x^4 + y^4 = z^2无自然数解完整证明
假设该丢番图方程有自然数解，则必然存在一组自然数x。、y。、z。使得z。是满足该方程的最小值解，即不存在另一组自然数f、g、h满足h < z。且还满足f^4 + g^4 = h^2.
对x。、y。、z。做进一步考察，有以下特性：
【特性1】 x。、y。、z。两两互素
假设x。和y。都被素数r整除，则由方程可知z。必然被r^2整除，等式两端同除以r^4，得到一组新自然数，即x。/ r、y。/ r、z。/ (r^2)，依然满足方程且有z。/ (r^2) < z。，这与z。是满足方程的最小值解的假设相悖，因此x。和y。是互素的.
假设y。和z。都被素数r整除，由方程可知x。也被素数r整除，这与x。和y。互素相悖，因此y。和z。是互素的；同样可证，x。和z。也是互素的.
【特性2】 z。是奇数，x。和y。里一个是奇数另一个是偶数
假设z。是偶数，则由特性1可知x。和y。都是奇数. x。方程左边模4得2，而右边模4得0，因此z。不能为偶数.
z。是奇数，方程右边模2得1，为使得方程左边也模2得1，x。和y。里必然是一个奇数一个偶数。由方程左边的对称性，不妨假设x。是奇数，y。是偶数.
由原方程，有：
x。^ 4 = z。^ 2 - y。^ 4 = (z。+ y。^ 2)(z。- y。^ 2)
记p = z。+ y。^ 2，q = z。- y。^ 2，由x。是奇数可知p和q都是奇数，进一步再由z。和y。互素可以推知p和q也是互素的，同样使用反证法，如下：
由p、q定义有：
(p + q) / 2 = z。
(p - q) / 2 = y。^ 2
假设素数r是p和q的公因数，记为p = rs，q = rt，由p、q为奇数易知r、s、t均为奇数，于是有：
r(s + t) / 2 = z。
r(s - t) / 2 = y。^ 2
即z。和y。都可以被素数r整除，这与前提条件z。与y。互素是相悖的，因此p和q是互素的.
由x。^ 4 = pq以及p和q互素可以进一步记：
p = u^4，q = v^4
u和v是互素的，且均为奇数，进一步又有：
(u^4 + v^4) / 2 = z。 (0)
(u^4 - v^4) / 2 = y。^ 2
展开后式，有：
(u^2 + v^2) / 2 * (u^2 - v^2) = y。^ 2
记m = (u^2 + v^2) / 2，n = u^2 - v^2，由u、v均为奇数可知(u^2 + v^2) / 2也为奇数，n为偶数，用前面同样的方法可以证明m和n是互素的，如下：
设素数r是m和n的公因数，m是奇数，r只能是奇数，则(2m + n) / 2 = u^2可以被r整除，即u可以被r整除；同样，(2m - n) / 2 = v^2可以被r整除，即v可以被r整除，这与u和v互素相悖，因此m和n是互素的.
由y。^ 2 = mn以及m和n互素可以进一步记：
m = j^2，n = k^2
j和k是互素的，且j为奇数、k为偶数，展开m = j^2和n = k^2，有：
(u^2 + v^2) / 2 = j^2 (1)
u^2 - v^2 = (u + v)(u - v) = k^2 (2)
记k = 2d，由式(2)有：
(u + v)/2 * (u - v)/2 = d^2
利用前面同样的方法，可以证明(u + v)/2和(u - v)/2是互素的，于是可以进一步记：
(u + v)/2 = a^2，(u - v)/2 = b^2，d = ab，且有a > b >= 1
于是有：
u = a^2 + b^2，v = a^2 - b^2
代入式(1)，有：
a^4 + b^4 = j^2
这样就找到了新的一组自然数a、b、j，满足原方程，且对比式(0)和式(1)，可知：
j < z。
这与开头的假设（z。是满足该方程的最小值解）相悖，于是就证明了x^4 + y^4 = z^2无自然数解.
Read Alps 2019年7月20日
