线性代数的学习方法

1.线性空间。

线性空间的定义更为抽象。简单来说，它是一组向量。该集合可以定义加法和标量乘法，并且加法和乘法满足交换律和分布率的组合律。该集合和在集合上定义的代数运算是线性空间。研究线性空间的方法有几种，一种是底数和维数，第二种是同构，第三种是子空间以及直接和商空间，第四种是线性映射。让我们先谈谈基础和尺寸。

线性空间必须有基础。线性空间中的任何元素都可以由基线性表示，并且表达方式是唯一的。表达式的唯一组合是此元素在此基础上的坐标。线性表示和表示的唯一必要和充分条件是什么？同样，这里介绍线性独立和最大线性独立组的概念，最大线性独立组的元素数量也可以导致秩的概念。维度的概念可以从等级得出。这些概念是用来描述线性空间的基础和尺寸的，并不是凭空创造的。接下来让我们讨论同构。有成千上万的线性空间。我们应该如何学习它们？同构是一个强大的概念，任何具有相同维数的线性空间都是同构的。空间的维度既简单又深刻。简单的自然数实际上可以描述空间的最基本属性。借助于同构，要研究任何n维线性空间，我们只需研究R研究。

作为整体的n维线性空间，自然会考虑是否可以首先研究其局部性质？因此，自然会衍生出子空间的概念以及整个空间的直接分解和直接分解。直接和分解要求将整个空间分解为两个不相交的子空间。通过研究每个简单子空间的属性，可以获得整个空间的属性。

2.线性映射。

我之前谈到线性空间，已经建立了舞台，现在轮到主角了：线性映射在这里。在此不再重复线性映射的定义。我们在小学阶段研究了比例函数y = kx。这是最简单的一维线性映射，也是特定的线性映射“模型”。将线性映射的所有属性与比例函数进行比较。 。现在将域从一维升级为多维，范围也从一维升级为多维，然后将比例系数k也升级为矩阵，然后将比例函数升级为线性映射。

1）线性映射的内核空间。这是线性映射的重要概念。线性映射的内核空间是多少？简而言之，它是映射为零的原图像集，并写为KER。使用比例函数进行类比，很显然，当k不等于零时，其内核为零空间，而当k为零时，其内核空间为整个R。有时需要确定线性映射是内射的。根据定义，它仍然不是很好。这时，我们可以从其内核中确定。只要其内核为零，则线性映射必须是内射的。

2）线性映射的图像。当自变量遍及整个域时，其图像范围变为称为图像空间的线性子空间，称为IM。

3）线性映射的矩阵表示。应该如何“解析”抽象线性映射？此表达式写为矩阵，并且此矩阵取决于基础的选择。也就是说，在不同的基础下，线性映射具有不同的矩阵。有无限的基础，并且有无限的对应矩阵。这给研究矩阵的线性映射带来了麻烦。幸运的是，我们有一个相似度矩阵。同一线性图在不同底数下的矩阵具有相似的关系。相似的不变量具有秩，行列式，迹线，特征值，特征多项式等。因此，相似矩阵可用于研究线性映射的秩，行列式，迹线，特征值和特征多项式。线性映射有无数个矩阵，那么哪些矩阵值得关注？第一个是标准正交基础上的矩阵，这也是最常见的矩阵。但是，线性映射的矩阵在标准正交基础上可能特别复杂，因此需要选择一组特殊的基础，以使其矩阵在此基础上具有最简单的矩阵表示形式。如果有这样的基础，线性映射矩阵是对角矩阵，那么这个线性映射就可以对角化。