三维正交旋转代数

考虑三维空间中一个轴向对齐摆放的立方体，6个面以不同颜色标识，所有的摆放方式数量为24。（可以如下考虑：先选择一个面朝上，共6种选择，在这个前提下再选择一个侧面超前，共4种选择，6*4=24。）对立方体执行一系列连续的正交旋转操作（正交旋转指沿一个坐标轴旋转90度整倍数）后，立方体的朝向最终仍会落在24种朝向之一，因此三维物体的24种摆放方向对正交旋转操作构成一个24元置换群，24种朝向本身也对应于24种旋转操作。以下构建一套代数系统来描述三维空间中的正交旋转运算。

定义与公理

首先定义三个正交旋转生成元，i, j, k，分别代表沿三个坐标轴按右手法则旋转π/2，i', j', k' 为逆生成元，代表单位旋转的逆操作，即右手法则方向的反向旋转π/2。

1为幺元，代表保持当前朝向不变。

以乘法表示按从左到右的顺序连续执行多个旋转操作。乘法满足结合律，不满足交换律。

生成元-逆生成元相消：

生成元平方等于生成逆元平方：

单位旋转3次等于反向旋转一次：

单位旋转四次回归原位：

与四元数类似，3个生成元之间有二次置换对称性：

定理

但有逆元参与的二次置换公式较复杂。首先定义ij, jk, ki为正序排列，kj, ji, ik为倒序排列，每个公式中各字母是否为逆元的性质始终保持一致。对于正序情况，逆元数量为偶数（0或2个），对于倒序情况，逆元数量为奇数（1或3个）。例如：

平方代换公式：

基于以上各等式，任意正交旋转连乘式都可以归约整理成最简的24个基本方向表达式：

另外需要注意如下等价关系：

应用示例

例1, 化简表达式 ijkijk :

例2，化简表达式 ijji :

乘法表

类似于乘法口诀表，24个正交方向也构成如下的乘法表：

3D凯莱图