向量的点乘和叉乘的几何意义
高中几何都差不多忘干净了，需要补一补课，看看能不能从几何意义上去理解向量的基本概念和几本运算规则。如果时间足够多，可以从头开始就好了。不是说认识到就是最适合的时候吗？
找了些材料，还是国外的解释多从原理出发，而不是我们那样上来就一堆公式，界面不友好。还筑起高强把那些好的内容也一并给强在外边，实在可惜，有空想把它们都搬到国内。国内所谓大咖们，嘿嘿。
以下内容转自：（貌似都转好几手了）
http://blog.csdn.net/zxj1988/article/details/6260576
又发现了一个更好的说明，就先把链接放这里了。
http://www.cnblogs.com/AndyJee/p/3491458.html
向量加法
向量也支持各种数学运算。最简单的就是加法。我们可以对两个向量相加，得到的仍然是一个向量。我们有：
V1（x1, y1）+V2（x2, y2）= V3 (x1+x2, y1+y2)
下图表示了四个向量相加。注意就像普通的加法一样,相加的次序对结果没有影响（满足交换律），减法也是一样的。
点乘（Dot Product, 在此点用＊代替）
如果说加法是凭直觉就可以知道的，另外还有一些运算就不是那么明显的，比如点乘和叉乘。
点乘比较简单，是相应元素的乘积的和：
V1( x1, y1) V2(x2, y2) = x1*x2 + y1*y2
注意结果不是一个向量，而是一个标量（Scalar）。点乘有什么用呢，我们有：
A * B = |A||B|Cos(θ)
θ是向量A和向量B之间的夹角。
这里|A|我们称为向量A的模(norm)，也就是A的长度， 在二维空间中就是|A| = sqrt(x2+y2)。这样我们就和容易计算两条线的夹角：
Cos(θ) = A * B /(|A||B|)
当然你知道要用一下反余弦函数acos()啦。（回忆一下cos(90)=0 和cos(0) = 1还是有好处的，希望你没有忘记。）这可以告诉我们如果点乘的结果，简称点积，为0的话就表示这两个向量垂直。当两向量平行时，点积有最大值。
另外，点乘运算不仅限于2维空间，他可以推广到任意维空间。（译注：不少人对量子力学中的高维空间无法理解，其实如果你不要试图在视觉上想象高维空间，而仅仅把它看成三维空间在数学上的推广，那么就好理解了）
叉乘（cross product）
相对于点乘，叉乘可能更有用吧。2维空间中的叉乘是：
V1(x1, y1) X V2(x2, y2) = x1y2 – y1x2
看起来像个标量，事实上叉乘的结果是个向量，方向在z轴上。上述结果是它的模。在二维空间里，让我们暂时忽略它的方向，将结果看成一个向量，那么这个结果类似于上述的点积，我们有：
A x B = |A||B|Sin(θ)
然而角度 θ和上面点乘的角度有一点点不同，他是有正负的，是指从A到B的角度。下图中 θ为负。
另外还有一个有用的特征那就是叉积的绝对值就是A和B为两边说形成的平行四边形的面积。也就是AB所包围三角形面积的两倍。在计算面积时，我们要经常用到叉积。
（译注：三维及以上的叉乘参看维基：http://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product）
点-线距离
找出一个点和一条线间的距离是经常遇见的几何问题之一。假设给出三个点，A，B和C，你想找出点C到点A、B定出的直线间距离。第一步是找出A到B的向量AB和A到C的向量AC，现在我们用该两向量的叉积除以|AB|，这就是我们要找的的距离了（下图中的红线）。
d = (AB x AC)/|AB|
如果你有基础的高中几何知识，你就知道原因了。上一节我们知道(AB X AC)/2是三角形ABC的面积，这个三角形的底是|AB|，高就是C到AB的距离。有时叉积得到的是一个负值，这种情况下距离就是上述结果的绝对值。
当我们要找点到线段的距离时，情况变得稍稍复杂一些。这时线段与点的最短距离可能是点到线段的某一端点，而不是点到直线的垂线。例如上图中点C到线段AB的最短距离应该是线段BC。我们有集中不同的方法来判断这种特殊情况。第一种情况是计算点积AB Bc来判定两线段间夹角。如果点积大于等于零，那么表示AB到BC是在-90到90度间，也就是说C到AB的垂线在AB外，那么AB上到C距离最近的点就是B。同样，如果BAAC大于等于零，那么点A就是距离C最近的点。如果两者均小于零，那么距离最近的点就在线段AB中的莫一点。
找了些材料，还是国外的解释多从原理出发，而不是我们那样上来就一堆公式，界面不友好。还筑起高强把那些好的内容也一并给强在外边，实在可惜，有空想把它们都搬到国内。国内所谓大咖们，嘿嘿。
以下内容转自：（貌似都转好几手了）
http://blog.csdn.net/zxj1988/article/details/6260576
又发现了一个更好的说明，就先把链接放这里了。
http://www.cnblogs.com/AndyJee/p/3491458.html
向量加法
向量也支持各种数学运算。最简单的就是加法。我们可以对两个向量相加，得到的仍然是一个向量。我们有：
V1（x1, y1）+V2（x2, y2）= V3 (x1+x2, y1+y2)
下图表示了四个向量相加。注意就像普通的加法一样,相加的次序对结果没有影响（满足交换律），减法也是一样的。
点乘（Dot Product, 在此点用＊代替）
如果说加法是凭直觉就可以知道的，另外还有一些运算就不是那么明显的，比如点乘和叉乘。
点乘比较简单，是相应元素的乘积的和：
V1( x1, y1) V2(x2, y2) = x1*x2 + y1*y2
注意结果不是一个向量，而是一个标量（Scalar）。点乘有什么用呢，我们有：
A * B = |A||B|Cos(θ)
θ是向量A和向量B之间的夹角。
这里|A|我们称为向量A的模(norm)，也就是A的长度， 在二维空间中就是|A| = sqrt(x2+y2)。这样我们就和容易计算两条线的夹角：
Cos(θ) = A * B /(|A||B|)
当然你知道要用一下反余弦函数acos()啦。（回忆一下cos(90)=0 和cos(0) = 1还是有好处的，希望你没有忘记。）这可以告诉我们如果点乘的结果，简称点积，为0的话就表示这两个向量垂直。当两向量平行时，点积有最大值。
另外，点乘运算不仅限于2维空间，他可以推广到任意维空间。（译注：不少人对量子力学中的高维空间无法理解，其实如果你不要试图在视觉上想象高维空间，而仅仅把它看成三维空间在数学上的推广，那么就好理解了）
叉乘（cross product）
相对于点乘，叉乘可能更有用吧。2维空间中的叉乘是：
V1(x1, y1) X V2(x2, y2) = x1y2 – y1x2
看起来像个标量，事实上叉乘的结果是个向量，方向在z轴上。上述结果是它的模。在二维空间里，让我们暂时忽略它的方向，将结果看成一个向量，那么这个结果类似于上述的点积，我们有：
A x B = |A||B|Sin(θ)
然而角度 θ和上面点乘的角度有一点点不同，他是有正负的，是指从A到B的角度。下图中 θ为负。
另外还有一个有用的特征那就是叉积的绝对值就是A和B为两边说形成的平行四边形的面积。也就是AB所包围三角形面积的两倍。在计算面积时，我们要经常用到叉积。
（译注：三维及以上的叉乘参看维基：http://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product）
点-线距离
找出一个点和一条线间的距离是经常遇见的几何问题之一。假设给出三个点，A，B和C，你想找出点C到点A、B定出的直线间距离。第一步是找出A到B的向量AB和A到C的向量AC，现在我们用该两向量的叉积除以|AB|，这就是我们要找的的距离了（下图中的红线）。
d = (AB x AC)/|AB|
如果你有基础的高中几何知识，你就知道原因了。上一节我们知道(AB X AC)/2是三角形ABC的面积，这个三角形的底是|AB|，高就是C到AB的距离。有时叉积得到的是一个负值，这种情况下距离就是上述结果的绝对值。
当我们要找点到线段的距离时，情况变得稍稍复杂一些。这时线段与点的最短距离可能是点到线段的某一端点，而不是点到直线的垂线。例如上图中点C到线段AB的最短距离应该是线段BC。我们有集中不同的方法来判断这种特殊情况。第一种情况是计算点积AB Bc来判定两线段间夹角。如果点积大于等于零，那么表示AB到BC是在-90到90度间，也就是说C到AB的垂线在AB外，那么AB上到C距离最近的点就是B。同样，如果BAAC大于等于零，那么点A就是距离C最近的点。如果两者均小于零，那么距离最近的点就在线段AB中的莫一点。
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