《数学悖论与三次数学危机》读书笔记

这本书是去年复习考研听张宇老师讲段子提起过然后终于找来看完了，让我对数学历史上发生的这三次危机有了一个较为全面的了解，更敬佩数学家们对科学研究的执着精神。 先说下第一次数学危机，提到这个就不得不提及我们都知道的勾股定理，其中中国最早发现是《周脾算经》提到过勾三股四弦五，而《九章算术》也提供了8组勾股数；古印度则是《测绳的法规》这一古老文献，提供了5组勾股数；古埃及造金字塔是用绳子做成12段，用我们现在都已熟知的勾3股4弦5围成直角三角形来准确测角的，来345三角形还叫埃及三角形；古巴比伦发现要比其他古国早1000多年，并且普林顿322号数学泥板给出了15组勾股数，给出了边长为1的正方形斜边√2的精确近似解。这里还要提到一个叫毕达哥拉斯的学派，这个学派发现了数、建立了△全等定理、△内角和、平行线理论、相似理论等，并通过勾股定理发现了无理数，例如刚提到的√2，所以西方人也把勾股定理称作毕达哥拉斯定理。数学上也有个习惯就是要对定理做证明，勾股定理也是如此，其中有毕达哥拉斯证法、欧几里得证法、刘徽《九章算术》里的青朱出入图、婆什伽罗证法、达芬奇证法、总统证法、勾股定理逆定理证法。而引发第一次危机的恰恰是毕达哥拉斯学派提出的悖论：任何两个量都是刻公度的，即任何两个线段都可以用第三条线段公度。然而这一看似无可怀疑的结论却因为毕达哥拉斯证明勾股定理后出现了转折，他的学生希帕索斯（证明了√2是无理数）意外发现正方形的边和对角线是不可公度的，随后他提出的“不可公度问题”便在社会传开，史称“希帕索斯悖论”或“毕达哥拉斯悖论”。这一发现摧毁了建立在“任何两条线段都是可以通约的”这一观点背后的数学观念，还摧毁了人们通过经验与直觉获得的一些常识。最后这一危机是被一个叫做欧多克索斯的人通过比例论（类似a:b=c:d）来解决的（但是并不算圆满解决，后来实数理论创立才圆满解决），经过这一次数学危机之后，希腊人不得不承认直觉、经验乃至实验都不是绝对可靠的，也加深了他们对数学抽象性、理想化等本质特征的认识，促进这一思想牢固树立的过程中，柏拉图、亚里士多德（柏拉图学生，他说过一句经典的话：吾爱吾师，但吾更爱真理）起到了重要作用；有积极影响自然就有消极影响，就是限制了算术、代数的发展，而几何学得到充分发展。 再说下第二次数学危机，这里先说下芝诺悖论：第一个叫“二分法悖论”（即任何一个物体想由A运动到B，必须先到达AB中点C，然后在到达AC中点D，二分过程无限进行下去，所以物体永远也到不了终点B）；第二个叫“阿基里斯追龟悖论”（如果让极慢的乌龟先行一段路程，那么一个人将永远追不上乌龟，因为他先必须到达乌龟出发点A，但他到达A点时，乌龟已经向前到了B点，而这个人到了B点，乌龟又到了C点，以此类推，人和乌龟..越来越近但却永远追不上）；第三个叫“飞矢不动论”（即任何一个东西呆在一个地方不叫运动，那么飞动着的箭任一时刻也呆在一个地方，那么飞矢就不动了）；第四个叫“运动场悖论”。亚里士多德曾试图解决但不算成功，主要也是因为在希腊人眼中，无穷仍然是一个逻辑祸害，这造成的后果就是古希腊数学家不得不把无限排斥在自己的推理之外。既然有危机那么自然就有数学家来解决，被称为数学之神的阿基米德想必我们都早已熟知（著名的阿基米德定律、杠杆定律），他对数学最引人注目的贡献就是微积分（积分方法的早期发展），而后来的微积分也是在这一基础上奠定的。中国其实也早有过微积分思想的记载，如“一尺之锤，日取其半，万世不竭”、再比如祖冲之的圆周率计算（领先世界千年），而外国的积分学思想也从一些数学家如韦达（代数学之父，引入数学符号）、笛卡尔（创建解析几何）、开普勒（建立了一种应用无穷小的方法）、卡瓦列里（发展了不可分量方法）、沃利斯（发明了无穷大∞符号）、帕斯卡（讨论了不可分原理、得出求不同曲线所围面积和重心的一般方法、并以积分学原理解决了摆线问题）等研究中可以发现，提到微积分还要提到一个叫费马（职业是律师）的数学家，这里有个小故事就是费马曾提出著名的费马大定理（即当整数n >2时，关于x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解），费马在一本书的空页写道：“……将一个高于二次的幂分为两个同次的幂，这是不可能的。关于此，我确信已发现一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小了，写不下”，这短短数语难倒了数不尽的数学家，直到1994年才被一个叫怀尔斯的数学家证明（据说怀尔斯所用的证明方法是后来才研究出的的一些数学理论及方法，所以他发言时曾和保安说过一句话“费马要么是骗子要么就是天才”，因为他认为以当时的数学水平是证明不了的），这个故事第一次听的时候也是听张宇老师说的，当时觉得很搞笑。然后就是牛顿和莱布尼兹，他们分别各自研究创立了微积分，牛顿称为“流数法”，莱布尼兹称为“差的计算”与“求和运算”，当时据说数学界还为俩人中谁先创立微积分发生了争执，最后的结果是两人共享了这一荣誉。由于当时的微积分理论还并不严密，有一个叫贝克莱的数学家提出了贝克莱悖论(可以简单表述为“无穷小量是否为0”这一问题，微积分使用中有时把它当作0，有时又不看作0，这无疑是一个形式逻辑上的矛盾)，由此引发第二次数学危机，为了解决这一悖论，又涌现出了一批数学家们，如泰勒、伯努利家族、欧拉，欧拉提出过很著名的欧拉公式，建立了三角函数与指数函数的关系等，而这些也为微积分的研究打下了基础。然而18世纪的数学家并没有解决这一问题，就留给了19世纪的数学家们，挪威有个叫阿贝尔的数学家成为了分析严格化的重要倡导者，然而仅26岁就病死了，为了纪念自己国家这位伟大的天才数学家，挪威在2002年阿贝尔诞辰200周年之际设立了继往开来的国际数学大奖：阿贝尔奖。然后就是柯西（著名的柯西不等式），他在一定程度澄清了微积分基础问题长期存在的混乱，然而存在一些漏洞，后来被另一位数学家维尔斯特拉斯弥补了。最终维尔斯特拉斯通过有界单调序列理论、康托尔通过有理数序列理论、另一位数学家戴德金通过他的“戴德金分割”从有理数扩展到实数，建立了无理数理论，通过这三大派理论建立起实数理论，使得2000多年来存在于算术与几何之间的鸿沟得以完全填平，由毕达哥拉斯悖论引发的第一次数学危机才圆满彻底的解决了。而第二次数学危机的解决要提到另一个数学家皮亚诺，他在《算术原理新方法》这一著作中给出了举世闻名的自然数公理，在自然数公理的基础上建立了自然数系，数学分析的基础依赖实数、实数依赖有理数、有理数最终又依赖自然数，从此数学分析完全建立在自然算术基础上了，于是建立在实数理论基础之上的微积分理论有了严格基础，由此由贝克莱悖论引发的第二次数学危机宣告彻底解决。 说到第三次数学危机之前，不得不提一位数学家，他叫康托尔，创立了集合论，并且对伽利略悖论（所有自然数与自然数的平方可以建立一个一一对应关系。这似乎意味着：平方数与自然数一样多。然而常识告诉我们自然数比平方数要多许多。）重新做了考虑，得出了有理数与自然数一样多的结论，但是康托尔未能解决另一重要问题“良序化问题”，集合论给数学开辟了广阔的新领域，著名数学家庞加莱曾高兴地在第二次国际数学家大会宣布：“借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了……”。然而好景不长，在数学家们沉浸在无穷集合的伊甸园中的时候，又一个悖论出现了，这个悖论是英国数学家罗素提出的：“集合是有漏洞的”。，罗素发现这个集合论悖论是在1901年，简单表述就是：任何一个集合都可以考虑它是否属于自身的问题，而有些集合属于它本身，有些集合则不属于它本身。有一个更通俗的版本是一个叫“理发师的困境”的故事，这位理发师在某村宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮胡子的人刮胡子，并且只给村里这样的人刮胡子。现在问：“理发师是否可以给自己刮胡子？”如果他给自己刮胡子，那么他就不符合自己的原则，因此他不应该给自己刮胡子，而如果他不给自己刮胡子，那么按原则他就该给自己刮胡子。罗素本人在发现这个悖论之后也极为沮丧，这一悖论就导致了数学史上的“第三次数学危机”。其实对于这一悖论还有许多形式，叫“说谎者悖论”，想了解的网上应该可以搜到，为了解决这一悖论，数学家们又开始了深耕，在策梅罗开创了集合公理系统研究后，许多数学家纷纷仿效提出另外几套公理系统，最常见的就是冯·诺依曼开创的，后来又被贝奈斯、哥德尔加以改进，取了三个人首字母，称为“NBG系统”，直到今天，这一系统仍然是集合论最好的基础之一。随着公理化集合系统的建立，集合论悖论被成功排除，第三次数学危机比较圆满地解决了。但从另一方面来说，罗素悖论导致的第三次数学危机使得数学基础问题第一次以最迫切的姿态摆在数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究，并且还引发了一次被称作“兔、蛙、鼠之战”的大论战，即以罗素（兔子）为代表的逻辑主义、以布劳威尔（青蛙）为代表的直觉主义与以希尔伯特（老鼠，他的墓碑上曾刻着他的名言：我们必须知道，我们必将知道）为代表的形式主义三大派论战，但是三家谁都没有赢，数理逻辑成了最后的胜利者，数学家哥德尔在数理逻辑发展上起了承前启后的作用，他结束了各派争论，开辟了数理逻辑发展的新时代。甚至在1930年以后，数理逻辑又进入一个大发展的新阶段，其本身又划分出证明论、递归论、模型论、公理集合论多个数学分支。 其实看过这本书后会发现数学历史上在出现一些暂时不能解决的问题时，很多人都选择了避开它，然而历史告诉我们，科学总是在进步的，问题终会有解决的那一天，就像哲学上的一句话：事物发展总的趋势是曲折前进，螺旋上升。出现的这些危机只不过是一个历史现象而已，就好比人生道路上的一个重大挫折一样，我们终会克服它让自己获得成长。