如何训练数学
数学不是科学，因为他不符合科学的可证伪性，但是科学离不开数学，数学是科学最重要的表述工具，从这个角度看，数学应该归类于语言。而从数学的演化过程看，起初应该是一种游戏，一种脑力游戏，类似于下棋，这类游戏通常会有几条简单规则，基于这些规则可以演化出无穷无尽的变例，数学中的规则就是公理，他们就像象棋里面的马走日象飞田一样，没有为什么，只是这样设置的。只不过数学的公理更符合人们的直觉一些。后来人们在探索宇宙的过程中逐渐发现自然语言在精确表述上存在缺陷，这也难怪，自然语言并非是为了人类理性能力所演化出来的，相反，人类的理性能力出现在语言之后，反而是语言的副产品。既然自然语言并不能够满足人们描述宇宙的需要，人们自然找到了数学这种起初被当作游戏的工具来取代自然语言。这类柳暗花明的例子在人类历史上层出不穷，例如火药这种原本用于烟花爆竹娱乐后来被用来做成了武器、原来被扔掉的发了霉的食物后来被做成了青霉素这种治病良药。数学由于公理简单，推导过程严谨，数字表达精确，后来被科学研究者们广泛接受，最终成了今天科学界的通用语言。既然数学最初是一种智力游戏，那么我们不妨也参照智力游戏的训练方法对数学加以训练。
1、第一步练习心算能力，也就是算术。这是最简单的，加减乘除四则运算需要熟练掌握，熟练到什么程度呢？可以心算两位数相乘就算毕业了 。乘法和除法互为逆运算，所以需要的算力相当，而加减法需要的算力要小得多，所以能够达到两位数相乘的心算，自然可以应对四位数除以两位数的除法，也足以应对任何位数的加减法。两位数的乘法基本可以满足日常工作和学习中的绝大部份需要了，而且需要的训练量不大，如果再想提高算力，投入产出比就不高了。如何训练算力呢，跟下象棋一样，就是做题，当你有了一定基础后会发现算术题是会上瘾的，就像下棋或者玩数独游戏一样上瘾，所以这个训练过程并不痛苦，反而还会有一些乐趣。最终的结果很可能是背下来了一个扩展的九九乘法表，变成了九九乘九九的乘法表，这时算术毕业定为0段。
2、有了心算算数能力之后，进一步可以练习心算解方程，方法还是一样，就是多做题练习。达到可以心算解二元一次方程组和一元二次方程后就可以毕业了。因为这已经可以满足日常绝大部分需求了，再提高投入产出比不高。现在升为1段。
3、有了以上心算能力后，对数学不会再有恐惧感，反而会有一种跃跃欲试进一步提升的冲动。就好像象棋里面熟悉了残局定式和基本杀法之后，就想去实战。实战是下棋的真正开始，那么构建模型就是数学的真正开始。首先我们学习构建一元一次方程，方法还是去做题，就是小时候的那种应用题，只不过用方程的形式做。方程是一个极其伟大的工具，他的重要意义是使得人们可以按照更加习惯的思维方式去构建模型解决实际问题，而不需要什么奇思妙想。就像象棋中的开局定势一样，不论什么问题都可以构建方程去堂堂正正的解决，而且攻无不克战无不胜，这就省去了很多煞费苦心转换成四则运算的过程，例如鸡兔同笼，不用方程有各种各样的解法，如果问题再复杂一点，例如鸡兔蚂蚁同笼呢，转化起来就更加复杂，但是构造方程却仍可以以不变应万变。对任何需要二元二次以下方程组解决的问题都可以马上构造出方程并通过心算给出答案就毕业了，此时升为2段。
4、开始训练经典几何。有了之前的算力训练，面对几何证明题应该会是充满信心的，即便这种算力并不能直接应用在几何证明上。经典几何中的证明题是数学中保留的游戏的影子，就像象棋中的各种残局一样，训练的是算力或者叫推理能力，虽然叫法不同，但最终是一种东西，就是能够在心里去尝试把现有问题联系上已知定理的这种想象力，这种联系不可能一蹴而就，通常需要在心里迅速寻找可能发生联系的模型并推理或者演算几步把不可能的模型排除，如此反复直到找到可以应用的模型为止，这种能力就做算力也好推理能力也好，其本质上是想象力即在两个问题之间建立起联系的能力。经典几何的证明在现实生活中的直接应用并不多，只有一些面积、体积、周长公式会被用到，但是通过证明题训练出来的算力是极其重要的，当你可以证明初高中教材中所有习题时就可以毕业了，升为3段。
5、几何证明中训练的推理能力对逻辑推理能力的提升是有帮助的，当然并不是直接帮助，而是在基本习惯或者审美方面的帮助，做多了证明题的人会习惯性的使自己做事的调理或者讲话的内容趋向严谨。在国内教育中缺少对逻辑能力的直接训练，数学却很好的补偿了这一点，喜欢数学的人没有不讲逻辑的，数学学的好的人，通常思路严谨，很难出现什么漏洞，这正是归功于数学带来的思维习惯以及养成了对严谨推理的审美追求。在具备了以上3段基础之后，我们又要开始实战了，也就是将日常工作生活中遇到的问题构造成数学模型，然后通过运算或者推理得出最终结果。就像下象棋，掌握了残局定势、掌握了基本杀法、掌握了部分开局定式之后，我们在实战中就要去构造这些定式，把局面尽可能的导向定式，然后用定式的解法取得胜利，数学模型的构造同理。建立模型解决实际问题，实际上是数学最核心的能力，当然发展数学理论也很重要，即便新的理论在当前还用不到，但是可以为将来做好准备，例如广义相对论用到了非欧几何就是个最经常被拿出来的例子。更重要的是，很多时候工具的发明会产生新的领域，例如油彩的发明带来了油画，摄影机的发明带来了电影，同样的，数学工具的诞生也可能带来全新的未知领域，至于会带来什么新的领域，这是不可知的。如何训练数学建模能力，方法还是只有一个，针对性训练。可以找到数学建模大赛的历史题目，自己尝试去建模，当然建模的固定方法是抽象出决策变量、抽象出环境变量、构造目标函数、抽象出约束条件。前期可以参考建模大赛获奖作品，学习他们的思路，学习之后尝试着自己按照相同的思路从头到位自己构造模型，并思考为什么要如此设置变量，这里要注意一点，模型不是唯一的也没有标准答案，根据抽象程度和抽象思路的不同，模型可以有无穷多个，关键的问题是这个模型可以在多大程度上模拟实际问题，并且能够得到有实际价值的预测。在学习优秀作品的同时，不光要看他的优点，也要看他的缺点，缺点有没有可能改进，甚至有没有与他不同的思路建模。当你可以对建模大赛的题目独自建模时，这一阶段就毕业了，升到4段。
6、对已知题目能够建立模型后，就具备了基本的建模能力，这时要开始尝试把这种能力应用到日常的工作与生活中去，自己去找题目，问题永远都比答案更重要，这一阶段训练的重点就是提出问题。例如自己想做一个创业项目，开一个便利店，初始投入20万，能够忍受1年不盈利，第二年开始盈利，能不能开？如何开？对这个问题建立数学模型。这里面你会遇到很多之前没有遇到的问题，首先自己要给出初始条件，例如是投入20万还是30万，这本身又是一个问题，又可以建立一个模型去解决。其次目标是什么，1年后盈利还是2年后盈利，再长远一点，如何扩大规模，开连锁店还是加盟店，要不要扩展经营范围？你会发现在现实中，所有的问题都是开放的，甚至没有任何一个是已知条件。这里要注意，不要永远停留在初始阶段，这些复杂问题光靠浅层思考是永远解决不了的，重要的是你要开始。即便第一个模型再粗糙，再不堪入目，但是当他被做出来的一瞬间你会发现自己有了方向，至少这个模型中存在的明显问题需要优化，从此你找到了自己该做什么，这是最重要的，从此你可以走向发现问题优化问的再发现再优化的正向循环。当你能够找到20个实际问题，并建模求解后，不论模型优劣，最重要的能力你已经获得了，就是寻找问题的能力，之后建模能力的提升只是时间问题，此时升为5段。4段对于绝大多数人来说是一个瓶颈，这是个认知瓶颈，在他们的认识里面，数学就是为了做题，是纯理论的，甚至只是考试的科目，他们根本想不到数学还可以在现实中进行应用，突破认知是最难的，因为你根本不知道自己不知道。
7、当我们逐渐学会自己提出问题并且构造模型去解决问题之后，我们会发现自己的理论模版仍然不足够多，这使得你无法构造出更精确当然也更复杂的模型。就好像你想画一匹骏马，但是你搜索记忆发现自己一共就见过两匹马，那么无论你如何努力，画出的马始终脱离不了这两匹马的形态。为了画出更俊美的马，你需要去观察更多的马，同样的，为了建立更精确的模型，你需要掌握更多的数学理论，这样你才能套用这些理论建立模型。这时你需要学习解析几何，这是很多工作中可以直接应用的工具，例如在打算买车时可以根据数据拟合出一条车辆贬值的曲线，并且计算一下租车的成本曲线，研究一下两条曲线的关系，从而决定是买车还是租车。提到数据，就又不得不提到数据统计及概率，这两个分支很多教材放在一起讲是有道理的，因为二者在实际应用中通常是相伴出现的。概率论本身是一个非常深刻的问题，他与决定论相对，如果深入思考可以将你引入哲学领域，当然这是另一个大问题，在这里不展开谈。掌握了解析几何、概率、统计，在日常生活与工作中就会多出不少使用的机会，此时你应该养成应用简单概率工具的习惯，例如参加聚会，你可以算一算，如果大家随机坐的话，自己心仪的姑娘坐在自己身边的概率。还有，在需要决策时，在心里计算一下各种因素发生的概率，从而计算一个最后成功的概率。在很多比赛中也可以通过统计数据和概率判断对方的战术，从而针对性制定己方战术，做到料敌制胜。当你能够在日常生活中经常性的下意识获取统计数据并通过概率指导决策时就毕业了。这会使你的决策质量大幅度提升，长时间坚持，量变引起质变，这会改变你的人生。这时升入6段。
8、数学中还有很多在日常工作生活中能够实际应用的工具，微积分是一个、离散数学是一个。到了这个段位你应该已经可以深切感受数学之美，并且从数学训练与应用中受益非浅了，所以对于如何掌握新的工具自然不需要我再复述了。数学中还有很多深刻又实用的方法，例如反证法 、穷举法等等，这些方法不但实用，而且具有启发性，在面对问题时可以给我们另一种选择。很多数学的理论甚至延伸到了哲学领域，哥德尔的不完备定理就是其中的之一，这些理论会引导我们去思考哲学问题，从而为构建我们的宇宙观和价值观起到积极作用。在学习数学的过程中，自然而然的会对一些科学问题产生兴趣，例如相对论、量子力学，这些理论都是由数学语言进行表述的，所以如果感兴趣，可以对其中出现的数学理论进行针对性的学习，进而更深刻的理解这些理论，并进一步构建自己的宇宙观，也就是自己的宇宙模型。这里就已经到了7段。目前数学已经发展为一颗参天大树，分支越来越多也越来越深入，继续提升需要投入巨大的精力和时间，所以对于非数学相关专业的爱好者，并不建议过多的投入进去。
我们要如何看待数学？他是一门语言，比自然语言更精确严谨，可以更好的描述宇宙；他也是一种游戏，各种模型的构建、各种证明推理其乐无穷；他是一种工具，可以帮助我们做出最优决策，使得我们获取功利收益；他的超前性帮助人类打破认知的局限，去发现新的领域。不过所有这些之中，他最大价值还在于，他的思想深刻的影响了人类对宇宙的理解，为人类的宇宙模型排除了不可能的路径、但又增加了新维度的可能性。
