摩擦力对绳子张力分布的影响

我们经常可以看到为了把绳子系的紧一点，往往把拉重物的绳子在所栓的柱子上绕几圈，从而达到用较小的力拉住较重物体的目的。那这是为什么呢？

因为绳子在柱子上绕几圈可以达到省力的作用，其原因在于柱子和绳子之间的摩擦力转化成了绳子的张力，这样借助摩擦力的作用可用较小的力拉住较重的物体。

上图绞盘可以这样描述，当绳子承受负荷巨大的拉力TA，人可以用小得多的力TB拽住绳子。设绳与圆柱的摩擦系数为u，绳子绕圆柱的张角为Θ。

在θ处对圆心张角Δθ的一段线元，用隔离体法来分析它受力情况。

略去绳子的质量，该线元受到四个力的作用：两端张力T(θ)，T(θ+Δθ)，法向力ΔN，和摩擦力uΔN。在无加速的情况下四力的合力为0.分为切向和法向分量。 切向：T(θ+Δθ)cos(Δθ/2) - T(θ)cos(Δθ/2) + uΔN = 0 法向：-T(θ+Δθ)sin(Δθ/2) - T(θ)sin(Δθ/2) + ΔN = 0

因为Δθ 很小，用微分的近似计算（当|x|很小时，则sinx ≈ x，cosx ≈ 1）， => sin(Δθ/2) ≈ (Δθ/2)，cos(Δθ/2) ≈ 1

T(θ+Δθ) - T(θ) ≈ ΔT， T(θ+Δθ) + T(θ) ≈ 2T，

由上式可写为： ΔT = -uΔN， TΔθ = ΔN。

消去ΔN，=> ΔT/T = -uΔθ 取Δθ -> 0的极限， => dT/T = -udθ

设绞盘上A、B两点分别对θ = θA和θB，对上式积分：

由上式可知，张力随θ按指数减小。假设绳与圆柱的摩擦系数为u = 0.25，

上述数据可以明显看出在柱子上绕几圈可以到达省力的效果。

附录： Δθ/2到底怎么来的？我用一个 类似的图形解释下，如下图：（张力的方向与绳子在该点的切线平行）

由上图可以清楚的了解到α = β = Δθ/2，两端张力T(θ)，T(θ+Δθ)，都要分解两个力，切向和法向分量。用T(θ+Δθ)来分解： 切向：T(θ+Δθ)cos(Δθ/2) 法向：-T(θ+Δθ)sin(Δθ/2)