关于基本数学的疑问
早在古希腊和罗马，毕达哥拉斯奠定了数学自身的基础，和解释世界的哲学地位。据说，他小时候，有一次背着柴禾上街，有一位长者见到后，说：从你捆柴禾的方法看，你很有数学天分，你长大后会成为一个了不起的学者。毕达哥拉斯不仅有天分，而且有着另外一个成功必须的重要禀赋：魄力。他扔掉柴禾，渡海去向著名的学者求学。在老师的引导下，他的数学天赋很快完全展现，他发现并定义了一大堆可以称为数学大厦基础的数学定理和数学现象，当然最为著名的是“勾股定理”。
后来，他的兴趣向哲学拓展，创立了毕达哥拉斯学派。他的基本哲学思想是：世界是数。世界的一切现象，都可以用数和数的关系来表达。
就在200年后，另外一个富有天分的青年数学家，毕达哥拉斯学派的门徒：希伯斯，发现了无理数：无限不循环小数。古希腊人们曾经信仰，世界的一切都是确定的。所以所有的数，都可以写为一个分子和分母都是整数的分数形式。比如：整数2，可以写为：2/1；有限小数2.1可以写为21/10;而循环小数 2.1(•)，可写为19/9。
希伯斯发现，边长为1的等腰直角三角形的斜边 ，即 ，是一个无限不循环小数。这意味着这个后来被称为“无理数”的 将无法得到一个确切的空间位置。毕达哥拉斯为大家描绘的井井有条的具有优雅的数学结构的世界，突然变得不确定和丑陋了。
希伯斯被愤怒的同门学长们扔进大海，再也没有浮出水面。但是无理数却很快被人们所确认了。至今为止，我们所知道的无理数，包括大多数自然数的开2次方；π ，这个至今都在困扰人们的著名的圆周率；还有著名的常数e。
无理数，引发了第一次数学危机。它暗示：世界的奥秘隐藏在“极限”概念中。
十七世纪，牛顿和莱布尼茨各自独立发明了微积分。微积分在应用中取得极大的成功，至今仍旧在各个领域发挥巨大的作用。但是它的基础建立在一个非常矛盾的基础上：Δx = 0并且 Δx ≠0。
这就是第二次数学危机。
到了19世纪，柯西用“严格”的科学方式，定义了微积分的基础：极限，看似解决了这个难题。他的方法是：
定义：设|Xn|为一数列，如果存在常数a对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时， |Xn - a|<ε 都成立，那么就称常数a是数列|Xn|的极限，或称数列|Xn|收敛于a。记为 lim Xn = a 或Xn→a（n→∞）
除非，你是数学系的，否则请直接跳过刚才这段公式。霍金在《时间简史》中说，每增加一个方程式，科普文章的魅力和可读性将减少一半。
我们需要知道的是：柯西用了“给定”、“总存在”、“收敛于”这几个非常科学、非常严谨的用词，来准确定义“无限小”这个概念。这就是柯西极限被人们赞叹的原因。
然而仔细观察柯西极限，我们看到，其实，这就是把牛顿比较朴素的微积分，作了一个精细的包装。其实它的内容和涵义没有改变。
在柯西概念中，无限小收敛于零，有两个性质：一方面，无论如何趋近于零，但是永远不会等于零；另一个方面，经过包装后，有了“给定”“存在”“收敛于”这样的学术用语，特别是“收敛于”这个貌似非常堂皇的封号，它开始名正言顺地在各种积分运算中，以“零”的代言人不断出现。根据不同的需要，极限一会儿等于零，一会儿不等于零。就像一个人身上带着两张名片，不同场合切换使用，左右逢源。
而康托尔的集合论，通过集合与集合的对应关系，把极限的难题，从线段关系，推向了二维乃至多维空间关系。但是从对应关系推出的“局部等于整体”的结论，使康托尔的朴素集合论面临一个新的矛盾，即“理发师”悖论所提出的：某个集合，既是自己，又不是自己。这就是第三次数学危机。迄今为止，它已经衍生出三大现代数学流派，各自都获得了非常瞩目的成绩，但都是现象学和应用学层面上的。对于关系到实相层面的，问题始终没有解决。
纵观整个数学史，在关于“无限”概念的领域中，最基本的难题始终困扰人们。三次数学危机，本质上都是一样的，这方面似乎没有真正的进展。
虽然，人们一再宣布，已经解决了前人的难题，就像人们一再宣称解决了芝诺悖论一样。但是，实际上，他们只是通过更加复杂的表述方式，或者更加高级的定理，来转移矛盾。这种解决的方案，就像“奥运火炬”。矛盾本身没有改变，也没有熄灭。但是它不断在人们的手中接力，从而不断转换阵地，以逃避当地的审查。这就像火车上的逃票游戏，或者像中国的“超生游击队”一样。一个更加形象的比喻是中国孩子经常玩的“击鼓传花”游戏或者“丢手帕”游戏。
这样的情况在科学史上一再重复。这种现象，我们可以称为“奥运火炬”现象，或者“接力棒”现象，或者“丢手帕”现象。
那么，如何真正解答这个基础性的难题呢？
在计算机算法中，有一个基本的算法，叫“回溯法”。它是一种有次序的穷举方法。比较典型的题目，就是走迷宫。为了走出迷宫，我们从起点出发，每到一个岔路口，就标记上(1), 然后选择一个路口往前探索，到了下一个岔路口时，再标记（2），再选择其一继续探索。探索的原则是“深度优先搜索”法。如果走通了，就是有解。如果此路不通，就回头穷尽其他的可能性。
“回溯法”的一个重要思路是：当我们在某一个方向上始终走不通的时候，我们必须回到之前的假设上，换一个可能性，重新探索。如果还不行，则要回到更前的假设上，探索其他可能性。
“回溯法”是自然科学史上最重要的方法。每一次划时代的新发现或者新理论，都是回到基本的假设上，推翻似乎那么不容置疑的“常识”，换一个可能性进行探索，只要它在逻辑上合理和自洽。
由于每一次重大的回溯，都是进入一条完全崭新的路，所以，每一次重大的回溯，都会带来一次潮涌般的变革，从未走过的新路上各种新景色让人眼花缭乱。
“回溯法”最大的障碍，是人们顽固的“常识”。为了打破成见，我们必须勇敢地提醒自己福尔摩斯那个非常经典、富有哲理性的话：“我的方法，就建立在这样一种假设上面：当你把一切不可能的结论都排除之后，那剩下的，不管多么离奇，也必然是事实。”（《新探案‧皮肤变白的军人》）”
数学三大危机，已经非常明显地告诉人们，最基本的矛盾，在最初的假设上。所以，必须利用回溯法解决问题。固执地按照旧的方向往前，只能迷失在越来越复杂细化的死胡同里。
那么，我们应该回到哪里去呢？
回到牛顿！
牛顿说：Δx = 0 并且 Δx≠ 0
这个结论看似非常矛盾。但是“看似”矛盾，并不真的一定矛盾。就像量子力学史上，海森堡发现p+q≠q+p。我们要敢于去验证这个结果。如果这个结果非常可靠，那么不管多么违反我们的常识，我们也要敢于去揭开它的面纱，了解面纱背后的真正涵义！
Δx = 0 并且 Δx≠ 0
那么，这个“矛盾”的来源，究竟是牛顿错误的假设，还是有不为人知的奥秘隐藏其中？
我们知道，微积分的应用非常广泛，而且取得了极其辉煌的战绩。这说明，牛顿微积分运算中的这个矛盾的假设，其实有自身的合理性。柯西的极限概念，只是一种“包装”。而康托尔的“集合论”，则是“奥运火炬”现象。这些可以在应用上满足人们的“鸵鸟心理”，但是并没有真正去了解这个假设的真实涵义。现在，也许是时候揭开面纱看看了。长期以来，人们认为Δx≠ 0才是真实的，Δx = 0只是为了计算需要的一个假借。但是，人们的常识是不可靠的，应该让数理逻辑来说话。让我们试着演算一下关于无限小数的一些基本公式，看我们可以得到什么,经过观察，我们发现：
0.1(•)= 1/9 这是一个无限循环小数。
又：0.1(•) 9 = 0.9(•) = 1/9 9 =9/9
所以：1 – 0.9(•) = 1 – 9/9 = 1-1 = 0
这是一个小学五年级学生就能够看懂的公式。我们这里做的，仅仅是让1去减 0.9(•) 而已。 我没有任何数学基础，这一点可怜的知识，还是来自我儿子的奥数课本。
可是，这又有什么意义呢？好，问题在于：1- 0.9(•)意味着什么？——对了！意味着无穷小！
1 – 0.9(•)，在我们模糊的常识中，应该是0.’0’……小数点后面，再跟无数个零，最后（如果有最后的话），会出现一个1。
我们曾经认为，这个结尾的1，永远找不到，因为小数位是无限拓展下去的。但是，结尾也不会等于0，所以结尾的1又是应该存在的。我们的宏观世界，就在这个非常模糊的观念中，像时钟一样继续“非常优雅非常逻辑”地走下去。只有极少数喜欢“刨根问底”的人，才隐隐约约猜到，所有的高楼大厦，其实都是海市蜃楼。
这个公式，让我们想起了什么？—— 是的，“离一多因”。
还有人不甘心，他们说，请等等，还有无理数。
其实，仅仅依靠无限循环小数，已经可以独立解答世界的本质。不过，为了让更多的人明白这一点，我们再来看看，无理数方面，是否有什么新的启发：
非常感谢我小学五年级的儿子。下面的结论和证明方法，是他提出来的。我们两个人的数学知识，加起来，不会超过一个初三的学生。也许，这里的证明方式，很快就会受到各方面的诘难。但是通过历史，我发现，最原始的，才是最深奥的。而且，虽然我们的数学基础非常差，但是借助佛法的熏陶，我的逻辑思维理性，不算非常差，应该足够我们去挖掘这个真相了。所以，我有信心，虽然我们的证明方式肯定是非常幼稚的，但是这个证明带来的启发，无疑是深刻的。
当我把自己的想法告诉儿子时，让我非常惊讶。他说他知道无理数，而且曾经和他的奥数老师关于无理数有过一次争论。老师说存在无理数，儿子说不存在无理数。结果，谁也说服不了谁。
出于鼓励儿子独立思考的目的，我带着好玩的心态，假装很认真地听儿子讲解他的证明。然而，我再一次大吃一惊。
在了解这个证明前，让我们先了解一下无理数的存在，是如何证明的。据我孤陋寡闻的所知，基本上是用反证法：
假设（√2 ）不是无理数，那么（√2 ）可以写成最简分数p/q. 其中，p和q 都是整数，而且互质。
∵（ √2）平方 = 2
∴ （p/q）平方 = p*p / q*q = 2
∴ 2*q*q =p*p
又∵P是整数，∴p 是偶数，可以写成2m 的形式。
∴ 2 *q*q = (2m)*(2m)= 4 m*m
∴ q*q = 2* m*m
∴q 也是偶数。
p,q,都是偶数，这个和最初的假设p,q互质，是矛盾的。
∴ √2 是无理数。也就证明了至少存在一个以上的无理数。
以上是比较经典的证明无理数的方法。
下面，大家不妨带着好玩的心，看看我的儿子，是如何证明“无理数不存在”的。
（1） 2 可以写成 2.000000000 ，总之，末尾是零。
（2） 按照平方数的规律，平方数的末尾是零，则平方根的末尾
也一定是零。
（3） 所以，√2 的末尾，一定会出现零。而一旦出现零的末尾，
即意味着不再无限循环。所以，无理数不存在。
这个证明的一个增强版或者补充说明是：
（1）2 可以写成2.0000000000000000 ，末尾是任意个零，只要你愿意。
（2）按照平方数的规律，平方数末尾有2n个零，则平方根的末
尾就一定有n 个零。
（3） 所以，√2 的末尾，可以是任意个零，只要你愿意。换句话
说，√2 的末尾，一定是零的无限循环。记作： = 1. …… ，所以，2的平方根不是无理数。
这也从另外一个角度证明了：无限不循环小数，末尾一定是很多零。所以，无限小=0。
over！非常漂亮而且简洁明了的证明！
那么，无理数家族还有那个著名的π 呢？对此，儿子今天早上上学路上，也给出了π 不是无理数的证明：
π可以写成：
(π * 10 n次方) / (10n次方)
其中，n趋向于∞。也就是说，π 有多少位小数位，n就相应是多
少。于是，分子（π * 10n次方）是一个整数，而分母10n次方 也是一个整数。这样，π 就不是无理数。
Over！同样非常漂亮，简洁，明了！
以上，通过“非常严格”的数学演算，我们得到了无穷小等于零的结果。这个过程中，没有任何主观解释的成分。
“非常严格”加双引号，是因为我的数学知识几乎等于空白。完全是为了此次探讨的话题，才引发兴趣，从网上搜索到的一点知识。也许，以上问题，早已经有人提出来，并且作了限定和解释。
但是我相信，无论如何解释，都是“奥运火炬”式的矛盾传递和“鸵鸟心理”。而我们这里的证明，其形式也许是很幼稚的，但是其启发意义一定是深刻的。
在无穷小等于0的同时，通过非常多的方法，我们必定又可以推出：无穷小≠0。
比如：∵1≠0，1=∞/∞，∴∞≠0
现在，通过严格的数学方式，我们得到了牛顿手上那个公式：Δx = 0 并且 Δx≠ 0。不同的是，在牛顿那里，它是一个具有矛盾的假设，是为了应用的方便而引入的。虽然在运用中取得了巨大的成功，但是，就像一个没有出生证的“黑户”，它的身份，始终受到人们的质疑。
现在，它已经被证实不是私生子，更不是假冒的骗子。它是有着最纯正血统的数学王国的嫡系传承子弟，而且，是整个王国的希望所在。
下面的事情，是如何来解释它内在的合理性和深刻涵义。
无限小，又等于零，又不等于零。这个声音怎么这么熟悉？是的，无限小的零或非零问题，在物理学领域的投影，就是“光的波粒战争”。而最后的大结局，是一样的：零非零二相性；或者波粒二相性。
后来，他的兴趣向哲学拓展，创立了毕达哥拉斯学派。他的基本哲学思想是：世界是数。世界的一切现象，都可以用数和数的关系来表达。
就在200年后，另外一个富有天分的青年数学家，毕达哥拉斯学派的门徒：希伯斯，发现了无理数：无限不循环小数。古希腊人们曾经信仰，世界的一切都是确定的。所以所有的数，都可以写为一个分子和分母都是整数的分数形式。比如：整数2，可以写为：2/1；有限小数2.1可以写为21/10;而循环小数 2.1(•)，可写为19/9。
希伯斯发现，边长为1的等腰直角三角形的斜边 ，即 ，是一个无限不循环小数。这意味着这个后来被称为“无理数”的 将无法得到一个确切的空间位置。毕达哥拉斯为大家描绘的井井有条的具有优雅的数学结构的世界，突然变得不确定和丑陋了。
希伯斯被愤怒的同门学长们扔进大海，再也没有浮出水面。但是无理数却很快被人们所确认了。至今为止，我们所知道的无理数，包括大多数自然数的开2次方；π ，这个至今都在困扰人们的著名的圆周率；还有著名的常数e。
无理数，引发了第一次数学危机。它暗示：世界的奥秘隐藏在“极限”概念中。
十七世纪，牛顿和莱布尼茨各自独立发明了微积分。微积分在应用中取得极大的成功，至今仍旧在各个领域发挥巨大的作用。但是它的基础建立在一个非常矛盾的基础上：Δx = 0并且 Δx ≠0。
这就是第二次数学危机。
到了19世纪，柯西用“严格”的科学方式，定义了微积分的基础：极限，看似解决了这个难题。他的方法是：
定义：设|Xn|为一数列，如果存在常数a对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时， |Xn - a|<ε 都成立，那么就称常数a是数列|Xn|的极限，或称数列|Xn|收敛于a。记为 lim Xn = a 或Xn→a（n→∞）
除非，你是数学系的，否则请直接跳过刚才这段公式。霍金在《时间简史》中说，每增加一个方程式，科普文章的魅力和可读性将减少一半。
我们需要知道的是：柯西用了“给定”、“总存在”、“收敛于”这几个非常科学、非常严谨的用词，来准确定义“无限小”这个概念。这就是柯西极限被人们赞叹的原因。
然而仔细观察柯西极限，我们看到，其实，这就是把牛顿比较朴素的微积分，作了一个精细的包装。其实它的内容和涵义没有改变。
在柯西概念中，无限小收敛于零，有两个性质：一方面，无论如何趋近于零，但是永远不会等于零；另一个方面，经过包装后，有了“给定”“存在”“收敛于”这样的学术用语，特别是“收敛于”这个貌似非常堂皇的封号，它开始名正言顺地在各种积分运算中，以“零”的代言人不断出现。根据不同的需要，极限一会儿等于零，一会儿不等于零。就像一个人身上带着两张名片，不同场合切换使用，左右逢源。
而康托尔的集合论，通过集合与集合的对应关系，把极限的难题，从线段关系，推向了二维乃至多维空间关系。但是从对应关系推出的“局部等于整体”的结论，使康托尔的朴素集合论面临一个新的矛盾，即“理发师”悖论所提出的：某个集合，既是自己，又不是自己。这就是第三次数学危机。迄今为止，它已经衍生出三大现代数学流派，各自都获得了非常瞩目的成绩，但都是现象学和应用学层面上的。对于关系到实相层面的，问题始终没有解决。
纵观整个数学史，在关于“无限”概念的领域中，最基本的难题始终困扰人们。三次数学危机，本质上都是一样的，这方面似乎没有真正的进展。
虽然，人们一再宣布，已经解决了前人的难题，就像人们一再宣称解决了芝诺悖论一样。但是，实际上，他们只是通过更加复杂的表述方式，或者更加高级的定理，来转移矛盾。这种解决的方案，就像“奥运火炬”。矛盾本身没有改变，也没有熄灭。但是它不断在人们的手中接力，从而不断转换阵地，以逃避当地的审查。这就像火车上的逃票游戏，或者像中国的“超生游击队”一样。一个更加形象的比喻是中国孩子经常玩的“击鼓传花”游戏或者“丢手帕”游戏。
这样的情况在科学史上一再重复。这种现象，我们可以称为“奥运火炬”现象，或者“接力棒”现象，或者“丢手帕”现象。
那么，如何真正解答这个基础性的难题呢？
在计算机算法中，有一个基本的算法，叫“回溯法”。它是一种有次序的穷举方法。比较典型的题目，就是走迷宫。为了走出迷宫，我们从起点出发，每到一个岔路口，就标记上(1), 然后选择一个路口往前探索，到了下一个岔路口时，再标记（2），再选择其一继续探索。探索的原则是“深度优先搜索”法。如果走通了，就是有解。如果此路不通，就回头穷尽其他的可能性。
“回溯法”的一个重要思路是：当我们在某一个方向上始终走不通的时候，我们必须回到之前的假设上，换一个可能性，重新探索。如果还不行，则要回到更前的假设上，探索其他可能性。
“回溯法”是自然科学史上最重要的方法。每一次划时代的新发现或者新理论，都是回到基本的假设上，推翻似乎那么不容置疑的“常识”，换一个可能性进行探索，只要它在逻辑上合理和自洽。
由于每一次重大的回溯，都是进入一条完全崭新的路，所以，每一次重大的回溯，都会带来一次潮涌般的变革，从未走过的新路上各种新景色让人眼花缭乱。
“回溯法”最大的障碍，是人们顽固的“常识”。为了打破成见，我们必须勇敢地提醒自己福尔摩斯那个非常经典、富有哲理性的话：“我的方法，就建立在这样一种假设上面：当你把一切不可能的结论都排除之后，那剩下的，不管多么离奇，也必然是事实。”（《新探案‧皮肤变白的军人》）”
数学三大危机，已经非常明显地告诉人们，最基本的矛盾，在最初的假设上。所以，必须利用回溯法解决问题。固执地按照旧的方向往前，只能迷失在越来越复杂细化的死胡同里。
那么，我们应该回到哪里去呢？
回到牛顿！
牛顿说：Δx = 0 并且 Δx≠ 0
这个结论看似非常矛盾。但是“看似”矛盾，并不真的一定矛盾。就像量子力学史上，海森堡发现p+q≠q+p。我们要敢于去验证这个结果。如果这个结果非常可靠，那么不管多么违反我们的常识，我们也要敢于去揭开它的面纱，了解面纱背后的真正涵义！
Δx = 0 并且 Δx≠ 0
那么，这个“矛盾”的来源，究竟是牛顿错误的假设，还是有不为人知的奥秘隐藏其中？
我们知道，微积分的应用非常广泛，而且取得了极其辉煌的战绩。这说明，牛顿微积分运算中的这个矛盾的假设，其实有自身的合理性。柯西的极限概念，只是一种“包装”。而康托尔的“集合论”，则是“奥运火炬”现象。这些可以在应用上满足人们的“鸵鸟心理”，但是并没有真正去了解这个假设的真实涵义。现在，也许是时候揭开面纱看看了。长期以来，人们认为Δx≠ 0才是真实的，Δx = 0只是为了计算需要的一个假借。但是，人们的常识是不可靠的，应该让数理逻辑来说话。让我们试着演算一下关于无限小数的一些基本公式，看我们可以得到什么,经过观察，我们发现：
0.1(•)= 1/9 这是一个无限循环小数。
又：0.1(•) 9 = 0.9(•) = 1/9 9 =9/9
所以：1 – 0.9(•) = 1 – 9/9 = 1-1 = 0
这是一个小学五年级学生就能够看懂的公式。我们这里做的，仅仅是让1去减 0.9(•) 而已。 我没有任何数学基础，这一点可怜的知识，还是来自我儿子的奥数课本。
可是，这又有什么意义呢？好，问题在于：1- 0.9(•)意味着什么？——对了！意味着无穷小！
1 – 0.9(•)，在我们模糊的常识中，应该是0.’0’……小数点后面，再跟无数个零，最后（如果有最后的话），会出现一个1。
我们曾经认为，这个结尾的1，永远找不到，因为小数位是无限拓展下去的。但是，结尾也不会等于0，所以结尾的1又是应该存在的。我们的宏观世界，就在这个非常模糊的观念中，像时钟一样继续“非常优雅非常逻辑”地走下去。只有极少数喜欢“刨根问底”的人，才隐隐约约猜到，所有的高楼大厦，其实都是海市蜃楼。
这个公式，让我们想起了什么？—— 是的，“离一多因”。
还有人不甘心，他们说，请等等，还有无理数。
其实，仅仅依靠无限循环小数，已经可以独立解答世界的本质。不过，为了让更多的人明白这一点，我们再来看看，无理数方面，是否有什么新的启发：
非常感谢我小学五年级的儿子。下面的结论和证明方法，是他提出来的。我们两个人的数学知识，加起来，不会超过一个初三的学生。也许，这里的证明方式，很快就会受到各方面的诘难。但是通过历史，我发现，最原始的，才是最深奥的。而且，虽然我们的数学基础非常差，但是借助佛法的熏陶，我的逻辑思维理性，不算非常差，应该足够我们去挖掘这个真相了。所以，我有信心，虽然我们的证明方式肯定是非常幼稚的，但是这个证明带来的启发，无疑是深刻的。
当我把自己的想法告诉儿子时，让我非常惊讶。他说他知道无理数，而且曾经和他的奥数老师关于无理数有过一次争论。老师说存在无理数，儿子说不存在无理数。结果，谁也说服不了谁。
出于鼓励儿子独立思考的目的，我带着好玩的心态，假装很认真地听儿子讲解他的证明。然而，我再一次大吃一惊。
在了解这个证明前，让我们先了解一下无理数的存在，是如何证明的。据我孤陋寡闻的所知，基本上是用反证法：
假设（√2 ）不是无理数，那么（√2 ）可以写成最简分数p/q. 其中，p和q 都是整数，而且互质。
∵（ √2）平方 = 2
∴ （p/q）平方 = p*p / q*q = 2
∴ 2*q*q =p*p
又∵P是整数，∴p 是偶数，可以写成2m 的形式。
∴ 2 *q*q = (2m)*(2m)= 4 m*m
∴ q*q = 2* m*m
∴q 也是偶数。
p,q,都是偶数，这个和最初的假设p,q互质，是矛盾的。
∴ √2 是无理数。也就证明了至少存在一个以上的无理数。
以上是比较经典的证明无理数的方法。
下面，大家不妨带着好玩的心，看看我的儿子，是如何证明“无理数不存在”的。
（1） 2 可以写成 2.000000000 ，总之，末尾是零。
（2） 按照平方数的规律，平方数的末尾是零，则平方根的末尾
也一定是零。
（3） 所以，√2 的末尾，一定会出现零。而一旦出现零的末尾，
即意味着不再无限循环。所以，无理数不存在。
这个证明的一个增强版或者补充说明是：
（1）2 可以写成2.0000000000000000 ，末尾是任意个零，只要你愿意。
（2）按照平方数的规律，平方数末尾有2n个零，则平方根的末
尾就一定有n 个零。
（3） 所以，√2 的末尾，可以是任意个零，只要你愿意。换句话
说，√2 的末尾，一定是零的无限循环。记作： = 1. …… ，所以，2的平方根不是无理数。
这也从另外一个角度证明了：无限不循环小数，末尾一定是很多零。所以，无限小=0。
over！非常漂亮而且简洁明了的证明！
那么，无理数家族还有那个著名的π 呢？对此，儿子今天早上上学路上，也给出了π 不是无理数的证明：
π可以写成：
(π * 10 n次方) / (10n次方)
其中，n趋向于∞。也就是说，π 有多少位小数位，n就相应是多
少。于是，分子（π * 10n次方）是一个整数，而分母10n次方 也是一个整数。这样，π 就不是无理数。
Over！同样非常漂亮，简洁，明了！
以上，通过“非常严格”的数学演算，我们得到了无穷小等于零的结果。这个过程中，没有任何主观解释的成分。
“非常严格”加双引号，是因为我的数学知识几乎等于空白。完全是为了此次探讨的话题，才引发兴趣，从网上搜索到的一点知识。也许，以上问题，早已经有人提出来，并且作了限定和解释。
但是我相信，无论如何解释，都是“奥运火炬”式的矛盾传递和“鸵鸟心理”。而我们这里的证明，其形式也许是很幼稚的，但是其启发意义一定是深刻的。
在无穷小等于0的同时，通过非常多的方法，我们必定又可以推出：无穷小≠0。
比如：∵1≠0，1=∞/∞，∴∞≠0
现在，通过严格的数学方式，我们得到了牛顿手上那个公式：Δx = 0 并且 Δx≠ 0。不同的是，在牛顿那里，它是一个具有矛盾的假设，是为了应用的方便而引入的。虽然在运用中取得了巨大的成功，但是，就像一个没有出生证的“黑户”，它的身份，始终受到人们的质疑。
现在，它已经被证实不是私生子，更不是假冒的骗子。它是有着最纯正血统的数学王国的嫡系传承子弟，而且，是整个王国的希望所在。
下面的事情，是如何来解释它内在的合理性和深刻涵义。
无限小，又等于零，又不等于零。这个声音怎么这么熟悉？是的，无限小的零或非零问题，在物理学领域的投影，就是“光的波粒战争”。而最后的大结局，是一样的：零非零二相性；或者波粒二相性。
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