阿基里斯悖論與距離
悖論（paradox）往往是檢驗對概念是否了解最好的方法，想起上小學時，我的老師常常會故意說似是而非的話，來問睡著的同學：「我說的對嗎？」，當同學說：「對對對。」那正顯得同學不懂老師在說什麼，悖論總能試探一個人對事物真正理解的程度。舉幾個悖論的例子：時光機真的有可能嗎？假設我們穿越時空回到過去，阻止自己的父母相遇。但此事若發生後，現在的自己沒有消失，這便形成一種悖論。又譬如跳舞，跳舞隱含著一個悖論：跳舞要自由，需要能對肌肉完全的控制，但是控制其實是不自由。也就像是人類的啟蒙（有自由的元素）需要理性，但是理性的黑暗面是控制，也就是不自由，是反啟蒙的。
悖論最著名的例子，當屬「芝諾悖論」（Zeno's paradox）。芝諾是早於蘇格拉底時期的哲學流派──埃利亞（Elea）學派的哲學家，他為後世留下了幾則有名的悖論。 大家想必都聽過「阿基里斯與烏龜」吧。這是一則與運動有關的悖論。以飛毛腿著稱的阿基里斯一天要與烏龜賽跑，但不論他如何追趕，就是追不上早他一步出發的烏龜。
為什麼會這樣呢？那是因為阿基里斯雖然試圖追上烏龜，但烏龜始終都在移動，每當阿基里斯要追上牠的瞬間，烏龜總是又往前多走了幾步。
解釋得更具體一點。當阿基里斯抵達地Ａ時，烏龜在他趕路的那段時間裡，已經往前移動了一段距離（抵達地點Ｂ）。當阿基里斯抵達地點Ｂ時，烏龜同樣利用他趕來的那段時間又往前移動了一段距離（抵達地點C）。同樣的道理，等到阿基里斯抵達地點C時，烏龜依然會在他的前方。所以不論阿基里斯如何追趕，他永遠都追不上烏龜，偉大的英雄阿基里斯將永遠追不上緩慢的小烏龜，只因每當他追上烏龜上一次的位置時，烏龜也已往前行走。。也就是因為追趕者首先應該達到被追者出發之點，此時被追者已經往前走了一段距離，因此被追者總是在追趕者前面。這樣的觀點便是一個乍聽之下有理，實則與結果有所矛盾的例子。
這個悖論有個延伸，說的是一個人，絕對到不了任何一個地方，只因他必須先走到路程的一半，然後再走剩下那一半的一半，如此下去，終究會距離終點某個「一半」的距離。
如今大家都知道，這樣的悖論可以用微積分與極限的觀點解決。傳聞同時代的哲學家第歐尼根(Diogenes，對，這老兄的名字也出現在《福爾摩斯》系列小說裡，乃是麥考夫所參加的俱樂部之名)，據說他住在一個甕裡面，解決這個距離悖論的方法，便是從他所處的甕中出來，走到附近的神廟，證明他確實能達到其目的地，這方法可真是簡潔有力。
不過今天要來談的是另一件更基礎的事情，這事同樣對賽跑十分重要。那就是阿基里斯到底跑了多遠？也就是「距離」這一概念，還有筆者因為這個故事，一直誤會某個單字的來龍去脈。
讓我們來談談數學裡的賦值(valuation)這一回事。
為求方便(以及不要嚇壞那些害怕數學的人)，我們只考慮有理數(以下以Q為符號)上的例子。
一個Z上的賦值 || ||，是一個由Q到實數(符號R)的函數，亦即，將所有有理數x送到某個數|x|的對應關係，滿足
(1) ||x|| >= 0， 而 |x|=0 時，x 必定為0，並且|0|=0 。
(2) ||xy||= ||x||*||y||
(3) ||x+y|| =< ||x|| + ||y|| (這就是三角不等式)
(3’) 在某些情況下，| | 也有可能滿足更強的條件
||x+y|| =< max{||x||, ||y||} (||x|| 和 ||y|| 兩者中的最大值)
|| || 如果滿足 (3) 這個性質則稱之為 archimedean，
如果滿足(3’)，則被稱為non-archimdean。
乍看之下這定義實在是令人頭昏眼花。一個比較直接的想法是，所謂的賦值(valuation)正如其英文所名，是種用來度量、評價數字的方式。
舉個簡單的例子，大家熟悉的絕對值 | | (此處用單直線以做區別)就滿足(1) (2) (3) 的性質。另外，我們可以藉由絕對值定義兩點的距離，比方說2和5的距離是|5-2|=3。有了距離之後，我們就可以定義「球」(在這個情況下，球只不是個線段而已)，像是「那些和0的距離小於2」的集合便是 (-2,2) 。有了圓，我們可以去考慮「開球(open ball)」、「閉球(closed ball)」，進而定義拓樸(topology) (關於開集、閉集與拓樸的知識族繁不及備載，在此不便多加贅述)
對任意的賦值，我們也可以照本宣科地定義出不同的距離(定義x和y之間的距離 = d(x,y) = ||x-y|| )。比方說，考慮一個質數p ，任何一個有理數x都可以寫成 x=p^r * n/m (p^r = p的r次方)，n,m為互質的整數且不被p整除(比方說84/5 = 3^1 *28/5)。接著我們就能定義
||x||_p = || p^r*n/m || = 1/ p^r 。
這東西也是一個賦值，不難看出這樣子的賦值還是non-archimedean的(這很簡單，動手算一算就知道)。因此，我們有了另外一種距離，與其相對應的拓樸。
讓我們來看看在這種距離拓樸下會發生什麼有趣的現象。比如說 p = 3，那麼 1=3^0 和 0 的距離就是 1/ 3^0 =1 ，而3=3^1和0的距離則是 1/3 ，5=3^0*5和0的距離則是1，18 = 3^2 *2 和0 的距離是1/3^2= 1/9。所有的整數點和0的距離都小於等於1。而以0為中心，半徑為 1/3的閉球則是所有寫成最簡分數後，分子能被3整除的數字所構成的集合。這與一般我們所熟知的情形大相逕庭。
回過頭來看阿基里斯的故事，假設阿基里斯為人嚴謹，步距皆是一公尺，絲毫不差(在武俠小說裡，能練成這樣子的人都不是什麼平凡人物)，所以阿基里斯只會落在整數點上。
如果採用傳統的絕對值，那麼他的確會如我們所熟悉的世界，每走一步，都會離0點越來越遠。然而，假設今日這場賽跑採用以質數3 所建構的non-archimedean距離(如上述的例子)，那麼他就像是如來佛手中的孫悟空一般，不論怎麼「向前」樣跑，離0點的距離永遠不會超過1，甚至在那些能被3整除多次的點時(好比 3^12*5 )，反而離0點更近，更別提追上烏龜了。
再來說 Archimedean這個詞，就是因為這個故事，導致筆者長期以來一直以為其源自於阿基里斯(Achilles)這詞源，指的是那些讓阿基里斯的確能越跑越遠的賦值。直到最近才發現原來這個詞來自另外一位偉大的希臘學者阿基米德(Archimedes)，如此張冠李戴，實在是慚愧至極。希望這兩人九泉之下若有知，可千萬別怨我。
悖論最著名的例子，當屬「芝諾悖論」（Zeno's paradox）。芝諾是早於蘇格拉底時期的哲學流派──埃利亞（Elea）學派的哲學家，他為後世留下了幾則有名的悖論。 大家想必都聽過「阿基里斯與烏龜」吧。這是一則與運動有關的悖論。以飛毛腿著稱的阿基里斯一天要與烏龜賽跑，但不論他如何追趕，就是追不上早他一步出發的烏龜。
為什麼會這樣呢？那是因為阿基里斯雖然試圖追上烏龜，但烏龜始終都在移動，每當阿基里斯要追上牠的瞬間，烏龜總是又往前多走了幾步。
解釋得更具體一點。當阿基里斯抵達地Ａ時，烏龜在他趕路的那段時間裡，已經往前移動了一段距離（抵達地點Ｂ）。當阿基里斯抵達地點Ｂ時，烏龜同樣利用他趕來的那段時間又往前移動了一段距離（抵達地點C）。同樣的道理，等到阿基里斯抵達地點C時，烏龜依然會在他的前方。所以不論阿基里斯如何追趕，他永遠都追不上烏龜，偉大的英雄阿基里斯將永遠追不上緩慢的小烏龜，只因每當他追上烏龜上一次的位置時，烏龜也已往前行走。。也就是因為追趕者首先應該達到被追者出發之點，此時被追者已經往前走了一段距離，因此被追者總是在追趕者前面。這樣的觀點便是一個乍聽之下有理，實則與結果有所矛盾的例子。
這個悖論有個延伸，說的是一個人，絕對到不了任何一個地方，只因他必須先走到路程的一半，然後再走剩下那一半的一半，如此下去，終究會距離終點某個「一半」的距離。
如今大家都知道，這樣的悖論可以用微積分與極限的觀點解決。傳聞同時代的哲學家第歐尼根(Diogenes，對，這老兄的名字也出現在《福爾摩斯》系列小說裡，乃是麥考夫所參加的俱樂部之名)，據說他住在一個甕裡面，解決這個距離悖論的方法，便是從他所處的甕中出來，走到附近的神廟，證明他確實能達到其目的地，這方法可真是簡潔有力。
不過今天要來談的是另一件更基礎的事情，這事同樣對賽跑十分重要。那就是阿基里斯到底跑了多遠？也就是「距離」這一概念，還有筆者因為這個故事，一直誤會某個單字的來龍去脈。
讓我們來談談數學裡的賦值(valuation)這一回事。
為求方便(以及不要嚇壞那些害怕數學的人)，我們只考慮有理數(以下以Q為符號)上的例子。
一個Z上的賦值 || ||，是一個由Q到實數(符號R)的函數，亦即，將所有有理數x送到某個數|x|的對應關係，滿足
(1) ||x|| >= 0， 而 |x|=0 時，x 必定為0，並且|0|=0 。
(2) ||xy||= ||x||*||y||
(3) ||x+y|| =< ||x|| + ||y|| (這就是三角不等式)
(3’) 在某些情況下，| | 也有可能滿足更強的條件
||x+y|| =< max{||x||, ||y||} (||x|| 和 ||y|| 兩者中的最大值)
|| || 如果滿足 (3) 這個性質則稱之為 archimedean，
如果滿足(3’)，則被稱為non-archimdean。
乍看之下這定義實在是令人頭昏眼花。一個比較直接的想法是，所謂的賦值(valuation)正如其英文所名，是種用來度量、評價數字的方式。
舉個簡單的例子，大家熟悉的絕對值 | | (此處用單直線以做區別)就滿足(1) (2) (3) 的性質。另外，我們可以藉由絕對值定義兩點的距離，比方說2和5的距離是|5-2|=3。有了距離之後，我們就可以定義「球」(在這個情況下，球只不是個線段而已)，像是「那些和0的距離小於2」的集合便是 (-2,2) 。有了圓，我們可以去考慮「開球(open ball)」、「閉球(closed ball)」，進而定義拓樸(topology) (關於開集、閉集與拓樸的知識族繁不及備載，在此不便多加贅述)
對任意的賦值，我們也可以照本宣科地定義出不同的距離(定義x和y之間的距離 = d(x,y) = ||x-y|| )。比方說，考慮一個質數p ，任何一個有理數x都可以寫成 x=p^r * n/m (p^r = p的r次方)，n,m為互質的整數且不被p整除(比方說84/5 = 3^1 *28/5)。接著我們就能定義
||x||_p = || p^r*n/m || = 1/ p^r 。
這東西也是一個賦值，不難看出這樣子的賦值還是non-archimedean的(這很簡單，動手算一算就知道)。因此，我們有了另外一種距離，與其相對應的拓樸。
讓我們來看看在這種距離拓樸下會發生什麼有趣的現象。比如說 p = 3，那麼 1=3^0 和 0 的距離就是 1/ 3^0 =1 ，而3=3^1和0的距離則是 1/3 ，5=3^0*5和0的距離則是1，18 = 3^2 *2 和0 的距離是1/3^2= 1/9。所有的整數點和0的距離都小於等於1。而以0為中心，半徑為 1/3的閉球則是所有寫成最簡分數後，分子能被3整除的數字所構成的集合。這與一般我們所熟知的情形大相逕庭。
回過頭來看阿基里斯的故事，假設阿基里斯為人嚴謹，步距皆是一公尺，絲毫不差(在武俠小說裡，能練成這樣子的人都不是什麼平凡人物)，所以阿基里斯只會落在整數點上。
如果採用傳統的絕對值，那麼他的確會如我們所熟悉的世界，每走一步，都會離0點越來越遠。然而，假設今日這場賽跑採用以質數3 所建構的non-archimedean距離(如上述的例子)，那麼他就像是如來佛手中的孫悟空一般，不論怎麼「向前」樣跑，離0點的距離永遠不會超過1，甚至在那些能被3整除多次的點時(好比 3^12*5 )，反而離0點更近，更別提追上烏龜了。
再來說 Archimedean這個詞，就是因為這個故事，導致筆者長期以來一直以為其源自於阿基里斯(Achilles)這詞源，指的是那些讓阿基里斯的確能越跑越遠的賦值。直到最近才發現原來這個詞來自另外一位偉大的希臘學者阿基米德(Archimedes)，如此張冠李戴，實在是慚愧至極。希望這兩人九泉之下若有知，可千萬別怨我。
