哪些高端大气的数学定理可以简洁地证明高中数学压轴题？

事实上高考考纲中是有关于考试要体现与高等数学的过渡衔接的要求的（关于这点，谨慎起见，请参阅本省的考试大纲），所以压轴题完全有可能有更深层次（超过高考要求）的数学背景。而且据答主个人经验，这样的题目比例还不小。但是！用更“高等”的超纲知识“秒杀”这样的题目显然是违背了命题初衷。不难想象的是，如果这种行为受到鼓励，很容易导致考试范围的模糊和各中学之间对超纲知识的“军备竞赛”。这对大部分考生和高考本身都是不利的。这就从根本上决定了用超纲知识解题是为主流所排斥的，对于考生则意味着这样解题的失分风险大大增加。
当然，一纸大纲难以适应全部考生的需要。对于水平较为出色的同学，在保证对常规方法已经扎实掌握、运算正确而高效的前提下，适当了解题目的命题背景则可以起到高屋建瓴的效果。如果能在做题前就把题目看透，对解题的心态也会有所有帮助。这里列举一些答主知道的可能在压轴题用得上的知识点供参考：
圆锥曲线：
1.曲线系
2.仿射变换（很多圆锥曲线题的背景可以归结到圆的性质）
3.射影几何初步（极点、极线、对偶原理，这类压轴题无处不在）
4.圆锥曲线的光学性质
5.参数方程与极坐标方程（属于选修内容）
6.方程的齐次化
函数导数：
1.epsilon-delta语言
2.微分中值定理（常用的是拉格朗日中值定理）
3.洛必达法则（求参数范围）
4.泰勒公式
5.凸函数与琴生不等式
这里再次强调，即使你对自己的水平相当有自信并能够正确应用超纲知识，也请轻易不要在考试中使用，除非：
1.在卷面上用常规方法作答，在草稿纸上用超纲知识验算
2.用常规方法写不出来，只好紧急用超纲方法骗骗分（考后就该反省自己常规方法是否掌握熟练了）
3.你能把这些知识点以非超纲的形式呈现给老师（例如，拉格朗日中值定理你可以直接对题目中的函数证明一遍）