简单就是美
Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty — a beauty cold and austere, like that of sculpture, without appeal to any part of our weaker nature, without the gorgeous trappings of painting or music, yet sublimely pure, and capable of a stern perfection such as only the greatest art can show.The true spirit of delight, the exaltation, the sense of being more than Man, which is the touch stone of the highest excellence, is to be found in mathematics as surely as poetry. (The Study of Mathematics, in Mysticism and Logic, and Other Essays, ch. 4, London: Longmans, Green, 1918.)
罗素眼中的数学，如同西施一般，无须任何色彩和华服的修饰，美的如此纯粹，如诗一般。纵观计算机发展的历史，从最早的算盘，到巴贝奇发明差分机，1946年诞生的第一代电子管计算机ENIAC，以及后来的晶体管计算机、集成电路和超大规模集成电路，数学都在其中起到了核心作用。所以，即使为它极尽这世间所有溢美之词也不为过。在享受计算机给我们生活带来的极大便利的同时，也自然让人感叹数学的无穷威力及其巨大作用、倍加崇敬这些伟大的数学家。布尔和图灵是他们中的代表，19世纪50年代布尔提出的布尔代数，以及图灵在20世纪30年代的图灵机模型，从数学上奠定了整个现代计算机的理论基础。现在，计算机影响并改变了人类社会的每个角落。
我们都知道，计算机内部只使用两个状态（0/1）来保存数据，所有的操作都基于对0和1两个状态的几个简单的基本运算来完成，而这些基本的运算就是我们所说的布尔代数。布尔（George Boole) 是十九世纪英国一位小学数学老师，布尔代数的思想出现于在1848年出版的一本为朋友（伟大的逻辑学家德·摩根，其在19世纪前半叶卷入了一场著名的争论）辩护的小册子中。正是这本小册子，后来催生了布尔写于1854 年的《思维规律》一书（An Investigation of the Laws of Thought, on which are founded theMathematical Theories of Logic andProbabilities），正式提出了布尔代数，第一次向人们展示了如何用数学的方法解决逻辑问题。
布尔代数简单得不能再简单了。运算的元素只有两个1 （TRUE， 真) 和 0（FALSE，假)。基本的运算只有“与（AND)、“或” (OR) 和“非”（NOT) 三种（后来发现，这三种运算都可以转换成“与”“非” ＡＮＤ－ＮＯＴ一种运算）。全部运算只用下列几张真值表就能完全地描述清楚。
AND | 1 0 OR | 1 0 NOT
---------------- --------------- -------------
1 | 1 0 1 | 1 1 1 | 0
0 | 0 0 0 | 1 0 0 | 1
AND表: 如果 AND 运算的两个元素有一个是 0，则运算结果总是 0。如果两个元素都是 1，运算结果是 1。
OR表: 如果OR运算的两个元素有一个是 1，则运算结果总是 1。如果两个元素都是 0，运算结果是 0。
NOT表: NOT 运算把 1 变成 0，把 0 变成 1。
图灵机模型是图灵在研究希尔伯特第十问题时为解决“什么样的问题可以用机器来解决”而提出的，他的基本思想是用机器来模拟人们用纸笔进行数学运算的过程，所有的计算过程被看作在一根很长的纸带进行下列两种简单的动作：
(1) 在纸带上写上或擦除某个符号；
(2) 从纸带上的一个位置移动到另一个位置；
上面两个动作的具体施行，依赖于两点 (1) 此人当前所关注的纸带上某个位置的符号（决定了动作的地方），(2) 此人当前思维的状态（决定进行什么动作）。如图所示，如果当前我们关注ai位置，想进行写操作并向右移，这样在完成动作后我们会指向ai的下一个位置ai+1。
不可思议，我们每天使用的计算机内部就是在不停地重复做着两种简单动作，简直难以让人相信。令人拍案的是，迄今为止计算机科学家对图灵机模型的所有扩展和改进模型在理论上都等价于它。换句话说，目前还没有找到一种计算能力比图灵机更强的计算模型，这无法不让后人惊叹图灵的天才！图灵机不仅奠定了现代计算机的理论模型，它还为算法的形式化定义指明了方向，以及为后来的希尔伯特第十问题的解决吹响了前进的号角。
如此简洁的两个理论，却引发了计算机技术的革命，它对人类生存和发展的影响大大超出了人类史上以往任何的科学和技术革命。这让我想起了在高中时和同学的一次有关数学之美的探讨：简单——数学之美。正如罗素所言，除了真理以外，我们还可以看到数学如同诗歌、乐章般的优美。除此之外，数学在计算机领域的每个领域都有广泛的应用。如数学在信息检索和自然语言处理领域的应用，吴军博士在《数学之美》中有独到而优美的阐述。
读吴军博士《数学之美》有感
by 小郭 2010-3-27 21:25
罗素眼中的数学，如同西施一般，无须任何色彩和华服的修饰，美的如此纯粹，如诗一般。纵观计算机发展的历史，从最早的算盘，到巴贝奇发明差分机，1946年诞生的第一代电子管计算机ENIAC，以及后来的晶体管计算机、集成电路和超大规模集成电路，数学都在其中起到了核心作用。所以，即使为它极尽这世间所有溢美之词也不为过。在享受计算机给我们生活带来的极大便利的同时，也自然让人感叹数学的无穷威力及其巨大作用、倍加崇敬这些伟大的数学家。布尔和图灵是他们中的代表，19世纪50年代布尔提出的布尔代数，以及图灵在20世纪30年代的图灵机模型，从数学上奠定了整个现代计算机的理论基础。现在，计算机影响并改变了人类社会的每个角落。
我们都知道，计算机内部只使用两个状态（0/1）来保存数据，所有的操作都基于对0和1两个状态的几个简单的基本运算来完成，而这些基本的运算就是我们所说的布尔代数。布尔（George Boole) 是十九世纪英国一位小学数学老师，布尔代数的思想出现于在1848年出版的一本为朋友（伟大的逻辑学家德·摩根，其在19世纪前半叶卷入了一场著名的争论）辩护的小册子中。正是这本小册子，后来催生了布尔写于1854 年的《思维规律》一书（An Investigation of the Laws of Thought, on which are founded theMathematical Theories of Logic andProbabilities），正式提出了布尔代数，第一次向人们展示了如何用数学的方法解决逻辑问题。
布尔代数简单得不能再简单了。运算的元素只有两个1 （TRUE， 真) 和 0（FALSE，假)。基本的运算只有“与（AND)、“或” (OR) 和“非”（NOT) 三种（后来发现，这三种运算都可以转换成“与”“非” ＡＮＤ－ＮＯＴ一种运算）。全部运算只用下列几张真值表就能完全地描述清楚。
AND | 1 0 OR | 1 0 NOT
---------------- --------------- -------------
1 | 1 0 1 | 1 1 1 | 0
0 | 0 0 0 | 1 0 0 | 1
AND表: 如果 AND 运算的两个元素有一个是 0，则运算结果总是 0。如果两个元素都是 1，运算结果是 1。
OR表: 如果OR运算的两个元素有一个是 1，则运算结果总是 1。如果两个元素都是 0，运算结果是 0。
NOT表: NOT 运算把 1 变成 0，把 0 变成 1。
图灵机模型是图灵在研究希尔伯特第十问题时为解决“什么样的问题可以用机器来解决”而提出的，他的基本思想是用机器来模拟人们用纸笔进行数学运算的过程，所有的计算过程被看作在一根很长的纸带进行下列两种简单的动作：
(1) 在纸带上写上或擦除某个符号；
(2) 从纸带上的一个位置移动到另一个位置；
上面两个动作的具体施行，依赖于两点 (1) 此人当前所关注的纸带上某个位置的符号（决定了动作的地方），(2) 此人当前思维的状态（决定进行什么动作）。如图所示，如果当前我们关注ai位置，想进行写操作并向右移，这样在完成动作后我们会指向ai的下一个位置ai+1。
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图灵机模型 |
不可思议，我们每天使用的计算机内部就是在不停地重复做着两种简单动作，简直难以让人相信。令人拍案的是，迄今为止计算机科学家对图灵机模型的所有扩展和改进模型在理论上都等价于它。换句话说，目前还没有找到一种计算能力比图灵机更强的计算模型，这无法不让后人惊叹图灵的天才！图灵机不仅奠定了现代计算机的理论模型，它还为算法的形式化定义指明了方向，以及为后来的希尔伯特第十问题的解决吹响了前进的号角。
如此简洁的两个理论，却引发了计算机技术的革命，它对人类生存和发展的影响大大超出了人类史上以往任何的科学和技术革命。这让我想起了在高中时和同学的一次有关数学之美的探讨：简单——数学之美。正如罗素所言，除了真理以外，我们还可以看到数学如同诗歌、乐章般的优美。除此之外，数学在计算机领域的每个领域都有广泛的应用。如数学在信息检索和自然语言处理领域的应用，吴军博士在《数学之美》中有独到而优美的阐述。
读吴军博士《数学之美》有感
by 小郭 2010-3-27 21:25
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