，barrier的走势比较凌乱，而输的一侧的势低于赢的一侧，所以更容易输，而组合之后的策略，可以看到整个山势明显的向右倾斜，落在上面的石头，也就更容易像右滚落了。)
Parrondo Paradox最经典的例子，莫过于flashing ratchet。网上有许多生动的说明，这里就不赘述了。
===============
看来“输久未必输”，可是“总赢真能赢”么？(囧，这个默，一点儿都不幽～)
我们举有名的two-envelope problem
如果我给你两个信封，其中一个装的钱数是另一个的两倍，而你只能选择其中的一个，拿走里面装的钱。开始的时候，你随便选择一个信封，还没等拆开，我问你，你想好了么？
你想，如果手里的钱期望为1，另一个信封装的钱有一半的可能只有手里这个的一半，有一半的可能性是手里的两倍，那么期望是0.5*0.5+0.5*2=1.25。额，期望比手里的这个高，所以，如果你没有拆开信封，你的最佳策略是，一定要换信封，对么？
额，不对啊，两个信封不是一样的么？为什么换一次，就能获得更多的钱呢？嗯，的确，我们假设你换了信封，我再问你，你想好了么？你再经过同样的思考步骤，又要换一次，而且永远换下去。
明明是总赢的策略，却并不能真的赢呢？这是因为，只要不拆开信封，两个信封情况完全相同。所以，对称条件下，你无法选出一个装钱更多的策略，所以，拿到钱多的几率，只有1/2，每个信封中钱的期望，其实是0.5*1+0.5*2=1.5。
（接下来是two-evelope problem的变式）
那好，要是你拿到信封，在我还没问那个问题之前，你手快，拆开了信封，看到里面装的钱数，然后你再来决定是否换，这样，你能否拿到更多的钱呢？
比较合理的办法是，你猜测我未必是个富翁，所以很可能手里的钱并不多，更多的情况是，可能出现的钱数是有（一个未知的）上限，一旦你拆开，看到是一个不小的数目，那么另外一个信封装着两倍的钱的可能性很低，你就决定不必换了。如果钱数很小，那么另外一个信封装着两倍的钱的几率仍旧很大,那么你要求换信封。这样做，你有可能拿到更多的钱数。
这样，一个好的策略是：你心里首先想好一个参考值，拿看到的钱数和这个阈值做比较,如果超过，就不必换，如果没有超过，就更换(几率是台阶函数）另外一种则是，换信封的几率，随着第一次看到钱数的增加而降低（几率是指数型单调递减函数，用估计的阈值作指数项中的参数）。
这两种策略，通过计算和模拟，得到更多钱的几率都超过了1/2。
(补充几点说明：
1、虽然初看上去，知道了钱数这个信息没什么用，但正是因为这一步，打破了“两个信封完全相同”的状态，我们才有可能赢更多的钱。
2、估计阈值，并不能（或者无法）借助到其他信息，但即使如此，我们仍然得到了很好的结果。所以，即使是胡猜，有这一步也很关键。
2、拆开信封的游戏中，如果假设我是富翁，即使使用这两个策略，拿到更多钱的几率也只有一半（同原始的问题），因为此时，有限情况下的期望会无限逼近1/2。可以说，富翁赢钱的资本，恰恰是他雄厚的实力。这类似于赌场赢钱的根本原因：如果你想赢，你必须要拿出跟庄家一样的钱数，这是先决条件。以小不能博大，大鱼永远会吃小鱼。)
=========
最后，让我们用一个简单的游戏，结束我们的整篇故事吧。
我们面前有一枚普通的硬币（50/50)，如果你抛到正面，我给你两块钱，你可以继续，如果第二次你仍然抛出正面，我给你四块钱...如果第n轮你抛出的是正面，那么我给你2^n块钱，可是一旦你抛出反面，那么游戏结束，我也不会给你钱。
（比如，你连续抛出的是 正 正 反，那么我给你 2 + 4 = 6 块钱，游戏在第三轮结束）
简单的运算，我们知道，每一步，你获得的钱数期望都是1块钱（快想想看～），那么最终的期望，正比于游戏的轮数。由于我们并不硬性设置上限，所以你获得钱数的期望是正无穷。
如果，我收你10万块钱的门票（也就是，你首先给我10万块，然后我们再玩这个游戏）你还会玩么？不要忘了，游戏里，你可能获得的钱数是正无穷。
如果我没猜错，你会拒绝。
那如果这个钱数很少（比如是10块），我猜你会选择玩，是么？
理由一：我这个东家不可能很有钱，你不信在n轮之后，我仍然能掏出这么多钱给你，所以你拒绝。但是百八十块，我很容易有的。所以，你会选择玩。
类似之前的故事，找出一个心理的阈值，能够帮我们决定最后的策略，哪怕找这个阈值完全不依赖其他信息。
理由二：你觉得，你要想在10万块门票的游戏中盈利，需要经过很多步（周期太长，各态不能遍历），而各个结果的落差（方差）也极大，你判断了风险之后，拒绝参加。而10块钱门票，二者都很低，所以你会选择玩。
当然了，是否会玩，不同人有不同的观点，我在这里只是给出了两种可能的答案。而且，想成为富翁，还是要通过辛勤的工作和合理的理财。
所以，最后祝各位生财有道，成为人生的温拿～
如果概括说，这算是“各取所长，略其所短”。
生活中真的碰得到这么复杂的事情么？答案是，没错。
我们是不是经常会看到这样的现象：平时吃零食，开始吃到的总是大块的薯片或者坚果？而袋子底部都是些细渣。这难道是商家在捣鬼么？大块的零食不是应该因为重力更大的原因，在无数次摇晃之后，掉落在袋底么？实际上是因为：正是小块的零食阻挡了大块零食的下落，在无数次随机碰撞之后，最细碎的统统落在袋子底部，稍大些的在中间，而最大块的零食，因为下落不顺畅，留在了袋子顶部。
这种，通过组合同一个方向的策略，最终却得到反方向结论的，数学上被称为Parrondo Paradox，结构比Simpson paradox更复杂，乍看上去也不一样，但实际的原理很类似。都是一种通过组合，彼此削弱内部的结构，得出了让人惊讶的结论。
(当然，我们也可以用kinetic barrier的语言解释：你可以把五个格子假想成连续的山势，而押的宝像是在山上滚的石头，两个单独的方案，barrier的走势比较凌乱，而输的一侧的势低于赢的一侧，所以更容易输，而组合之后的策略，可以看到整个山势明显的向右倾斜，落在上面的石头，也就更容易像右滚落了。)
Parrondo Paradox最经典的例子，莫过于flashing ratchet。网上有许多生动的说明，这里就不赘述了。
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看来“输久未必输”，可是“总赢真能赢”么？(囧，这个默，一点儿都不幽～)
我们举有名的two-envelope problem
如果我给你两个信封，其中一个装的钱数是另一个的两倍，而你只能选择其中的一个，拿走里面装的钱。开始的时候，你随便选择一个信封，还没等拆开，我问你，你想好了么？
你想，如果手里的钱期望为1，另一个信封装的钱有一半的可能只有手里这个的一半，有一半的可能性是手里的两倍，那么期望是0.5*0.5+0.5*2=1.25。额，期望比手里的这个高，所以，如果你没有拆开信封，你的最佳策略是，一定要换信封，对么？
额，不对啊，两个信封不是一样的么？为什么换一次，就能获得更多的钱呢？嗯，的确，我们假设你换了信封，我再问你，你想好了么？你再经过同样的思考步骤，又要换一次，而且永远换下去。
明明是总赢的策略，却并不能真的赢呢？这是因为，只要不拆开信封，两个信封情况完全相同。所以，对称条件下，你无法选出一个装钱更多的策略，所以，拿到钱多的几率，只有1/2，每个信封中钱的期望，其实是0.5*1+0.5*2=1.5。
（接下来是two-evelope problem的变式）
那好，要是你拿到信封，在我还没问那个问题之前，你手快，拆开了信封，看到里面装的钱数，然后你再来决定是否换，这样，你能否拿到更多的钱呢？
比较合理的办法是，你猜测我未必是个富翁，所以很可能手里的钱并不多，更多的情况是，可能出现的钱数是有（一个未知的）上限，一旦你拆开，看到是一个不小的数目，那么另外一个信封装着两倍的钱的可能性很低，你就决定不必换了。如果钱数很小，那么另外一个信封装着两倍的钱的几率仍旧很大,那么你要求换信封。这样做，你有可能拿到更多的钱数。
这样，一个好的策略是：你心里首先想好一个参考值，拿看到的钱数和这个阈值做比较,如果超过，就不必换，如果没有超过，就更换(几率是台阶函数）另外一种则是，换信封的几率，随着第一次看到钱数的增加而降低（几率是指数型单调递减函数，用估计的阈值作指数项中的参数）。
这两种策略，通过计算和模拟，得到更多钱的几率都超过了1/2。
(补充几点说明：
1、虽然初看上去，知道了钱数这个信息没什么用，但正是因为这一步，打破了“两个信封完全相同”的状态，我们才有可能赢更多的钱。
2、估计阈值，并不能（或者无法）借助到其他信息，但即使如此，我们仍然得到了很好的结果。所以，即使是胡猜，有这一步也很关键。
2、拆开信封的游戏中，如果假设我是富翁，即使使用这两个策略，拿到更多钱的几率也只有一半（同原始的问题），因为此时，有限情况下的期望会无限逼近1/2。可以说，富翁赢钱的资本，恰恰是他雄厚的实力。这类似于赌场赢钱的根本原因：如果你想赢，你必须要拿出跟庄家一样的钱数，这是先决条件。以小不能博大，大鱼永远会吃小鱼。)
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最后，让我们用一个简单的游戏，结束我们的整篇故事吧。
我们面前有一枚普通的硬币（50/50)，如果你抛到正面，我给你两块钱，你可以继续，如果第二次你仍然抛出正面，我给你四块钱...如果第n轮你抛出的是正面，那么我给你2^n块钱，可是一旦你抛出反面，那么游戏结束，我也不会给你钱。
（比如，你连续抛出的是 正 正 反，那么我给你 2 + 4 = 6 块钱，游戏在第三轮结束）
简单的运算，我们知道，每一步，你获得的钱数期望都是1块钱（快想想看～），那么最终的期望，正比于游戏的轮数。由于我们并不硬性设置上限，所以你获得钱数的期望是正无穷。
如果，我收你10万块钱的门票（也就是，你首先给我10万块，然后我们再玩这个游戏）你还会玩么？不要忘了，游戏里，你可能获得的钱数是正无穷。
如果我没猜错，你会拒绝。
那如果这个钱数很少（比如是10块），我猜你会选择玩，是么？
理由一：我这个东家不可能很有钱，你不信在n轮之后，我仍然能掏出这么多钱给你，所以你拒绝。但是百八十块，我很容易有的。所以，你会选择玩。
类似之前的故事，找出一个心理的阈值，能够帮我们决定最后的策略，哪怕找这个阈值完全不依赖其他信息。
理由二：你觉得，你要想在10万块门票的游戏中盈利，需要经过很多步（周期太长，各态不能遍历），而各个结果的落差（方差）也极大，你判断了风险之后，拒绝参加。而10块钱门票，二者都很低，所以你会选择玩。
当然了，是否会玩，不同人有不同的观点，我在这里只是给出了两种可能的答案。而且，想成为富翁，还是要通过辛勤的工作和合理的理财。
所以，最后祝各位生财有道，成为人生的温拿～
