方向导数与梯度

• 方向导数 • 梯度 • 梯度几何解释

方向导数（函数沿某个方向的变化率） 定义：（同济高等数学）

假设二元函数z = f(x , y)，取一个点M0(x0 , y0)，沿方向l = {cosα , cosβ}，此向量为单位向量。点M(x , y)在l方向上前进ρ个单位。由下图可知， △x = ρcosα，△y = ρcosβ M(x0 + ρcosα , y0 + ρcosβ) M0M = ρl = {ρcosα , ρcosβ}， |M0M| = ρ。

由下图三维图形，坡度 = △z / ρ。 沿l 方向的增量：△z = f(x0 + ρcosα , y0 + ρcosβ) - f(x0 , y0)

梯度（函数变化最快的方向） 定义（同济版高等数学）

由上式可知，当θ = 0时，即l与向量{ ∂f/∂x， ∂f/∂y}方向相同时，方向导数可以取到最大值：

梯度几何解释 函数的梯度就是函数等值线的法向量

设方程f(x , y) = c确定了隐函数y = y(x)，则 f(x , y(x)) ≡ c 用全导数公式对上式x求导，得： fx·1 + fyy'(x) = 0 => y'(x) = - fx/fy 等值线f(x , y) = c在一点(x , y)处的法线斜率为： k = - 1/y'(x) = fy/fx 则法线向量为：{fx , fy} = ∇f(x , y)

由此可以推导出曲面f(x , y , z) = 0的法向量为：n = {fx , fy , fz } = ∇f

附录： 方向余弦（通常用来表示向量的方向） 非零向量a的方向角：α、 β、 γ 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角。（0≤α≤π，0≤β≤π，0≤γ≤π）