数学笔记I：映射

数学的本质是什么，目前看来，是一个极为深刻而难解的问题。我认为，目前我们仍然不清楚数学究竟是什么，它研究的是什么对象。

但是，数学史是昭然在目的。学习数学，很多时候就是学习历史上曾经出现的，一般归类为数学理论的一系列理论，而不管为什么这些理论都叫做数学理论。我们在这里也采取这样一种态度，不管数学的本质，但是仍然要学习数学。

我们先从‘映射’的概念开始。

‘映射’，按照目前通行的定义，就是两个集合的笛卡尔积的子集。所谓两个集合的笛卡尔积，就是两个集合的元素形成的有序对的集合。

因此，一个映射就代表了两个集合的元素之间的某种联系，某种‘对应关系’。给定一个集合的某个元素，原则上，一个映射就‘规定’了与之对应的另一个集合里的元素。当然，如果我们硬要说另一个元素与之对应，也并无问题，但是按照这个映射所定的规矩，与之对应的元素便是这一个。

对于映射的解释是多种多样的，但是无论是哪一种，总归要承认映射给出了一种对应关系。可以说这就是映射的功能或者作用，它在世界中扮演的角色。我们可以将映射想象为变量之间的因果关系或者‘响应’的关系；也可以将之想象为集合之间的某种描述性的对应法则。变量与集合是一一对应的：每个变量都有一个取值范围，这个取值范围就是一个集合；每一个集合也都可以作为一个变量的取值范围。

也许我们应该说，现实世界中的许多事件给出了映射，映射又给出了对应关系。又或者我们也许应该说，映射本身就是那对应关系，而现实世界中的事件给出了映射。