《什么是数学》笔记
花了不少时间通读这本书，习题全部都思考了一遍。书中充满奇思妙想，写得极有条理，让人感受到数学之美，惊叹于数学家的想象力，要是大一放假读就太好了。虽然是以初等数学的角度来谈数学，但是正如作者在序言中所说，“把它看成一本通俗读物也无妨，但是并不意味着是对那种贪图省劲，不愿作任何努力的危险倾向的让步”。
总体上翻译得很好，只发现几处小小的错误。射影几何191页六个不同的交比，其中(1-λ)/λ应改成(λ-1)/λ，λ/(1-λ)应改成λ/(λ-1)；拓扑学261页“以P为起点画一箭头，连续地经过P' ”，P和P'应该对调。后者影响阅读，查阅资料才看懂，找来英文版一看果然是翻译错误。
从整数到复数，数系的扩充过程中，新的数应该满足原来的运算规则，所以负负得正和欧拉公式是定义的，无法证明。无理数是构造之物，可由有理端点区间套定义。难怪古希腊毕达哥拉斯学派会拒不承认无理数的存在。不仅存在非欧几何和非康托集合论，而且存在非阿基米德数系，非标准分析把实数系延拓到超实数系。
几何问题都有其内在约束，像射影几何的笛沙格定理、帕斯卡定理，拓扑学的布劳威尔不动点定理都是如此。波尔约和罗巴契夫斯基等人构造出平行公理不成立的非欧几何，发现了几何学的新大陆。
拓扑学一章结尾用拓扑方法证明代数基本定理，感觉是神来之笔。还有将惠特尼提出的问题推广到车沿任意曲线运动，杆可以向任何方向倒落的情形也给人这种感觉，有趣的是最新进展一章用拓扑学的方法很容易发现这个力学问题中连续性假设存在问题。
布尔查诺定理和魏尔斯特拉斯极值定理可以说都是由实数系本身的基本性质决定的。紧致集是闭区间的推广，定义在紧致集上的连续函数有最大值和最小值，这为极值问题的存在性提供了方法。
雅各比说，“反过来想，总是反过来想”。证明椭圆和双曲线上一点的切线和该点与两个焦点连线的夹角相等，如果考虑先有曲线再有切线则难以下手，考虑先有切线再有曲线则容易得多。切线的概念由割线给出，切线是割线的极限，切线的斜率是割线斜率的极限。平面上两条有切线的曲线有唯一公共点，则在该点切线相同。
施泰纳问题一节的补充问题有误，369页图213中P'应该不是使a+b-c最小的点。以C为圆心，CP'为半径的圆若与AB相交，则相交的点使a+b-c更小，而AB-AC或AB-BC更小；若圆与AB不相交，显然也有P'A+P'B-P'C大于AB-AC和AB-BC。用分别以A、B和C为圆心作圆的方法知道P'的a+b-c的值比有些点小，比有些点大；用等边三角形的方法也能得到，P'的很小的邻域内存在使a+b-c比P'点的值大或小的点。P'是什么类型的点？能找到使a+b-c比AB-BC更小的点吗？取点A(-2,0)、B(2,0)和C(-0.5,0.7)，由图1可看出P'并非最小值。
紫色直线和圆弧交点为P'，坐标约为(-0.5467,1.0891)，a+b-c为4.1940。当P与C重合时，a+b-c约为4.2514。
从等高线图可以看出，绿色闭曲线中的局部极大点，即从后视图上看向上凸出来的点，并非C和P'。P'似乎是一个鞍点。
极大与极小一章最后的习题，"求包含给定面积的一个圆弧三角形，使它的周长加上它的顶点到已知点的三条直线段，具有极小长度"，这本书读到这里头一回感觉被卡住了。用拉格朗日乘子法能证明三段弧的半径相等，虽然可以验证403页图255的答案是非线性方程组的解，但是解的唯一性还是问题。泡泡的普拉托定律要复杂得多，数学家 Jean E. Taylor 用几何测度论的方法给出了证明。感觉用初等方法难以解决，等进一步学习后再来看。
微积分一章从积分开始说起，指出“只有极限才是积分的真正基础”，翻了下高数教材，讲积分之前居然先讲不定积分，一上来就是原函数和不定积分的定义，有违认知规律。看下去发现作者早已经指出这一点了，“在有些课本中……许多作者首先引进导数，然后简单地定义‘不定积分’为导数的逆运算……这个方法是把理论中的主要事实从后门偷偷输入，因而大大有碍于学生的真正理解”。
ζ函数和素数之间的重要关系用到整数素因子分解唯一的命题，还有用统计方法得到素数定理的过程也利用了这个简单命题。
最新进展一章主要介绍了一些数学难题的进展情况。1970年，马蒂亚舍维奇证明了丢番图方程可解性的判定算法不存在；1966年，陈景润证明了每一个充分大的偶数是一个素数和另一个不超过2个素数乘积的和；关于孪生素数猜想，在张益唐之前所有的证明都是说对某个确定的c，存在无穷个数p，使p和p+2都是不超过c个素数的乘积，2013年， 张益唐证明了存在无穷多差小于7000万的素数对；1994年，怀尔斯通过证明谷山-志村猜想的一个特例，证明了费马大定理；哥德尔证明了连续统假设对某些集合论的公理体系是成立的，1964年，柯恩证明了在另一些公理体系中连续统假设不成立；1976年，阿贝尔和哈肯借助计算机证明了四色定理；1971年，库克证明旅行商问题、装箱问题和背包问题是NP-完全的；1991年堵丁柱和黄光明用博弈论的方法解决了施泰纳比猜想。
