量子力学笔记——什么是狄拉克符号

这篇文章并不是关于费恩曼讲义书中任何一章的笔记，只是单独的一篇讲狄拉克符号含义和用法的文章。我在看书的过程中对狄拉克这个简洁又多功能的符号产生过很多疑惑，今天就尝试将这些疑惑和自己找到的答案写出来，希望对其他同学有些许帮助。如果大家有发现错误也希望可以进行批评指正。 狄拉克符号在量子力学中是一个很神奇的符号，它的外观非常的简洁、洋气，在量子力学中的作用就像路标对开车的作用一样重要，所以受到大量学习量子力学的人的喜爱。其含义非常简单，最基本的狄拉克符号如下所示 <状态2|状态1> 狄拉克符号是从右往左看的，<状态2|状态1>表示的是从状态1到状态2的概率幅（关于概率幅的含义可以看我之前的推送量子力学笔记——电子在晶格中的传播）。状态(state)在量子力学可以用来表示很多信息，比如一个粒子它处于某一位置可以称为处于某一状态，相应的它的特定的动量、角动量等信息都可以描述为状态（因为更多人直接称之为“态”，所以下文会直接简写为态）。值得注意的是，态是矢量，具有方向性，<态2|为左矢量，|态1>为右矢量。 狄拉克符号还可以有各种“拆卸组装转换”的方法： 1、狄拉克符号可以拆分成局部，比如： <态2|，或者|态1> 拆分好处一来可以减少字数，二来空缺的那一部分要补充时可以填入任何态，增加使用的灵活性。 2、狄拉克符号还可以连着使用，比如： <态3|态2><态2|态1> 表示为态1到态2，然后从态2再到态3的概率幅。 3、狄拉克符号转换前后位置时需要取复数共轭： <态2|态1> = <态1|态2>*（变换的原理会在下文讲到） 4、狄拉克符号还可以量化两个状态跳转的过程： <态2|Q|态1> Q的含义为一个算符(operator)，意思是态1经过算符变换到态2，这个算符可以是施加外力、旋转、使粒子穿过一个特殊设备、甚至静置一段时间，等等…… 对比一下同样表示概率幅的波函数，狄拉克符号没有像指数、复数这些复杂的东西，而且可以任意“拆分组装”，所以显得非常友好。 狄拉克符号表示态的叠加 狄拉克符号可以用于表示态的叠加，用量子力学中最经典的杨氏双缝干涉实验举例子。

费恩曼讲义中关于电子经过双缝干涉仪的示意图

具体的实验过程就不细说了，结果就是在穿越双缝的过程中电子既穿过缝1又穿过缝2，也就是说电子处于缝1和缝2的叠加态（具体什么是既穿过缝1又穿过缝2，我解释不清楚，不过波尔也解释不清楚，他的大概意思就是，事实就是这样，你们再深究也是没有意义的啦~）。那么怎么用公式来表示这种叠加态呢？我们可以认为电子穿过缝1为态|1>，穿过缝2为态|2>，电子的初始态为|ψ>，穿过裂缝后为叠加态|φ>。那么叠加态可表示为： <φ|ψ> = <φ|1><1|ψ> + <φ|2><2|ψ> 或者直接简写为： |ψ> = |1>C1+ |2>C2 C1 = <1|ψ>，C2 = <2|ψ> 这里有个疑问就是，为什么叠加可以通过加号将两个态加起来表示呢？ 这里需要引入希尔伯特空间的概念，这个空间的定义很复杂，我每次看到就很头疼，我就直接拿空间直角坐标系来进行类比了。在空间直角坐标系中，我们有x，y，z坐标轴，并且这三条轴都有对应的单位矢量i = (1,0,0)，j =（0,1,0），k =（0,0,1）。这三个轴我们认为是相互独立的，意思就是，如果一个向量只在某一个坐标轴上有值，也就是它与某一个单位矢量平行，那么任意改变它的长度也不会与其他两个轴有任何关系，轴与轴之间也称之为正交，用数学语言表示为： i•j=0，i•k= 0，j•k= 0 直角坐标系中任何一个向量x都可以通过这三个单位向量的线性组合表示： x = a i+ bj +c k 相对应的是，在希尔伯特空间中我们表示的值不是位置，而是态，我们设定基态就是单位矢量，比如在干涉仪中|1>和|2>就是基态，基态之间相互独立（正交），在该空间中如果某个态处于|1>时，它就不会有在|2>的概率幅，反之亦然： <1|2> = 0，<2|1> = 0，<1|1> = 1，<2|2> = 1 很明显，空间中任一个态都可以由这两个基态线性组合表示，也称之为|1>和|2>的叠加态。因此可以解释上文为什么叠加可以通过加号将两个态加起来表示了。当然，希尔伯特空间不止三维，而是有多少个基态就有多少个维度，当表示一个n维的态时，我们有一般表达式：

式中，<i 为基态，<i |和|ψ>都可以认为是单独的向量，当组合在一起生成概率幅，所以可以认为是一个数，就像向量相乘生成一个标量一样。 希尔伯特空间的优势在于，把玄乎其玄的叠加态简单的表示成几个态的线性组合，给理解和计算提供了极大的便利。通过这种表达方式甚至会觉得叠加这种不可思议的现象好像是理所当然的一样。 为什么<B|A>* = <A|B> 在看到狄拉克符号这个性质时，我是觉得很奇怪的，<A|B>（A、B为任意状态）表示从态B到态A的概率幅，<B|A>表示的是反过来态A到态B的概率幅，是一个方向相反的关系，那为什么两者关系会是复数共轭(eg:(a+bi)* = a-bi)，而不是<B|A> = -<A|B>之类的呢？ 通过查阅文献，发现狄拉克符号还有一个设定，就是它的左矢和右矢有互为共轭的关系，对于同一个状态A，有： <A|= |A>* 具体来说，假设态A处于一个有n个基态的空间，因为系统中某一态是基态的数值叠加，可以假设A在第n个基态上的对应数值为an（注意，这个an不是实数，而是复数，因为希尔伯特空间是复数的空间，也不要太纠结复数空间和现实空间有什么异同，这只是数学设定而已），那么用矩阵表示右矢|A>为：

左矢<A|为 <A|= （a1*,a2*,……,an*） 有：

<B|A>为左右矢的矩阵相乘，假设B在第n个基态上的叠加数值为bn，有：

所以有<B|A>* = <A|B>。 通过对狄拉克符号这一性质的理解可以进一步理解狄拉克符号的本质，狄拉克符号其实是复数矩阵的点乘，这有助于狄拉克符号的进一步运算使用。 结语 本文首先介绍了狄拉克符号的含义和4个基本性质。之后通过我在学习过程中想到的两个问题进一步探讨狄拉克符号的含义和用法。通过思考为什么可以用态的线性组合来表示叠加，从而引入了希尔伯特空间并解释其用法；通过思考为什么<B|A>* = <A|B>，然后了解到狄拉克符号的真正含义是态矢量对应的复数矩阵的点乘。 结结语 本来以为会写一篇很简单的归纳小短文，结果写的过程中发现自己好多东西都不是很懂，重新查了很多资料，结果不小心又写得很复杂，真是对不起诸位看官了……不过这个系列的定位是作为读书笔记，而不是科普贴，所以首先是要追求准确性再有通俗性的。其实写到最后头脑还是一片混乱，只能把自己认为是准确的写上来了，希望你们可以觉得有一点用吧~