数学直觉与发现
一、概论
“有一种不会错的感觉 我们自信地跟随它前进并且它常常引导我们到正确的方向。如果这种感觉很强烈并且是突然发生的 我们称之为灵感。”
三大思维：逻辑 形象 直觉。（直觉与形象关系密切 借助具有某种程度抽象的、模式化了的模糊形象）
直觉思维的非逻辑性（不可解释、逻辑程序简缩、综合性 从整体上把握）自发性（突发性开始、突变性过程、突破性结果）
直觉是发现的工具 逻辑是证明的工具（光凭逻辑产生不了新思想）直觉需要逻辑分析为前提 需要逻辑证明或完善
二、数学中的直觉猜想
先猜后证。
数学的二重性：严谨证明和猜想（严谨性掩盖了直觉猜想的存在）
公理化思想（不证自明公理出发的逻辑推理）
根据直觉建立理论 数学不能全靠逻辑。
三、数学直觉力
直觉洞察力是一种心理定势 不需要一步步演算 而是进行三级跳。
数学直觉力的强弱依赖于经验 与知识组块有关（大脑中信息是概念的关系）
整体把握：心智图像（知识以个体自己的方式存储）、推理的序可以用直觉去把握、笛卡尔连接（抽象与形象的结合）
四、数学中的直觉选择
重大的个别问题是数学活的血液，用新方法解决老问题可以推动纯数学发展。
数学的发明是由已知的数学事实做出新的组合，数学发现的本质在于做出正确的选择（新的组合中）
用直觉选择解题方法，具体的直觉方法解题
五、数学中的审美直觉
数学事实间的最佳组合（发明）往往是依靠审美直觉来作出的 能不能领悟数学美，取决于数学素养。
数学美的标志：和谐性（千变万化的状态中存在不变量）简单性（简单的原理概括大量的事实）奇异性（新的不平常的东西）
美的追求导致发现（美和真存在微妙的统一） 一种理论尚未达到美的境界，必须继续进行创造。数学中的悖论是丑，数学的发展是美战胜丑的历史。
数学命题有和谐性;解题要运用审美的直觉洞察内在的隐蔽的相依关系;我们借助审美直觉可以很快猜出答案（在数学题题设的条件里地位相同的未知量 可以想象它们在解答中地位也相同）
六、归纳与直觉
概括由经验获得的事实（归纳）建立逻辑必然的知识体系（演绎）归纳是预言新知识的工具 演绎证明猜想 数学归纳是归纳加演绎简单枚举法（完全和不完全）
第一归纳法直觉归纳法 第二类归纳法归纳常常从观察开始 观察实验的方法很有用。
直觉归纳需要理智上的勇气 理智上的诚实 明智的克制
七、类比和直觉
根据两个对象相似，把信息从一个对象转移给另一个对象（要善于发现不同对象之间的相似）
类比推理可在不同知识领域之间实行知识的过渡 类比的结论受到前提限制最小 在科学发现中作用最大 结论往往不可靠。
数学类比有定性定量和推导 可靠程度高。形式逻辑的类比和直觉类比（思维有很大跳跃性）
特殊化一般化类比在解题中的作用、类比与归纳协同作战（公式定理的发现 概念的推广）
一个猜想有任何新的结论得到证实 它就变得更可靠，一个与之类似的猜想更可靠 它也就更可靠。
八、经验与直觉
爱因斯坦创造原理模式：经验——直觉——概念或假设——逻辑推理——理论
直觉不是单从经验中归纳出来的，不能通过固定的归纳法程序来完成。直觉是一种直接的理解和领悟。公理额不证自明性 实质是其符合经验。有目的地实践、有意识地总结经验、充分利用经验是一条成功之路。
经验受到历史背景与科学环境的约束 具有局限性。
可将题中有关诸量都用基本量来表达，使问题转化成仅仅涉及到基本量额寻求，从而减少变量的个数 较快地解决问题（基本量法）多一个等式 就减少一个基本量
九、数学灵感的诱发
逻辑是直觉的前奏曲，产生灵感时，自觉的逻辑活动停止了，依靠潜意识活动在思考。不按清醒状态按通常逻辑程序思想，这一差异提供了思想自由驰骋的机会。
灵感的发生是意识和潜意识相互通融，交互作用的结果。突然彻悟是经过自觉的思考和不自觉的工作之后发生的。
潜意识的活动仅仅受美的意识支配。数学发明四阶段（准备 酝酿 顿悟 整理）
诱发灵感的触发信息：点化作用（交谈阅读）启发原型。触发信息激发灵感 需要经过一个信息的迁移过程（类比联想）
诱发灵感的方法：深入钻研 心理活动推向高潮;暗示右脑;搁置问题;跟踪记录。变更问题（解题的成功要靠正确思路的选择 为辨别哪条思路正确 要试探各种方向思路 要变更问题 变化问题引进新问题 增加接触点 扩大联想面）变成等价的特殊的 相关的问题。
数学教育要发展学生的直觉天赋 培养创造性思维
“有一种不会错的感觉 我们自信地跟随它前进并且它常常引导我们到正确的方向。如果这种感觉很强烈并且是突然发生的 我们称之为灵感。”
三大思维：逻辑 形象 直觉。（直觉与形象关系密切 借助具有某种程度抽象的、模式化了的模糊形象）
直觉思维的非逻辑性（不可解释、逻辑程序简缩、综合性 从整体上把握）自发性（突发性开始、突变性过程、突破性结果）
直觉是发现的工具 逻辑是证明的工具（光凭逻辑产生不了新思想）直觉需要逻辑分析为前提 需要逻辑证明或完善
二、数学中的直觉猜想
先猜后证。
数学的二重性：严谨证明和猜想（严谨性掩盖了直觉猜想的存在）
公理化思想（不证自明公理出发的逻辑推理）
根据直觉建立理论 数学不能全靠逻辑。
三、数学直觉力
直觉洞察力是一种心理定势 不需要一步步演算 而是进行三级跳。
数学直觉力的强弱依赖于经验 与知识组块有关（大脑中信息是概念的关系）
整体把握：心智图像（知识以个体自己的方式存储）、推理的序可以用直觉去把握、笛卡尔连接（抽象与形象的结合）
四、数学中的直觉选择
重大的个别问题是数学活的血液，用新方法解决老问题可以推动纯数学发展。
数学的发明是由已知的数学事实做出新的组合，数学发现的本质在于做出正确的选择（新的组合中）
用直觉选择解题方法，具体的直觉方法解题
五、数学中的审美直觉
数学事实间的最佳组合（发明）往往是依靠审美直觉来作出的 能不能领悟数学美，取决于数学素养。
数学美的标志：和谐性（千变万化的状态中存在不变量）简单性（简单的原理概括大量的事实）奇异性（新的不平常的东西）
美的追求导致发现（美和真存在微妙的统一） 一种理论尚未达到美的境界，必须继续进行创造。数学中的悖论是丑，数学的发展是美战胜丑的历史。
数学命题有和谐性;解题要运用审美的直觉洞察内在的隐蔽的相依关系;我们借助审美直觉可以很快猜出答案（在数学题题设的条件里地位相同的未知量 可以想象它们在解答中地位也相同）
六、归纳与直觉
概括由经验获得的事实（归纳）建立逻辑必然的知识体系（演绎）归纳是预言新知识的工具 演绎证明猜想 数学归纳是归纳加演绎简单枚举法（完全和不完全）
第一归纳法直觉归纳法 第二类归纳法归纳常常从观察开始 观察实验的方法很有用。
直觉归纳需要理智上的勇气 理智上的诚实 明智的克制
七、类比和直觉
根据两个对象相似，把信息从一个对象转移给另一个对象（要善于发现不同对象之间的相似）
类比推理可在不同知识领域之间实行知识的过渡 类比的结论受到前提限制最小 在科学发现中作用最大 结论往往不可靠。
数学类比有定性定量和推导 可靠程度高。形式逻辑的类比和直觉类比（思维有很大跳跃性）
特殊化一般化类比在解题中的作用、类比与归纳协同作战（公式定理的发现 概念的推广）
一个猜想有任何新的结论得到证实 它就变得更可靠，一个与之类似的猜想更可靠 它也就更可靠。
八、经验与直觉
爱因斯坦创造原理模式：经验——直觉——概念或假设——逻辑推理——理论
直觉不是单从经验中归纳出来的，不能通过固定的归纳法程序来完成。直觉是一种直接的理解和领悟。公理额不证自明性 实质是其符合经验。有目的地实践、有意识地总结经验、充分利用经验是一条成功之路。
经验受到历史背景与科学环境的约束 具有局限性。
可将题中有关诸量都用基本量来表达，使问题转化成仅仅涉及到基本量额寻求，从而减少变量的个数 较快地解决问题（基本量法）多一个等式 就减少一个基本量
九、数学灵感的诱发
逻辑是直觉的前奏曲，产生灵感时，自觉的逻辑活动停止了，依靠潜意识活动在思考。不按清醒状态按通常逻辑程序思想，这一差异提供了思想自由驰骋的机会。
灵感的发生是意识和潜意识相互通融，交互作用的结果。突然彻悟是经过自觉的思考和不自觉的工作之后发生的。
潜意识的活动仅仅受美的意识支配。数学发明四阶段（准备 酝酿 顿悟 整理）
诱发灵感的触发信息：点化作用（交谈阅读）启发原型。触发信息激发灵感 需要经过一个信息的迁移过程（类比联想）
诱发灵感的方法：深入钻研 心理活动推向高潮;暗示右脑;搁置问题;跟踪记录。变更问题（解题的成功要靠正确思路的选择 为辨别哪条思路正确 要试探各种方向思路 要变更问题 变化问题引进新问题 增加接触点 扩大联想面）变成等价的特殊的 相关的问题。
数学教育要发展学生的直觉天赋 培养创造性思维
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